房山区2012年九年级统一练习（一）
数 学 2012．4
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的相反数是（ ）．
A． B． C． D．
2．神舟八号无人飞船，是中国“神舟”系列飞船的第八艘飞船，于5时58分10秒由改进型“长征二号”F遥八火箭顺利发射升空。火箭全长约，起飞质量为497 000千克，将497 000用科学记数法表示为（ ）．
A．49.7×103 B．0.497×．4.97×105 D．4.97×103
3．在平面直角坐标系中，点P（－2，3）关于y轴对称的点的坐标为（ ）．
A．（2，－3） B．（－2，－3） C．（3，－2） D．（2，3）
4．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的形状是（ ）．
A B C D
5．从1~30这连续30个正整数中，随机取出一个数，取出的数是5的倍数的概率是（ ）．
A． B． C． D．
6．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）．
A. B. 且 C. D. 且
7. 甲、乙两个学习小组各有4名同学，在某次测验中，他们的得分如下表：
设两组同学得分的平均数依次为，，得分的方差依次为，，则下列关系中完全正确的是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=30°，∠B=60°，AD＝，CD=2，点P是线段AB上一个动点，过点P作PQ⊥AB于P，交其它边于Q，设BP为x，△BPQ的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）．
A B
C D
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．当x=_______时，分式的值为零．
10．因式分解：= ．
11．如图，在⊙O中,半径OC⊥弦AB于点D,AB=,
AO=4, 则∠O=_____．
12．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6，BC= 8，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1⊥BC，垂足为C1，过C1作C2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA1，A1，C2，A2，…，AnCn，则A1= ,AnCn＝ ．
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
13．计算：－＋-．
14． 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
15．已知：E是△ABC一边BA延长线上一点，且AE=BC ，过点A作AD∥BC，且使AD=AB，联结ED．
求证：AC=DE．
16．已知a2＋a=3，求代数式的值．
解：
17．已知：反比例函数（）的图象与一次函数（）的图象交于点A(1，n)和点B(－2，－1)．
⑴求反比例函数和一次函数解析式；
⑵若一次函数的图象与x轴交于点C，P是x轴上的一点，当△ACP的面积为3时，求P点坐标．
解：
18．列方程或方程组解应用题：
为响应低碳号召，肖老师上班的交通方式由自驾车改为骑自行车，肖老师家距学校，因为自驾车的速度是骑自行车速度的4倍，所以肖老师每天比原来早出发45分钟，才能按原时间到校，求肖老师骑自行车每小时走多少千米．
解：
四、解答题（共4道小题，每小题均5分，共20分）
19．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=DC，联结AC，过点D作DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，若AE=AC．
⑴求∠EAC的度数
⑵若AD=2，求AB的长．
解：⑴
⑵
20．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC于点F，交AB的延长线于点E．
⑴求证：直线DE是⊙O的切线；
⑵当cosE=，BF=6时，求⊙O的直径．
⑴证明：
⑵解：
21．母亲节快到了，某校团委随机抽取本校部分同学，进行母亲生日日期了解情况调查，分“知道、不知道、记不清”三种情况.下面图①、图②是根据采集到的数据，绘制的扇形和条形统计图.
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在图①中，求出“不知道”部分所对应的圆心角的度数；
（2）求本次被调查学生的人数，并补全条形统计图；
（3）若全校共有1080名学生，请你估计这所学校有多少名学生知道母亲的生日？
22．阅读下面材料：
如图1，已知线段AB、CD相交于点O，且AB=CD，请你利用所学知识把线段AB、CD转移到同一三角形中．
小强同学利用平移知识解决了此问题，具体做法：
如图2，延长OD至点E，使DE=CO，延长OA至点F，使AF=OB，联结EF，则△OEF为所求的三角形．
请你仔细体会小强的做法，探究并解答下列问题：
如图3，长为2的三条线段AA′，BB′，CC′交于一点O，并且∠B′OA=∠C′OB=∠A′OC=60°；
（1）请你把三条线段AA′，BB′，CC′ 转移到同一三角形中．
（简要叙述画法）
（2）联结AB′、BC′、CA′，如图4，设△AB′O、△BC′O、
△CA′O的面积分别为S1、S2、S3，
则S1+S2+S3 （填“>”或“<”或“=” ） ．
五、解答题（共3道小题，23题7分，24题8分，25题7分，共22分）
23． 已知：关于x的方程
⑴求证：方程总有实数根；
⑵若方程有一根大于5且小于7，求k的整数值；
⑶在⑵的条件下，对于一次函数和二次函数=，当时，有，求b的取值范围．
证明：⑴
解：⑵
⑶
24．如图⑴，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2＋8ax＋＋6经过点B（0，4）.
⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，联结BC、AC.求证：△ABC是等腰直角三角形；
⑶在⑵的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，请说明理由．
图⑴ 备用图
解：⑴
证明 ：⑵
⑶
25．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以点B为圆心，以为半径作圆.
⑴设点P为☉B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，联结DA，DB，PB，如图2．求证：AD=BP；
⑵在⑴的条件下，若∠CPB=135°，则BD=___________；
⑶在⑴的条件下，当∠PBC=_______° 时，BD有最大值，且最大值为__________；
当∠PBC=_________° 时，BD有最小值，且最小值为__________．
房山区2012年九年级统一练习(一)
数学答案 2012．4
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．； 10．； 11．； 12． ；
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
13． 解:
= ……………………………………4分
= ……………………………………5分
14． 解： ……………………………………1分
－2x－x≤－2－1 …………………………2分
－3x≤－3 ---------------------------3分
x≥1 …………………………………4分
………………5分
15． 证明：∵AD∥BC
∴∠EAD=∠B. …………………………1分
∵AD=AB. ……………………………2分
AE=BC. ……………………………3分
∴△ABC≌△DAE.……………………4分
∴AC=DE. …………………………5分
16． 解： 原式 =………………………………2分
= ……………………………… 3分
= ………………………………………… 4分
∵
∴原式= …………………………………………5分
17． 解：⑴∵点B（－2，－1）在反比例函数的图象上
∴
∴反比例函数的解析式为------------------------------------1分
∵点A（1，n）在反比例函数的图象上
∴n=2
∴点A坐标是（1，2）-----------------------------------------------2分
∵点A（1，2）和点B（－2，－1）在函数的图象上
∴ ∴
∴一次函数的解析式为---------------------------------------3分
⑵∵一次函数的解析式为
∴点C的坐标为（－1，0）
∵点P在x轴上，且△ACP的面积是3
∴PC=3
∴P点坐标为（－4，0）或（2，0）--------------------------------------------------5分
（答对一个给一分）
18．列方程或方程组解应用题：
解：设肖老师骑自行车每小时走x千米.-----------------------------------1分
根据题意得： -----------------------------------------3分
解得x=15 ------------------------------------------------------------------------4分
经检验x=15是原方程的解，并符合实际意义
答：肖老师骑自行车每小时走.------------------------------------------5分
四、解答题（共4道小题，每小题均5分，共20分）
19．
解：⑴ 联结EC.
∵AD=DC
DE⊥AC于点F
∴点F是AC中点
∴DE垂直平分AC
∴EC=EA----------------1分
又∵AE=AC
∴AE = EC =AC
∴△AEC是等边三角形
∴∠EAC=60°---------------------2分
⑵ ∵DE⊥AC于点F
∴∠AFE=90°
∵∠EAC=60°
∴∠AEF=30°
∵AD∥BC
∴∠BAD=∠ABC=90°
∵AD=2
∴AE=------------------------------------------4分
∵∠ABC=90°
∴CB⊥AE
又∵△AEC是等边三角形
∴AB==---------------------------------------------5分
20．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC于点F，交AB的延长线于点E．
⑴求证：直线DE是⊙O的切线；
⑵当cosE=，BF=6时，求⊙O的直径．
⑴证明：联结BD、OD.
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∵AB=BC
∴AD=DC
∵AO=OB
∴OD∥BC -------------------------------------1分
∵DF⊥BC
∴DF⊥OD
又∵点D在⊙O上
∴直线DE是⊙O的切线.-----------------------------2分
⑵解：∵DF⊥BC，cosE=，BF=6
∴可得EF=8，BE=10-------------------------------3分
∵OD∥BC
∴△EFB∽△EDO
∴
设半径为x. 则. 解得x=15
∴直径为30.-------------------------------------------5分
21．（1）40°----------------------1分
（2）本次被调查的学生人数为：
50+30+10=90（人）---------------2分
补条形图-----------------------------3分
（3）
答：有540人知道母亲生日. ------------------5分
22． （1）画法：①延长OA至点E，使AE=;
②延长O至点F，使F=OB;
③联结EF，则为所求的三角形.------------1分
图--------------------------------------------------------2分
（2）则S1+S2+S3 < -----------------5分
五、解答题（共3道小题，23题7分，24题7分，25题8分，共22分）
23． ⑴证明：∵△=(k－2)2－4(k－3)
=k2－4k+4－4k+12
= k2－8k+16
=(k－4)2≥0
∴此方程总有实根。-------------------------------2分
⑵解：解得方程两根为
x1=－1 x2=3－k
∵方程有一根大于5且小于7
∴5<3－k<7
－4 ∵k为整数 ∴k=－3-----------------------------------------------4分 ⑶解：由 ⑵知k=－3 ∴-------------------------------------5分 ∵ ∴，即--- ------------6分 ∵在时，有 ∴------------------------------------------------------7分 24． ⑴解：由题意知： 解得： ∴抛物线的解析式为：-------1分 ⑵证明 ：由抛物线的解析式知:顶点D坐标为（－4,6） ∵点C的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上 ∴C点坐标为(－4，－4) 设直线BD解析式为： 有：，∴ ∴BD解析式为 ∴直线BD与x轴的交点A的坐标为（8,0） 过点C作CE⊥轴于点E，则CE=4，BE=8 又∵OB=4，OA=8, ∴CE=OB,BE=OA,∠CEB=∠BOA=90° ∴△CEB≌△BOA(SAS)-----------------------------2分 ∴CB=AB, ∠1=∠2 ∵∠2+∠3=90°，∴∠2+∠3=90° ∴∠1+∠3=90°，即∠ABC=90° ∴△ABC是等腰直角三角形---------------------3分 ⑶存在.①当∠CA′B′=90°时，如图1所示， ∵A′B′∥AB ∴∠OA′B′=∠BAO 易证:∠ECA′=∠OA′B′ ∴∠ECA′=∠BAO ∵tan∠BAO= ∴tan∠ECA′= ∴EA′=2 ∴A′坐标为(－2,0) ∴直线l解析式为------5分 ②当∠A′CB′=90°时，如图2所示， 过点C作CE⊥轴于点E， 易证△A′FC≌△B′EC ∴A′F=B′E ∴由①tan∠B′A′O= ∴设B′坐标为（0，n） ∴有 ∴ B′坐标为（0，） ∴直线l解析式为------7分 25． ⑴证明：∵∠ACB=90°, ∠DCP=90°，∴∠ACD=∠BCP ∵AC=BC,CD=CP，∴△ACD≌△BCP(SAS) ∴AD=BP-------------------------------2分 ⑵在⑴的条件下，①若∠CPB=135°，则BD=或2； （答对一个给1分） ②当∠PBC=135° 时，BD有最大值，且最大值为； 当∠PBC=___45_° 时，BD有最小值，且最小值为 ． （每空1分）