2012年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2012菏泽）点P（﹣2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点：点的坐标。
解答：解：点P（﹣2，1）在第二象限．
故选B．
2．（2012菏泽）在算式（）□（）的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
考点：实数的运算；实数大小比较。
解答：解：当填入加号时：（）+（）=﹣；
当填入减号时：（）﹣（）=0；
当填入乘号时：（）×（）=；
当填入除号时：（）÷（）=1．
∵1＞＞0＞﹣，
∴这个运算符号是除号．
故选D．
3．（2012菏泽）如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图。
解答：解：从正前方观察，应看到长有三个立方体，且中间的为三个立方体叠加；高为两个立方体，在中间且有两个立方体叠加．
故选B．
4．（2012菏泽）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）
A．±2 B． C．2 D． 4
考点：二元一次方程组的解；算术平方根。
解答：解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
解得：，
∴﹣n=4，
∴的算术平方根为2．
故选C．
5．（2012菏泽）下列图形中是中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形。
解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
6．（2012菏泽）反比例函数的两个点为、，且，则下式关系成立的是（ ）
A． B． C． D．不能确定
考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
解答：解：反比例函数中，k=2＞0，
①两点在同一象限内，y2＞y1；
②A，B两点不在同一象限内，y2＜y1．
故选D．
7．（2012菏泽）我市今年6月某日部分区县的最高气温如下表：
则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（ ）
A．32，32 B．32， C．30，32 D．32，31
考点：众数；中位数。
解答：解：在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32；
处于这组数据中间位置的数是32、32，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是32．
故选A．
8．（2012菏泽）已知二次函数的图像如图所示，那么一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象。
解答：解：∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x=﹣＜0，
∴b＜0，
∵二次函数图象经过坐标原点，
∴c=0，
∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数位于第二四象限，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上．）
9．（2012菏泽）已知线段AB=，在直线AB上画线段BC，使它等于，则线段AC= cm．
考点：两点间的距离。
解答：解：根据题意，点C可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上．
若点C在线段BC上，则AC=AB﹣BC=8﹣3=5（cm）；
若点C在BC的延长线上，则AC=AB+BC=8+3=11（cm）．
故答案为 5或11．
10．（2012菏泽）若不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
考点：不等式的解集。
解答：解：∵不等式组的解集是，
∴m≤3．
故答案为：m≤3．
11．（2012菏泽）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC= 度．
考点：切线的性质。
解答：解：∵PA，PB是⊙O是切线，
∴PA=PB，又∠P=46°，
∴∠PAB=∠PBA==67°，
又PA是⊙O是切线，AO为半径，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∴∠BAC=∠OAP﹣∠PAB=90°﹣67°=23°．
故答案为：23
12．（2012菏泽）口袋内装有大小、质量和材质都相同的红色1号、红色2号、黄色1号、黄色2号、黄色3号的5个小球，从中摸出两球，这两球都是红色的概率是 ．
考点：列表法与树状图法。
解答：解：列表得：
∵共有20种等可能的结果，这两球都是红色的有2种情况，
∴从中摸出两球，这两球都是红色的概率是：=．
故答案为：．
13．（2012菏泽）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则 ．
考点：整式的混合运算；解一元一次方程。
解答：解：根据题意化简，得： ，
整理得： ，即，
解得： ．
故答案为：2
14．（2012菏泽）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即；；；……；
若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 ．
考点：规律型：数字的变化类。
解答：解：由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，
33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1，
43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1，
53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1，
63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=6×5+1，
所以63“分裂”出的奇数中最大的是6×5+1+2×（6﹣1）=41．
故答案为：41．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2012菏泽）（1）先化简，再求代数式的值．，其中．
考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值。
解答：解：原式．
当a＝+tan60°= 时，
原式．
（2）解方程：．
考点：解一元二次方程-因式分解法。
解答：解：原方程可化为．
∴（x+3）（x﹣1）=0，
∴x1=﹣3，x2=1．
16．（2012菏泽）（1）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件： ，使△ABC∽△ADE．
考点：相似三角形的判定。
解答：解：∠D=∠B或∠AED=∠C．
（2）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；勾股定理；
解答：解：依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8，，
∴CE=4，
∴E（4，8）．
在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，
又∵DE=OD，
∴（8﹣OD）2+42=OD2，，
∴OD=5，
∴D（0，5）．
17．（2012菏泽）（1）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．
考点：一次函数综合题。
解答：解：一次函数中，令x=0得：y=2；
令y=0，解得x=3．
则A的坐标是（0，2），C的坐标是（3，0）．
作CD⊥x轴于点D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO
又∵AB=AC，∠BOA=∠CDA=90°
∴△ABO≌△CAD，
∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5．
则C的坐标是（5，3）．
设BC的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，
解得：．
则BC的解析式是：．
（2）我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？
考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用。
解答：解：设文学书的单价是x元/本．
依题意得：
解得：，经检验是方程的解，并且符合题意.
所以，去年购进的文学书和科普书的单价分别是8元和12元．
②设购进文学书550本后至多还能购进y本科普书．
依题意得，解得，
由题意取最大整数解，.．
所以，至多还能够进466本科普书．
18．（2012菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．
考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定。
解答：解：（1）根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5；
显然有AB2+AC2=BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形；
（2）△ABC和△DEF相似．
根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，
DE=4，DF=2，EF=2．
===，
∴△ABC∽△DEF．
（3）如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，
AB=2，AC=，BC=5，
∴===，
∴，△ABC∽△P2P4 P5．
19．（2012菏泽）某中学举行数学知识竞赛，所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念奖，获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）二等奖所占的比例是多少？
（2）这次数学知识竞赛获得二等奖的人数是多少？
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若给所有参赛学生每人发一张卡片，各自写上自己的名字，然后把卡片放入一个不透明的袋子里，摇匀后任意摸出一张，求摸出的卡片上是写有一等奖学生名字的概率．
考点：条形统计图；扇形统计图；概率公式。
解答：解：（1）由1﹣10%﹣24%﹣46%=20%，所以二等奖所占的比例为20%
（2）参赛的总人数为：20÷10%=200人，
这次数学知识竞赛获得二等奖的人数是：200×20%=40人；
（3）
（4）摸出的卡片上是写有一等奖学生名字的概率为：20÷200=．
20．（2012菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）
（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
考点：二次函数的应用；一次函数的应用。
解答：解：（1）画图如图：
由图可猜想y与x是一次函数关系，
设这个一次函数为，
∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，
∴，解得，
∴函数关系式是．
（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是元，依题意得：
，
当时，有最大值.-
（3）对于函数，当时，的值随着值的增大而增大，
销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．
21．（2012菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．
考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，
又A（0，1），B（2，0），O（0，0），
∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．
设抛物线的解析式为：，
∵抛物线经过点A′、B′、B，
，解之得，
满足条件的抛物线的解析式为.．
（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，
设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足．
连接PB，PO，PB′，
.
假设四边形的面积是面积的倍，则
，
即，解之得，此时，即.
∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．
（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．
①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；
③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．
或用符号表示：
①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．