北京市朝阳区九年级综合练习（二）
数学试卷 2013.6
学校 班级 姓名
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的绝对值是
A．2 B． C． D．2
2．我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下．将0.000075用科学记数法表示为
A． B.
C． D.
3．如图，在△ABC中，DE∥BC,如果AD=3，BD=5，那么的值是
A. B.
C. D.
4．从分别标有1到9数字的9张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是3的倍数的概率为
A． B． C． D．
5．如图，圆锥的底面半径OA为2，母线AB为3，则这个圆锥的侧面积为
A.3π B. 6π
C. 12π D. 18π
6．如图，下列水平放置的几何体中，主视图不是长方形的是
7. 某校篮球课外活动小组21名同学的身高如下表
则该篮球课外活动小组21名同学身高的众数和中位数分别是
A．176，176 B．176， C．176，178 D．184，178
8．图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第
3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是
A．我 B．的 C．梦 D．中
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．在函数中，自变量x的取值范围是 ．
10．分解因式：= ．
11．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，点F在弧AC上，
若∠BCD＝32°，则∠AFD的度数为 ．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x、y 轴分别交于点A、B，且A(-2，0)，B(0，1)，在直线 AB上截取BB1=AB，过点B1分别作x、y 轴的垂线，垂足分别为点A1 、C1，得到矩形OA1B1；在直线 AB上截取B1B2= BB1，过点B2分别作x、y 轴的垂线，垂足分别为点A2 、C2，得到矩形OA2B2；在直线 AB上截取B2B3= B1B2，过点B3分别作x、y 轴的垂线，垂足分别为点A3 、C3，得到矩形OA3B3；……则第3个矩形OA3B3的面积是 ；第n个矩形OAnBnCn的面积是 （用含n的式子表示，n是正整数）．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．计算：．
15．如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30º，又向前走了后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60º，求楼AB的高．
16．已知：如图，E、F为BC上的点，BF=CE，点A、D分别在BC的两侧，且AE∥DF，AE=DF．
求证：AB∥CD．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数－2的图象与x、y轴分别交于点A、B，与反比例函数（x＜0）的图象交于点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设点P是一次函数－2图象上的一点，且满足
△APO的面积是△ABO的面积的2倍，直接写出点P的坐标．
18．某新建小区要铺设一条全长为的污水排放管道，为了尽量减少施工对周边居民所造成的影响，实际施工时，每天铺设的管道比原计划增加10%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在平行四边形ABCD中，AD = 4，∠B=105º，E是BC边的中点，∠BAE=30º，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接FC，求四边形ABCF的周长．
20．如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足∠BAD＝∠C，以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F.
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）连接EF，若tan∠AEF＝，AD＝4，求BD的长.
21．今年“五一”假期，小翔参加了学校团委组织的一项社会调查活动，了解他所在小区家庭的教育支出情况．调查中，小翔从他所在小区的500户家庭中，随机调查了40个家庭，并将调查结果制成了部分统计图表．
（注：每组数据含最小值，不含最大值）
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中的a = ，b = ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请你估计该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有多少户？
22．阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC
内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60º，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．
（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为 ；
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60º，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知关于x的一元二次方程x2(4m)x1m = 0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）此方程有一个根是3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线yx2(4m)x1m
向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线yxb与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax2bx4与x轴交于点A(2，0)、
B(6，0)，与y轴交于点C，直线CD∥x轴，且与抛物线交于点D，P是抛物线上一动
点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PQ⊥CD于点Q，将△CPQ绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0º﹤α﹤90º），当cosα=，且旋转后点P的对应点恰好落在x轴上时，求点P的坐标．
25. 在□ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.
（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG =AG+BG；
（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB= α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.
北京市朝阳区九年级综合练习（二）
数学试卷参考答案 2013.6
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. x≥ 10. 11. 32° 12.24，2n2+2n
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13. 解：
……………………………………………………4分
. ………………………………………………………………………5分
14. 解：
………………………………2分
…………………………………………………………………3分
…………………………………………………………4分
.……………………………………………………………………………………5分
15. 解： 由题意可知∠ACB=30°，∠ADB=60°，CD=20，
在Rt△ABC中，.………………………………1分
在Rt△ABD中，.………………………………………2分
∴，…………………………………………………………3分
∴.…………………………………………………………………………4分
∴.……………… ……………………………………………………5分
16. 证明：∵AE∥DF，
∴∠AEB＝∠DFC. ………………………………………………………………1分
∵BF=CE，
∴BF+EF＝CE+EF.
即BE＝CF. ………………………………………………………………………2分
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF. … ……………………………………………………………3分
∴∠B=∠C. ………………………………………………………………………4分
∴AB∥CD. … ……………………………………………………………………5分
17. 解：（1）∵点在反比例函数（x＜0）的图象上，
∴.…………………………………………………………………………1分
∴.
∵一次函数－2的图象经过点，
∴.
∴.
∴一次函数的解析式为.
∴A(1，0)，B(0，2) . ………………………………………………………3分
（2）P1(3，4)，P2(1，4) . ………………………………………………………5分
18. 解：设原计划每天铺设米管道．…………………………………………………1分
由题意，得 ……………………………………………3分
解得 ． ……………………………………………………………4分
经检验是原方程的根． …………………………………………………5分
答：原计划每天铺设管道．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：作BG⊥AE，垂足为点G，
∴∠BGA＝∠BGE＝90º.
在平行四边形ABCD中，AD = 4，
∵E是BC边的中点，
∴……………………………………………………1分
∵∠BAE=30º，∠ABC=105º，
∴∠BEG=45º.
由已知得△ABE≌△AFE.
∴AB=AF，BE＝FE，∠BEF=90º.
在Rt△BGE中，
BG＝GE=……… ………………………………………………………………2分
在Rt△ABG中，
∴AB=AF=………………………………………………………………………3分
在Rt△ECF中，
………………………………………………… ……4分
∴四边形ABCF的周长……………………………………………………5分
20. （1）证明：在△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠ CAB = ∠B.
∵∠ CAB +∠B+∠C＝180º，
∴2∠B+∠C＝180º.
∴＝90º. ……………………………………………………1分
∵∠BAD＝∠C，
∴＝90º.
∴∠ADB＝90º.
∴AD⊥BC.
∵AD为⊙O直径的，
∴直线BC是⊙O的切线. …………………………………………………2分
（2）解：如图，连接DF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD = 90º. ……………………………………………………………………3分
∵∠ADC＝90º，
∴∠ADF+∠FDC＝∠CD+∠FDC＝90º.
∴∠ADF＝∠C. …………………………………………………………………4分
∵∠ADF＝∠AEF，tan∠AEF＝，
∴tan∠C＝tan∠ADF＝.
在Rt△ACD中，
设AD＝4x，则CD＝3x.
∴
∴BC＝5x，BD＝2x.
∵AD＝4，
∴x＝1.
∴BD＝2. …………………………………………………………………………5分
21．解：（1）a=3，b=0.075； ……………………………………………………………2分
（2）
…………………………3分
（3）.
所以该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有100户.…………5分
21．解：（1）.………………………………………………………………………………1分
（2）①如图，
…………………………………………2分
BD； ……………………………………………………………………………3分
(3) . …………………………………………………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. （1）证明：∵△=.……………………………………………… 1分
=
=…………………………………………………………2分
∴△＞0. …………………………………………………………………3分
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）把x=-3代入原方程，解得m=1. …………………………………………………4分
∴.
即.
依题意，可知新的抛物线的解析式为. ………………………5分
即
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴..…………………………………………………………………6分
即.
∵△=0.
∴.
解得b= -4. ……………………………………………………………………7分
24. 解：（1）根据题意得
…………………………………………………………1分
解得
所以抛物线的解析式为.………………………………2分
（2）如图1，过点Q的对应点作EF⊥CD于点E，交x轴于点F.
设P(x，y)，则CQ= x，PQ=4- y.
由题意可知= CQ= x，=PQ=4- y，∠CQP =∠C=90°.
∴=90°.
∴.……………………………………………………3分
又∵cosα=，
∴，.
∴.
∵，
整理可得.
∴，（舍去）.
∴.………………………………………………………………5分
如图2，过点Q的对应点作EF⊥CD于点E，交x轴于点F.
设P(x，y)，则CQ=- x，PQ=4- y.
可得.……………………………………………………6分
又∵cosα=，
∴，.
∴.
∵，
整理可得.
∴（舍去），.
∴.……………………………………………………………7分
∴或.
25. 解：（1）证明：如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE. ………………………………………………………………1分
∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，
∴∠ABG=∠AEH.
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH. ………………2分
∴BG=EH，AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=60°，
∴△AGH是等边三角形.
∴AG=HG.
∴EG =AG+BG. …………………………………………………………………3分
(2) …………………………………………………………5分
（3）……………………………………………………………6分
如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE.
∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH =180°.
∴∠ABG=∠AEH.
∵又AB=AE，
∴△ABG≌△AEH. ………………7分
∴BG=EH，AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形.
∴AG=HG.
∴…………………………………………………………8分
说明：各解答题其它正确解法请参照给分.