直角三角形与勾股定理
一、选择题
1. （2014•山东枣庄，第3题3分）如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（ ）
2. 1．（2014•湖南张家界，第7题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（ ）
3. （2014•十堰9．（3分））如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（ ）
4. （2014•娄底8．（3分））下列命题中，错误的是（ ）
5. （2014•山东淄博,第10题4分）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（ ）
A． 1 B． C． D． 2
考点： 勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．菁优网
分析： 本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC．求出EC后根据勾股定理即可求解．
解答： 解：如图，连接EC．
∵FC垂直平分BE，
∴BC=EC（线段垂直平分线的性质）
又∵点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，
故EC=2
利用勾股定理可得AB=CD==．
故选：C．
点评： 本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明BC=EC后易求解．本题难度中等．
二、填空题
1. （2014•山东威海，第17题3分）如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 18 ．
2. （2014•山东枣庄，第18题4分）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 （3+3） cm．
3. （2014•山东潍坊，第18题3分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺．
考点：平面展开－最短路径问题；勾股定理的应用．
分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
解答：解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，
另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长=25（尺）．
故答案为：25
点评：本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．
4. 半径为2，点O2在射线OB上运动，且⊙O2始终与OA相切，当⊙O2和⊙O1相切时，⊙O2的半径等于 ．
考点：圆和圆相切的性质，勾股定理．
分析： 作O2C⊥OA于点C，连接O1O2，设O2C=r，根据⊙O1的半径为2，OO1=7，表示出O1O2=r+2，O1C=7﹣r，利用勾股定理列出有关r的方程求解即可．
解答：如图，作O2C⊥OA于点C，连接O1O2，
设O2C=r，∵∠AOB=45°，∴OC=O2C=r，
∵⊙O1的半径为2，OO1=7，
∴O1O2=r+2，O1C=7﹣r，
∴（7﹣r）2+r2=（r+2）2，解得：r=3或15，
故答案为：3或15．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是正确的作出图形，难度中等．
5. （2014•江西抚州，第14题，3分）如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和重合在一起，将三角板绕其顶点按逆时针方向旋转角α（0°< α≤90°），有以下四个结论：
①当α=30°时，与的交点恰好为的中点；
②当α=60°时，恰好经过点；
③在旋转过程中，存在某一时刻，使得；
④在旋转过程中，始终存在，
其中结论正确的序号是 ① ② ④ .(多填或填错得0分，少填酌情给分）
解析：如图1，∵α=30°，∴∠ACA′=∠A=30°,∠BCA′=∠B=60°，∴DC=DA,DC=DB,∴DA=DB,∴D是AB的中点.正确
如图2，当α=60°时，取A′B′的中点E,连接CE,则∠B′CE=∠B′CB=60°,又CB=CB′,∴E、B重合，∴A′、B′恰好经过点B.正确
如图3，连接AA′,BB′,则⊿CAA′∽⊿CBB′,∴,∴AA′=BB′.错误
如图4，∠A′B′D=∠CBB′－60°,∠B′A′D=180°－(∠CA′A+30°),
∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°＋∠CBB′－∠CA′A
∵ ∠CBB′=∠CA′A ,
∴∠A′B′D＋∠B′A′D=90°,即∠D=90°,
∴AA′⊥BB′.正确
∴①，②，④正确.
6. (2014年湖北咸宁13．（3分）)如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB的面积为 ．
考点： 三角形中位线定理；垂径定理；扇形面积的计算．菁优网
分析： 连接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长．利用勾股定理、OA=OB，且∠AOB=90°，可以求得该扇形的半径．
解答： 解：连接AB，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D、E分别为BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2．
又∵在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，
∴OA=OB=AB=，
∴扇形OAB的面积为：=．
故答案是：．
点评： 此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
7. (2014•年山东东营,第14题3分)如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 米．
考点： 勾股定理的应用．菁优网
分析： 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解答： 解：如图，设大树高为AB=，
小树高为CD=，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=，EC=，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），
在Rt△AEC中，AC==10（m）．
故小鸟至少飞行．
故答案为：10．
点评： 本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．
8．（2014•四川宜宾，第14题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′= 1.5 ．
9.（2014•四川凉山州，第16题，4分）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或 ．
10．（2014•四川凉山州，第26题，5分）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为 20 cm．
11．（2014•甘肃白银、临夏,第13题4分）等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是 cm．
三、解答题
1. （2014•上海，第22题10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．
（1）求sinB的值；
（2）如果CD=，求BE的值．
2. （2014山东济南，第27题，9分）如图1，有一组平行线，正方形的四个顶点分别在上，过点Ｄ且垂直于于点Ｅ，分别交于点Ｆ，Ｇ，．
（1） ，正方形的边长＝ ；
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，点在直线上，以为边在的左侧作菱形，使点分别在直线上．
①写出与的函数关系并给出证明；
②若，求菱形的边长．
【解析】（1）在中，AD=DC,又有和互余，和互余，故和相等，，知,
又，所以正方形的边长为．
（2）①过点作垂直于于点M，在中, ,,故，所以互余，与之和为，故=－.
②过E点作ON垂直于分别交于点O，N，
若,，,故, , ，
由勾股定理可知菱形边长为.
3.（( 2014年河南) 22.10分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE
填空：（1）∠AEB的度数为 60 ；
（2）线段AD、BE之间的数量关系是 AD=BE 。
解:（1）①60；②AD=BE. …………………………………………2分
提示：（1）①可证△CDA≌△CEB,
∴∠CEB=∠CDA=1200，
又∠CED=600，
∴∠AEB=1200－600=600.
②可证△CDA≌△CEB,
∴AD=BE
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。
解：（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE. …………………………4分
（注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,
∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE
∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………………6分
∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.
∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．……………………………7分
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM= DM= ME,∴DE=2CM.
∴AE=DE+AD=2CM+BE……………………………………………………8分
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。
(3)或………………………………………………………10分
【提示】PD =1，∠BPD=900,
∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点．
第一种情况：如图①，过点A作AP的垂线，交BP于点P/，
可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1,
CD=,∴BD=2,BP=,
∴AM=PP/=(PB－BP/)=
第二种情况如图②，
可得AMPP/=(PB+BP/)=