解直角三角形
一、选择题
1.（2014•孝感，第8题3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，则▱ABCD的面积是（ ）
2. （2014•泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
3. （2014•扬州，第8题，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（ ）
（第2题图）
4.（2014•滨州，第11题3分）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC的长为（ ）
5.（2014•德州，第7题3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（ ）
二.填空题
1．（2014•新疆，第13题5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC= ．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
2．（2014•舟山，第12题4分）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=，则树高BC为 米（用含α的代数式表示）．
3．（2014•浙江宁波，第17题4分）为解决停车难的问题，在如图一段长的路段开辟停车位，每个车位是长宽的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 17 个这样的停车位．（≈1.4）
4. （2014•株洲，第13题，3分） 孔明同学在距某电视塔塔底水平距离处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为 米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．
（第1题图）
5. （2014•泰州，第16题，3分）如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于 1或2 cm．
（第2题图）
6.（2014•济宁，第12题3分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为 3+ ．
三.解答题
1. （ 2014•安徽省,第18题8分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．
考点： 解直角三角形的应用．
分析： 过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，根据三角函数求得BE，在Rt△BCF中，根据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解．
解答： 解：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．
在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20×=10km，
在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷=km，
CF=BF•sin30°=×=km，
DF=CD﹣CF=（30﹣）km，
在Rt△DFG中，FG=DF•sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km，
∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．
故两高速公路间的距离为（25+5）km．
点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
2. （ 2014•广东，第20题7分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
3. （ 2014•珠海，第17题7分）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．
（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；
（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
4. （ 2014•广西贺州，第24题8分）如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．
（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；
（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）
5．(2014年四川资阳，第19题8分)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
分析： 过A作AD⊥BC于D，先由△ACD是等腰直角三角形，设AD=x，得出CD=AD=x，再解Rt△ABD，得出BD==x，再由BD+CD=4，得出方程x+x=4，解方程求出x的值，即为A到岸边BC的最短距离．
解答： 解：过A作AD⊥BC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x，
在Rt△ABD中，∠ABD=60°，
由tan∠ABD=，即tan60°=，
所以BD==x，
又BC=4，即BD+CD=4，所以x+x=4，
解得x=6﹣2．
答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2）公里．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．(2014年天津市，第22题10分)解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．
（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为 m；
（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．
考点： 解直角三角形的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）根据中点的性质即可得出A′C′的长；
（2）设PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得关于x的方程，解出即可．
解答： 解：（I）∵点C是AB的中点，
∴A'C'=AB=23.5m．
（II）设PQ=x，
在Rt△PMQ中，tan∠PMQ==1.4，
∴MQ=，
在Rt△PNQ中，tan∠PNQ==3.3，
∴NQ=，
∵MN=MQ﹣NQ=40，即﹣=40，
解得：x≈97．
答：解放桥的全长约为97m．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练锐角三角函数的定义，难度一般．
7．（2014年云南省，第21题6分）如图，小明在M处用高（DM=）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题
分析： 首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．
解答： 解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，
∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，
∴BC=CD=，
在Rt△BCE中，sin60°=，即=，
∴BE=5，
AB=BE+AE=5+1≈．
答：旗杆AB的高度大约是10米．
点评： 主要考查解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
8．（2014•四川自贡，第18题8分）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）
9．（2014·云南昆明，第20题6分）如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22米，求旗杆CD的高度.（结果精确到0.1米.参考数据：sin32°= 0.53，cos32°= 0.85，
tan32°= 0.62）
10．（2014•浙江宁波，第21题8分）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直的公路AB的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
11. （2014•益阳，第18题，8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=．求AB的长（精确到）．
参考数据：
sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；
sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．
（第1题图）
12. （2014•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．
（第2题图）
13. （2014•株洲，第17题，4分）计算：+（π﹣3）0﹣tan45°．
14. （2014•株洲，第22题，8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．
（1）求证：△ACE≌△AFE；
（2）求tan∠CAE的值．
15. （2014•株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；
（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．
（第5题图）
16．（2014年江苏南京，第23题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．
（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）考点：解直角三角形的应用
分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．
解答：设梯子的长为xm．
在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．
在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．
∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是．
点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
17. （2014•泰州，第22题，10分）图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．
（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）
18．（2014•呼和浩特，第18题6分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）