2016年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题：每小题3分，共30分
1．下列四个数中，与﹣2的和为0的数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣
2．计算32×3﹣1的结果是（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
3．下列图形中，属于立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
4． +的运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．a+b
5．某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有800名学生，各年级的合格人数如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A．七年级的合格率最高
B．八年级的学生人数为262名
C．八年级的合格率高于全校的合格率
D．九年级的合格人数最少
6．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A．13 B．17 C．20 D．26
8．在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是（ ）
A．M（2，﹣3），N（﹣4，6） B．M（﹣2，3），N（4，6） C．M（﹣2，﹣3），N（4，﹣6） D．M（2，3），N（﹣4，6）
9．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.2
二、填空题：每小题4分，共24分
11．分解因式：am﹣3a= ．
12．如图，在△ABC中，∠A=63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN=133°，则∠B的度数为 ．
13．箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是 ．
14．已知x2+2x﹣1=0，则3x2+6x﹣2= ．
15．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则= ．
16．如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．
（1）b= （用含m的代数式表示）；
（2）若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是 ．
三、解答题
17．计算：（﹣3）0﹣|﹣|+．
18．解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）
19．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
20．为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计图信息解决问题．
（1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍，求“跳绳”项目的女生人数；
（2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”，试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由；
（3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议．
21．2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回中点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程S（千米）与跑步时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求图中a的值；
（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟．
①求AB所在直线的函数解析式；
②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
22．如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E．
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；
（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．
23．如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．
24．如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．
（1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；
（2）当BE=2EC时，求的值；
（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．
2016年浙江省丽水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共30分
1．下列四个数中，与﹣2的和为0的数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣
【考点】相反数．
【分析】找出﹣2的相反数即为所求．
【解答】解：下列四个数中，与﹣2的和为0的数是2，
故选B
2．计算32×3﹣1的结果是（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【考点】负整数指数幂．
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【解答】解：32×3﹣1=32﹣1=3．
故选：A．
3．下列图形中，属于立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】认识立体图形．
【分析】根据平面图形所表示的各个部分都在同一平面内，立体图形是各部分不在同一平面内的几何，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形，可得答案．
【解答】解：A、角是平面图形，故A错误；
B、圆是平面图形，故B错误；
C、圆锥是立体图形，故C正确；
D、三角形是平面图形，故D错误．
故选：C．
4． +的运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．a+b
【考点】分式的加减法．
【分析】首先通分，把、都化成以ab为分母的分式，然后根据同分母分式加减法法则，求出+的运算结果正确的是哪个即可．
【解答】解： +
=+
=
故+的运算结果正确的是．
故选：C．
5．某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有800名学生，各年级的合格人数如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A．七年级的合格率最高
B．八年级的学生人数为262名
C．八年级的合格率高于全校的合格率
D．九年级的合格人数最少
【考点】统计表．
【分析】分析统计表，可得出各年级合格的人数，然后结合选项进行回答即可．
【解答】解：∵七、八、九年级的人数不确定，
∴无法求得七、八、九年级的合格率．
∴A错误、C错误．
由统计表可知八年级合格人数是262人，故B错误．
∵270＞262＞254，
∴九年级合格人数最少．
故D正确．
故选；D．
6．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
【考点】根的判别式．
【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
【解答】解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（ ）
A．13 B．17 C．20 D．26
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，
∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．
故选：B．
8．在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是（ ）
A．M（2，﹣3），N（﹣4，6） B．M（﹣2，3），N（4，6） C．M（﹣2，﹣3），N（4，﹣6） D．M（2，3），N（﹣4，6）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】设正比例函数的解析式为y=kx，根据4个选项中得点M的坐标求出k的值，再代入N点的坐标去验证点N是否在正比例函数图象上，由此即可得出结论．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx，
A、﹣3=2k，解得：k=﹣，
﹣4×（﹣）=6，6=6，
∴点N在正比例函数y=﹣x的图象上；
B、3=﹣2k，解得：k=﹣，
4×（﹣）=﹣6，﹣6≠6，
∴点N不在正比例函数y=﹣x的图象上；
C、﹣3=﹣2k，解得：k=，
4×=6，6≠﹣6，
∴点N不在正比例函数y=x的图象上；
D、3=2k，解得：k=，
﹣4×=﹣6，﹣6≠6，
∴点N不在正比例函数y=x的图象上．
故选A．
9．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．
【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．
故选：D．
10．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.2
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．
【解答】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，
∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，
∴∠D=90°，
在Rt△ABD中，AD=，AB=4，
∴BD=，
∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∵AD：BC=：4=1：5，
∴相似比为1：5，
设AE=x，
∴BE=5x，
∴DE=﹣5x，
∴CE=28﹣25x，
∵AC=4，
∴x+28﹣25x=4，
解得：x=1．
故选：C．
二、填空题：每小题4分，共24分
11．分解因式：am﹣3a= a（m﹣3） ．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】根据提公因式法的一般步骤进行因式分解即可．
【解答】解：am﹣3a=a（m﹣3）．
故答案为：a（m﹣3）．
12．如图，在△ABC中，∠A=63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN=133°，则∠B的度数为 70° ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质只要求出∠ADE，由∠AEN=∠A+∠ADE计算即可．
【解答】解：∵∠AEN=∠A+∠ADE，∠AEN=133°，∠A=63°，
∴∠ADE=70°，
∵MN∥BC，
∴∠B=∠ADE=70°，
故答案为70°．
13．箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】根据题意可以列出相应的树状图，从而可以得到恰好为1个黑球和1个红球的概率．
【解答】解：由题意可得，
故恰好为1个黑球和1个红球的概率是：，
故答案为；．
14．已知x2+2x﹣1=0，则3x2+6x﹣2= 1 ．
【考点】代数式求值．
【分析】直接利用已知得出x2+2x=1，再代入原式求出答案．
【解答】解：∵x2+2x﹣1=0，
∴x2+2x=1，
∴3x2+6x﹣2=3（x2﹣2x）﹣2=3×1﹣2=1．
故答案为：1．
15．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则= ．
【考点】菱形的性质．
【分析】连接AC、EF，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD，然后判断出△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°，设EF与BD相交于点H，AB=4x，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH，再求出DH，从而得到GH，利用勾股定理列式求出EG，最后求出比值即可．
【解答】解：如图，连接AC、EF，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵BE⊥AD，AE=DE，
∴AB=BD，
又∵菱形的边AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
设EF与BD相交于点H，AB=4x，
∵AE=DE，
∴由菱形的对称性，CF=DF，
∴EF是△ACD的中位线，
∴DH=DO=BD=x，
在Rt△EDH中，EH=DH=x，
∵DG=BD，
∴GH=BD+DH=4x+x=5x，
在Rt△EGH中，由勾股定理得，EG===2x，
所以， ==．
故答案为：．
16．如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．
（1）b= m+ （用含m的代数式表示）；
（2）若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）根据待定系数法点A的纵坐标相等列出等式即可解决问题．
（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．记△AOF面积为S，则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBN面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S=2（2﹣s），所以S△ADM=2S△OEF，推出EF=AM=NB，得B（2m，）代入直线解析式即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且点A的横坐标为m，
∴点A的纵坐标为，即点A的坐标为（m，）．
令一次函数y=﹣x+b中x=m，则y=﹣m+b，
∴﹣m+b=
即b=m+．
故答案为：m+．
（2）作AM⊥OD于M，BN⊥OC于N．
∵反比例函数y=，一次函数y=﹣x+b都是关于直线y=x对称，
∴AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，记△AOF面积为S，
则△OEF面积为2﹣S，四边形EFBN面积为4﹣S，△OBC和△OAD面积都是6﹣2S，△ADM面积为4﹣2S=2（2﹣s），
∴S△ADM=2S△OEF，
∴EF=AM=NB，
∴点B坐标（2m，）代入直线y=﹣x+m+，
∴=﹣2m=m+，整理得到m2=2，
∵m＞0，
∴m=．
故答案为．
三、解答题
17．计算：（﹣3）0﹣|﹣|+．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【分析】原式利用零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1﹣+2
=1+．
18．解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）
【考点】解一元一次不等式．
【分析】先去括号，然后移项及合并同类项，系数化为1，即可解答本题．
【解答】解：3x﹣5＜2（2+3x），
去括号，得3x﹣5＜4+6x，
移项及合并同类项，得﹣3x＜9，
系数化为1，得x＞﹣3．
故原不等式组的解集是：x＞﹣3．
19．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．
请你运用所学的数学知识解决这个问题．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据正切的定义求出AC，根据正弦的定义求出CF，计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，
AC==2，
则EF=AC=2，
∵∠E=45°，
∴FC=EF•sinE=，
∴AF=AC﹣FC=2﹣．
20．为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计图信息解决问题．
（1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍，求“跳绳”项目的女生人数；
（2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”，试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由；
（3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议．
【考点】条形统计图；频数（率）分布折线图．
【分析】（1）先根据统计图得到“掷实心球”项目男、女生总人数，除以2可求“跳绳”项目男、女生总人数，再减去“跳绳”项目男生人数，即可得到“跳绳”项目的女生人数；
（2）根据平均数公式得到该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目即可求解；
（3）根据统计图提出合理化建议，合理即可．
【解答】解：（1）÷2﹣260
=1000÷2﹣260
=500﹣260
=240（人）
答：“跳绳”项目的女生人数是240人；
（2）“掷实心球”项目平均分：
÷
=÷1000
=9000÷1000
=9（分），
投篮项目平均分大于9分，
其余项目平均分小于9分．
故该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有投篮，掷实心球两个项目．
（3）如：游泳项目考试的人数最多，可以选考游泳．
21．2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回中点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程S（千米）与跑步时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求图中a的值；
（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点C，该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟．
①求AB所在直线的函数解析式；
②该运动员跑完赛程用时多少分钟？
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可解决问题．
（2）①先求出A、B两点坐标即可解决问题．
②令s=0，求出x的值即可解决问题．
【解答】解：（1）∵从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米/分，用时35分钟，
∴a=0.3×35=10.5千米．
（2）①∵线段OA经过点O（0，0），A（35，10.5），
∴直线OA解析式为y=0.3t（0≤t≤35），
∴当s=2.1时，0.3t=2.1，解得t=7，
∵该运动员从第一次经过C点到第二次经过C点所用的时间为68分钟，
∴该运动员从起点点到第二次经过C点所用的时间是7+68=75分钟，
∴直线AB经过（35，10.5），（75，2.1），
设直线AB解析式s=kt+b，
∴解得，
∴直线AB 解析式为s=﹣0.21t+17.85．
②该运动员跑完赛程用的时间即为直线AB与x轴交点的横坐标，
∴当s=0，时，﹣0.21t+17.85=0，解得t=85
∴该运动员跑完赛程用时85分钟．
22．如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E．
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；
（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．
【考点】切线的判定与性质；弧长的计算．
【分析】（1）连接OD，BD，根据圆周角定理得到∠ABO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根据等式的性质得到∠ADO=∠ABO=90°，根据切线的判定定理即可得到即可；
（2）由AD是半圆O的切线得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根据圆周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代换得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根据平角的定义得到∠BOD=180°﹣54°=126°，然后由弧长的公式即可计算出结果．
【解答】（1）证明：连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，
∴∠ADO=∠ABO=90°，
∴AD是半圆O的切线；
（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，
∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD，
∵AD是半圆O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ODC+∠BDO=90°，
∴∠BDO=∠CDE，
∵∠BDO=∠OBD，
∴∠DOC=2∠BDO，
∴∠DOC=2∠CDE，
∴∠A=∠CDE；
（3）解：∵∠CDE=27°，
∴∠DOC=2∠CDE=54°，
∴∠BOD=180°﹣54°=126°，
∵OB=2，
∴的长==π．
23．如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2﹣x+3的绳子．
（1）求绳子最低点离地面的距离；
（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；
（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；
（2）利用顶点式求出抛物线F1的解析式，进而得出x=3时，y的值，进而得出MN的长；
（3）根据题意得出抛物线F2的解析式，得出k的值，进而得出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵a=＞0，
∴抛物线顶点为最低点，
∵y=x2﹣x+3=（x﹣4）2+，
∴绳子最低点离地面的距离为： m；
（2）由（1）可知，BD=8，
令x=0得y=3，
∴A（0，3），C（8，3），
由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），
设F1的解析式为：y=a（x﹣2）2+1.8，
将（0，3）代入得：4a+1.8=3，
解得：a=0.3，
∴抛物线F1为：y=0.3（x﹣2）2+1.8，
当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1，
∴MN的长度为：2.1m；
（3）∵MN=DC=3，
∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，
∴抛物线F2的顶点坐标为：（ m+4，k），
∴抛物线F2的解析式为：y=（x﹣m﹣4）2+k，
把C（8，3）代入得：（4﹣m﹣4）2+k=3，
解得：k=﹣（4﹣m）2+3，
∴k=﹣（m﹣8）2+3，
∴k是关于m的二次函数，
又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，
∴k随m的增大而增大，
∴当k=2时，﹣（m﹣8）2+3=2，
解得：m1=4，m2=12（不符合题意，舍去），
当k=2.5时，﹣（m﹣8）2+3=2.5，
解得：m18﹣24，m2=8+2（不符合题意，舍去），
∴m的取值范围是：4≤m≤8﹣2．
24．如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．
（1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；
（2）当BE=2EC时，求的值；
（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF=DE=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠FCE，证出CF=CE，由ASA证明△BCF≌△DEC即可；
（2）设CE=a，则BE=2a，BC=3a，证明△BCF∽△DEC，得出对应边成比例=，得出ED2=6a2，由勾股定理得出DC=a，即可得出结果；
（3）过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，由直角三角形斜边上的中线性质得出∠FEC=∠FCE，证出∠ADF=∠BCF，由SAS证明△ADF≌△BCF，得出∠AFD=∠BFC=90°，证出四边形C′MFH是矩形，得出FM=C′H=，设EM=x，则FC=FE=x+，由勾股定理得出方程，解方程求出EM=，FC=FE=+；由（2）得：，把CE=1，BE=n代入计算即可得出n的值．
【解答】（1）证明；∵在矩形ABCD中，∠DCE=90°，F是斜边DE的中点，
∴CF=DE=EF，
∴∠FEC=∠FCE，
∵∠BFC=90°，E为BC中点，
∴EF=EC，
∴CF=CE，
在△BCF和△DEC中，，
∴△BCF≌△DEC（ASA）；
（2）解：设CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，
∵CF是Rt△DCE斜边上的中线，
∴CF=DE，
∵∠FEC=∠FCE，∠BFC=∠DCE=90°，
∴△BCF∽△DEC，
∴=，
即： =，
解得：ED2=6a2，
由勾股定理得：DC===a，
∴==；
（3）解：过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，如图所示：
∵CF是Rt△DCE斜边上的中线，
∴FC=FE=FD，
∴∠FEC=∠FCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADF=∠CEF，
∴∠ADF=∠BCF，
在△ADF和△BCF中，，
∴△ADF≌△BCF（SAS），
∴∠AFD=∠BFC=90°，
∵CH⊥AF，C′C⊥EF，∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90°，
∴四边形C′MFH是矩形，
∴FM=C′H=，
设EM=x，则FC=FE=x+，
在Rt△EMC和Rt△FMC中，
由勾股定理得：CE2﹣EM2=CF2﹣FM2，
∴12﹣x2=（x+）2﹣（）2，
解得：x=，或x=﹣（舍去），
∴EM=，FC=FE=+；
由（2）得：，
把CE=1，BE=n代入计算得：CF=，
∴，
解得：n=4
2016年6月21日