15．北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数 学 试 卷 2012.5
学校 姓名 准考证号
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 的相反数是
A. B． C．2 D．－2
2．据报道，2011年北京市户籍人口中，60岁以上的老人有2460000人，预计未来五年北京人口“老龄化”还将提速．将2460000用科学记数法表示为
A．0.25×106 B．24.6×．2.46×105 D．2.46×106
3．在中，，则等于
A. 40° B. 60° C. 80° D. 120°
4．若分式的值为零，则的取值为
A. B. C. D.
5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A.角 B.等边三角形 C. 平行四边形 D. 圆
6．在一个不透明的袋子中装有2个红球、1个黄球和1个黑球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，若随机从袋子里摸出1个球，则摸出黄球的概率是
A. B. C. D.
7．在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位:个）如下表：
这此测试成绩的中位数和众数分别为
A. 47, 49 B. 47.5, . 48, 49 D. 48, 50
8．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，（），则二次函数中，当时，的取值范围是
A． B． C． D．或
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．函数中，自变量的取值范围是___．
10．分解因式：=___．
11．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠B＝20°，则∠ADC的度数为 ．
（第11题） （第12题）
12．如图,在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别是BC、CD边上点，（1）若CE=CB，CF=CD，则图中阴影部分的面积是 ；（2）若CE=CB，CF=CD，则图中阴影部分的面积是 （用含n的式子表示，n是正整数）．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：.
14．解不等式＜，并把它的解集在数轴上表示出来.
]
15．已知：如图，C是AE的中点，∠B=∠D，BC∥DE．
求证：AB=CD
16．已知，求的值.
17．如图，P是反比例函数（＞0）的图象上的一点，PN垂直轴于点N，PM
垂直y轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且ON=1，一次函数的图象经过点P．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线与轴的交点为A，点Q在y轴上，当
△QOA的面积等于矩形OMPN的面积的时，直接写出
点Q的坐标．
18．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是
等边三角形，若AC=8，AB=5，求ED的长．
四、解答题（本题共21分，第19、20、21题每小题5分，第22题6分）
19．列方程解应用题：
为提高运输效率、保障高峰时段人们的顺利出行，地铁公司在保证安全运行的前提下，缩短了发车间隔，从而提高了运送乘客的数量. 缩短发车间隔后比缩短发车间隔前平均每分钟多运送乘客50人，使得缩短发车间隔后运送14400人的时间与缩短发车间隔前运送12800人的时间相同，那么缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客多少人？
20．如图，在△ABC中，点D在AC上，DA=DB，∠C=∠DBC，以AB为直径的交AC于点E，F是上的点，且AF＝BF．
（1）求证：BC是的切线；
（2）若sinC=，AE=，求sinF的值和AF的长．[来
21. 为了了解北京市的绿化进程，小红同学查询了首都园林绿化政务网，根据网站发布的近几年北京市城市绿化资源情况的相关数据，绘制了如下统计图（不完整）：
（1）请根据以上信息解答下列问题：
① 2010年北京市人均公共绿地面积是多少平方米（精确到0.1）？
② 补全条形统计图；
（2）小红同学还了解到自己身边的许多同学都树立起了绿色文明理念，从自身做起，多种树，为提高北京市人均公共绿地面积做贡献. 她对所在班级的40名同学2011年参与植树的情况做了调查，并根据调查情况绘制出如下统计表：
如果按照小红的统计数据，请你通过计算估计，她所在学校的300名同学在2011年共植树多少棵.
K]
22. 根据对北京市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的
甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数的图象如图②所示.
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？
图① 图②
五、解答题（本题共21分，第23题6分，第24题8分，第25题7分）
23. 阅读下面材料：
问题：如图①，在△ABC中， D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．
小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题
得到解决．
（1）请你回答：图中BD的长为 ；
（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．
图① 图②
24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
m]
25. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；
② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．
备用图
15．北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数学试卷参考答案及评分标准
2012.5
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题 （本题共16分，每小题4分，）
9. x≥4 10. 11. 70° 12. ，（每空2分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13. 解：原式 ……………………………………………………4分
. …………………………………………………………………………5分
14. 解：. …………………………………………………………………2分
. ……………………………………………………………………3分
∴. ……………………………………………………………………4分
这个不等式的解集在数轴上表示为：
……………………5分
15. 证明：∵C是AE的中点，
∴AC＝CE. …………………………………………………………………………1分
∵BC∥DE，
∴∠ACB=∠E. ……………………………………………………………………2分
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE. ………………………………………………………………4分
∴ AB＝CD. ………………………………………………………………………5分
16. 解：
………………………………………………………………………3分
.
∵，
∴. …………………………………………………………………………4分
∴原式＝6. ……………………………………………………………………………5分
17. 解：（1）∵PN垂直轴于点N，PM垂直y轴于点M，矩形
OMPN的面积为2 ，且ON=1，
∴PN＝2.
∴点P的坐标为（1,2）. ………………………1分
∵反比例函数（＞0）的图象、一次函数
的图象都经过点P，
由，得，.
∴反比例函数为，………………………………………………………2分
一次函数为. ………………………………………………………3分
（2）Q1（0,1），Q2（0,－1）. ……………………………………………………5分
18. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，.
∵△EAC是等边三角形，
∴，EO⊥AC. ………………………………………………………2分
在Rt△ABO中，.
∴DO＝BO＝3. ………………………………………………………………………3分
在Rt△EAO中，. …………………………………4分
∴. ……………………………………………………5分
四、解答题（本题共21分，第19、20、21题每小题5分，第22题6分）
19. 解：设缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客x人. ……………………………………1分
根据题意，得
， …………………………………………………………………3分
解得. ………………………………………………………………………4分
经检验，是原方程的解. …………………………………………………5分
答：缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客400人.
20. （1）证明：∵DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA.
又∵∠C=∠DBC，
∴∠DBA﹢∠DBC＝.
∴AB⊥BC.
又∵AB是的直径，
∴BC是的切线. ………………………………………………………2分
（2）解：如图，连接BE，
∵AB是的直径，
∴∠AEB＝90°.
∴∠EBC＋∠C＝90°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＋∠EBC＝90°.
∴∠C＝∠ABE.
又∵∠AFE＝∠ABE，
∴∠AFE＝∠C.
∴sin∠AFE＝sin∠ABE＝sinC.
∴sin∠AFE＝. …………………………………………………………………3分
连接BF，
∴.
在Rt△ABE中，. ……………………………………4分
∵AF＝BF，
∴. …………………………………………………………………5分
21. 解：（1）① ， ………………………………………………2分
即2010年北京市人均绿地面积约为.
②
……………………………………3分
（2）. …………………5分
估计她所在学校的300名同学在2011年共植树675棵.
22. 解：（1）. ………………………………………………………………………1分
.……………………………………………………………3分
（2），
.…………………………………………………………4分
即.
所以甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元. …………………………………………………6分
五、解答题（本题共21分，第23题6分，第24题8分，第25题7分）
23. 解：（1）. ……………………………………………………………………2分
（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，
∴△ADC≌△AEC.
∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA， DC＝EC.
∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，
∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.
∴△CDE为等边三角形. ……………………3分
∴DC＝DE.
在AE上截取AF＝AB，连接DF，
∴△ABD≌△AFD.
∴BD＝DF.
在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°，
∴∠ADE=∠AED =75°，∠ABD =105°.
∴∠AFD =105°.
∴∠DFE=75°.
∴∠DFE=∠DEF.
∴DF＝DE.
∴BD＝DC＝2. …………………………………………………………………4分
作BG⊥AD于点G，
∴在Rt△BDG中， . ……………………………………………5分
∴在Rt△ABG中，. ……………………………………………6分
24. 解：（1）∵过点M、N（2，－5），，
由题意，得M（，）.
∴
解得
∴此抛物线的解析式为. …………………………………2分
（2）设抛物线的对称轴交MN于点G，
若△DMN为直角三角形，则.
∴D1（，），（，）. ………………………………………4分
直线MD1为，直线为.
将P（x，）分别代入直线MD1，
的解析式，
得①，②.
解①得 ，（舍），
∴（1,0）. …………………………………5分
解②得 ，（舍），
∴（3,－12）. ……………………………6分
（3）设存在点Q（x，），
使得∠QMN=∠CNM.
① 若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，
交MN于点H，则.
即.
解得，（舍）.
∴（，3）. ……………………………7分
② 若点Q在MN下方，
同理可得（6，）. …………………8分
25. 解：（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，
∴PB= ，．
∵，
∴．
∴．
∴ △ABP∽△DPC．
∴，即．
∴PC=2．……………………………………………………………………2分
（2）① ∠PEF的大小不变．
理由：过点F作FG⊥AD于点G．
∴四边形ABFG是矩形．
∴．
∴GF=AB=2，．
∵，
∴．
∴．
∴ △APE∽△GFP. …………………………………………………………4分
∴．
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．……………………………………5分
即tan∠PEF的值不变．
∴∠PEF的大小不变．…………………………………………………………6分
② . …………………………………………………………………………7分