2022年内蒙古通辽市初中毕业生学业考试试卷数学
一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1. 的绝对值是（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的定义化简即可．
【详解】解：∵，
∴的绝对值是3，
故选：B．
【点睛】本题考查绝对值的概念，能够熟练的求出某个有理数的绝对值是解决本题的关键．
2. 冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
3. 节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，将数据120万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：120万=1200000=1.2×106．
故选：D
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
4. 正多边形的每个内角为，则它的边数是（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解．
【详解】解：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴每一个外角的度数为180°-108°=72°，
∴边数=360°÷72°=5，
故选D．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便．
5. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据译文可知“人数×8-3=钱数和人数×7+4=钱数”即可列出方程组．
【详解】解：由题意可得，，
故选：B．
【点睛】本题考查列二元一次方程组．解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
6. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，
∵∠ABM=35°，
∴∠OBC=35°，
∴∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-35°-35°=110°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=70°，
∵∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°， ∠BCO=∠DCN，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
7. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
8. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出，，计算出即可得到．
【详解】解：∵为直径，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查圆的性质和三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键．
9. 若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵解为正数，
∴，
∴，
∵分母不能0，
∴，
∴，解得，
综上所述：且，
故选：B．
【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．
10. 下列命题：①；②数据1，3，3，5的方差为2；③因式分解；④平分弦的直径垂直于弦；⑤若使代数式在实数范围内有意义，则．其中假命题的个数是（ ）
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，逐项判断即可求解．
【详解】解：①，故原命题假命题；
②数据1，3，3，5的平均数为 ，所以方差为，是真命题；
③，是真命题；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；
⑤使代数式在实数范围内有意义，则，即，是真命题；
∴假命题的个数是2．
故选：C
【点睛】本题主要考查了积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
11. 如图，正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积比求出概率，即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，
∴其内切圆的半径为，正方形的面积为a2，
∴阴影部分的面积为，
∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是．
故选：B
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
12. 如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，可证明△COE≌△ABE（AAS），则OE=BD=；由S△BDC=•BD•CF=可得CF=9，由∠BDC=120°，可知∠CDF=60°，所以DF=3，所以点D的纵坐标为4；设C（m，），D（m+9，4），则k=m=4（m+9），求出m的值即可求出k的值．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴ABOC，AB=OC，
∴∠COE=∠ABD，
∵BDy轴，
∴∠ADB=90°，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD=，
∵S△BDC=•BD•CF=，
∴CF=9，
∵∠BDC=120°，
∴∠CDF=60°，
∴DF=3．
∴点D的纵坐标为4，
设C（m，），D（m+9，4）， ∵反比例函数y=（x＜0）的图像经过C、D两点，
∴k=m=4（m+9），
∴m=-12，
∴k=-12．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，设出关键点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键．
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
13. 菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的边长为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【详解】如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OAAC＝4，OBBD＝3，AC⊥BD，
∴AB5
故答案为5
【点睛】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记菱形的各种性质是解题的关键．
14. 如图，依据尺规作图的痕迹，求的度数_________°．
【答案】60
【解析】
【分析】先根据矩形的性质得出，故可得出∠ABD的度数，由角平分线的定义求出∠EBF的度数，再由EF是线段BD的垂直平分线得出∠EFB、∠BEF的度数，进而可得出结论．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
由尺规作图可知，BE平分∠ABD，
∴，
由尺规作图可知EF垂直平分BD，
∴∠EFB=90°，
∴，
∴∠α=∠BEF=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线以及垂直平分线的知识，解题关键是熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
15. 如图，在矩形中，为上的点，，，则______．
【答案】##
【解析】
【详解】解：设，
在矩形中，为上的点，，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，掌握正确的定义是解题的关键．
16. 在中，，有一个锐角为，，若点在直线上（不与点，重合），且，则的长为_______．
【答案】或9或3
【解析】
【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
【详解】解：当∠ABC=60°时，则∠BAC=30°，
∴，
∴，
当点P在线段AB上时，如图，
∵，
∴∠BPC=90°，即PC⊥AB，
∴；
当点P在AB的延长线上时，
∵，∠PBC=∠PCB+∠CPB，
∴∠CPB=30°，
∴∠CPB=∠PCB，
∴PB=BC=3，
∴AP=AB+PB=9；
当∠ABC=30°时，则∠BAC=60°，如图，
∴，
∵，
∴∠APC=60°，
∴∠ACP=60°，
∴∠APC=∠PAC=∠ACP，
∴△APC为等边三角形，
∴PA=AC=3．
综上所述，的长为或9或3．
故答案为：或9或3
【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．
17. 如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的位置，进而求出点P的运动路径长．
【详解】解：为的直径，
∴
∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，
如图，记以AB为直径的圆的圆心为，连接交于点，连接
∴当点三点共线时，即点P在点处时，CP有最小值，
∵
∴
在中，
∴∠
∴
∴两点距离最小时，点P的运动路径长为
【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P的路径是解答本题的关键．
三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．
19. 先化简，再求值：，请从不等式组 整数解中选择一个合适的数求值．
【答案】，3
【解析】
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出a的值并代入原式即可求出答案．
【详解】解：
，
，
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴，
∵a为整数，
∴a取0，1，2，
∵，
∴a=1，
当a=1时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
20. 如图，一个圆环被4条线段分成4个相等的区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内．
（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率_______；
（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列表法表示）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接求解；
（2）根据列表法求概率即可求解．
【小问1详解】
吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率，
故答案为：
【小问2详解】
共有12种等可能结果，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的共有8种可能，
吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式与列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
21. 某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长度（结果保留小数点后一位，）.
【答案】的长度约为9.8米
【解析】
【分析】延长交的垂线于点，交于点,则四边形是矩形，根据图示，可得四边形是正方形，解，即可求解．
【详解】解：如图，延长交的垂线于点，交于点,则四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
，
中，，
，
中，，
米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
22. 某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目：足球；项目：篮球；项目：跳绳；项目：书法），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的学生共有_______人；在扇形统计图中，所对应的扇形的圆心角的度数是______；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有1200名学生， 估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数．
【答案】（1）200、108；
（2）见解析 （3）900人
【解析】
【分析】（1）由A活动的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B活动人数所占比例即可得；
（2）用总人数减去其它活动人数求出C的人数，从而补全图形；
（3）用样本估计总体可得结论．
【小问1详解】
本次调查的学生共有30÷15%=200（人），
扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是360°×=108°，
故答案为：200、108；
【小问2详解】
C活动人数为200-（30+60+20）=90（人），
补全图形如下：
【小问3详解】
（人）
所以，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数为900人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23. 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示.
（1）分别求，关于的函数关系式；
（2）两图象交于点，求点坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
【答案】（1）y甲=0.85x；y乙与x的函数关系式为y乙=
（2）（600，510）
（3）当x＜600时，选择甲商店更合算；当x=600时，两家商店所需费用相同；当x＞600时，选择乙商店更合算．
【解析】
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；
（3）由点A的意义并结合图象解答即可．
【小问1详解】
由题意可得，y甲=0.85x；
乙商店：当0≤x≤300时，y乙与x的函数关系式为y乙=x；
当x＞300时，y乙=300+（x-300）×0.7=0.7x+90，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙=
【小问2详解】
由，解得，
点A的坐标为（600，510）；
【小问3详解】
由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，
结合图象可知，
当x＜600时，选择甲商店更合算；
当x=600时，两家商店所需费用相同；
当x＞600时，选择乙商店更合算．
【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
24. 如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．
（1）求证：是圆的切线；
（2）已知，，求长度及阴影部分面积．
【答案】（1）证明见详解；
（2）AC=3，阴影部分面积为．
【解析】
【分析】（1）连接OD，证明∠ODE=90°即可；
（2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出OC、OD、CD，在Rt△OCE中，由勾股定理求出OE，用△OCE的面积减扇形面积即可得出阴影部分面积．
【小问1详解】
证明：连接OD
∵OD=OB
∴∠OBD=∠ODB
∵AC=CD
∴∠A=∠ADC
∵∠ADC=∠BDE
∴∠A=∠EDB
∵∠AOB=90°
∴∠A+∠ABO=90°
∴∠ODB+∠BDE=90°
即OD⊥CE，
又D在上
∴是圆的切线；
【小问2详解】
解：由（1）可知，∠ODC=90°
在Rt△OCD中，
∴设OD=OB=4x，则OC=5x，
∴
∴AC=3x
∴OA=OC+AC=8x
在Rt△OAB中：
即：
解得，（-1舍去）
∴AC=3，OC=5，OB=OD=4
在在Rt△OCE中，
∴设OE=4y，则CE=5y，
∵
解得，（舍去）
∴
∴阴影部分面积为．
【点睛】本题考查切线的判断和性质、勾股定理、三角函数、阴影部分面积的求法，解题的关键在于灵活运用勾股定理和三角函数求出相应的边长，并能将阴影部分面积转化为三角形与扇形面积的差．
25. 已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点．
（1）如图1，当点在上，在上，求的值为多少；
（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，如图2，求：的值为多少；
（3），，将正方形绕逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，根据平行线分线段成比例即可求解；
（2）根据（1）的结论，可得，根据旋转的性质可得，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）勾股定理求得，，进而根据，由相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
正方形与正方形有公共点，点在上，在上，
四边形是正方形
【小问2详解】
如图，连接，
正方形绕点逆时针方向旋转，
，
【小问3详解】
如图，
，，
,,，
三点共线，
中，，
，
由（2）可知，
，
．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
26. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；
（3）点是抛物线上一点，若，求点的坐标．
【答案】（1）y=-x2+4x-3
（2）(,)或(,)或（,）或(,)
（3）(,)
【解析】
【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点B、C坐标；再代入，求出b、c 即可求解；
（2）过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，过点P作PEBC，交y轴于E,交抛物线于p1,p2，过点E作EF⊥BC于F，先求出AN=，再根据两三角形面积关系，求得PM=，从而求得CE=1，则点P是将直线BC向上或向下平移1个单位与抛物线的交点，联立解析式即可求出交点坐标；
（3）过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F财富点C作CE⊥DF于E，证△CDE≌△DAD（AAS），得DE=AF，CE=DF，再证四边形OCEF是矩形，得OF=CE，EF=OC=3，然后设DE=AF=n，则CE=DF=OF=n+1， DF=3-n，则n+1=3-n，解得：n=1，即可求出D(2,-2),用待定系数法求直线CQ解析式为y=x-3，最后联立直线与抛物线解析式，求出交点坐标即可求解．
【小问1详解】
解：对于直线BC解析式y=x-3，
令x=0时，y=-3，
则C(0,-3)，
令y=0时，x=3，
则B(3,0)，
把B(3,0)，C(0,-3)，分别代入，得
，解得：，
∴求抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3；
【小问2详解】
解：对于抛物线y=-x2+4x-3，
令y=0，则-x2+4x-3=0，解得：x1=1,x2=3,
∴A(1,0)，B(3,0)，
∴OA=1，OB=3，AB=2，
过点A作AN⊥BC于N，过点P作PM⊥BC于M，如图，
∵A(1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，
∴OB=OC=3，AB=2，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∴AN=，
∵，
∴PM=，
过点P作PEBC，交y轴于E，过点E作EF⊥BC于F，
则EF= PM=，
∴CE=1
∴点P是将直线BC向上或向下平移1个单位，与抛物线的交点，如图P1，P2，P3，P4，
∵B(3,0)，C(0,-3)，
∴直线BC解析式为：y=x-3，
∴平移后的解析式为y=x-2或y=x-4,
联立直线与抛物线解析式，得
或，
解得：，，，，
∴P点的坐标为(,)或(,)或（,）或(,)．
【小问3详解】
解：如图，点Q在抛物线上，且∠ACQ=45°，过点Q作AD⊥CQ于D，过点D作DF⊥x轴于F，过点C作CE⊥DF于E，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴CD=AD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，
∴△CDE≌△DAD（AAS），
∴DE=AF，CE=DF，
∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF=CE，EF=OC=3，
设DE=AF=n，
∵OA=1，
∴CE=DF=OF=n+1
∴DF=3-n，
∴n+1=3-n
解得：n=1，
∴DE=AF=1，
∴CE=DF=OF=2，
∴D(2,-2),
设直线CQ解析式为y=px-3，
把D(2-2)代入，得p=,
∴直线CQ解析式为y=x-3，
联立直线与抛物线解析式，得
解得：，（不符合题意，舍去），
∴点Q坐标为(,).
【点睛】本题属二次函数与一次函数综合题目，考查了用待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的图象性质是解题的关键．