淮安市2023年中考数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求）
1. 下列实数中，属于无理数的是（ ）
A. ﹣2 B. 0 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】无理数是指无限不循环小数，根据定义逐个判断即可．
【详解】解:﹣2、0、5是有理数，是无理数．
故选：C．
【点睛】本题考查了对无理数定义的应用，能理解无理数的定义是解此题的关键.
2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 健康成年人的心脏每分钟流过的血液约．数据4900用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将4900写成的形式即可，其中，n为正整数．
【详解】解：4900的小数点向左移动3位得4.9，
因此，
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是确定中a和n的值．
4. 下列计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法则，逐一进行计算后判断即可．
【详解】解：A、 ，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查合并同类项，幂乘方，同底数幂的乘除，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，，
A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选D．
【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．
6. 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵直尺的两边平行，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外交的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
7. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得这个几何体为圆锥，然后求出圆锥的母线长为，再根据圆锥的侧面（扇形）面积公式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：这个几何体为圆锥，
如图，过点作于点，
根据题意得：，，，
∴，
∴，
即圆锥的母线长为，
∴这个几何体的侧面积是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，求圆锥的侧面积，根据题意得到这个几何体为圆锥是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，则
∴
∴
∵,
∴
∴
解得：
∵点在上，
∴
解得：
∴直线的解析式为
当时，
即
又反比例函数在第一象限内的图象交于点
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择 题共126分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x−5⩾0，解得x⩾5．
故答案为：x≥5
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式．
10. 方程的解是_________．
【答案】
【解析】
【分析】将分式方程转化为整式方程，求解即可．
【详解】解：由可得：
解得
经检验是原分式方程的解，
故答案为：
【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法．
11. 若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：三角形的底边长为
故答案为：
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形腰长相等．
12. 若，则的值是_________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据已知得到，再代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：3.
【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想求解是解答的关键．
13. 将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图(如图)，两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的方差分别为，则_________(填“”“”或“”)．
【答案】
【解析】
【分析】根据折线统计图可得甲的数据波动较小，进而根据方差的意义即可求解．
【详解】解：由折线统计图可得，甲的数据波动较小，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折线统计图，方差的意义，理解数据波动小的方差小是解题的关键．
14. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是_________．
【答案】120
【解析】
【分析】解：如图，连接，由是的直径，可得，由，可得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，含的直角三角形，圆内接四边形的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
15. 如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到，则的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为，设正六边形的边长为1，求得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，
∵正六边形对边互相平行，且内角为，
∴
过点作于，
∴
设正六边形的边长为1，则，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
16. 在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据轴对称的性质可得，进而可得在半径为的上，证明是等边三角形，当取得最大值时，面积最大，根据圆的直径最大，进而得出最大值为，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵点关于的对称点为，
∴，
∵，
∴在半径为的上，
在优弧上任取一点，连接,
则，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
当取得最大值时，面积最大，
∵在上运动，则最大值为，
则面积的最大值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，得出最大值为是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共102分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据化简绝对值，零指数幂，求一个数的算术平方根，进行计算即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，约分化简，再将代入求值．
【详解】解：
，
将代入，得：
原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式的运算法则．
19. 已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：．
【答案】证明见详解；
【解析】
【分析】根据得到，结合，，即可得到即可得到证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据平行线得到三角形全等判定的条件．
20. 小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩．
（1）小华选择C项目的概率是_________；
（2）用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表法求概率即可求解．
【小问1详解】
解：共有三个热门项目，小华选择C项目的概率是；
故答案为：．
小问2详解】
解：列表法如图，
共有9种等可能结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目，有6种，
∴小华、小玲选择不同游玩项目的概率．
【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21. 为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集（单位：万元）：
5.0 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8
5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8
数据整理：
数据分析：
问题解决：
（1）填空：_________，_________．
（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有_____名员工获得奖励．
（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
【答案】（1）4，7.7
（2）12 （3）7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励
【解析】
【分析】（1）根据所给数据及中位数的定义求解；
（2）根据频数分布表求解；
（3）利用中位数进行决策．
【小问1详解】
解：该组数据中有4个数在7与8之间，故，
将20个数据按从小到大顺序排列，第10位和第11位分别是7.6，7.8，故中位数，
故答案为：4，7.7；
【小问2详解】
解：月销售额不低于7万元的有：（人），
故答案为：12；
【小问3详解】
解：7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励．
【点睛】本题考查频数分布表，中位数，利用中位数做决策等，解题的关键是掌握中位数的求法及意义．
22. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．
【答案】的长为米或米
【解析】
【分析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设米，则米，根据题意得，
，
解得：，
答：的长为米或米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
23. 根据以下材料，完成项目任务，
【答案】（1）古塔的高度为；（2）古塔底面圆的半径为．
【解析】
【分析】（1）延长交于点，则四边形是矩形，设，则，根据，解方程，即可求古塔的高度；
（2）根据，，即可求得古塔底面圆的半径．
【详解】解：（1）如图所示，延长交于点，则四边形是矩形，
∴，
依题意，，，
设，则，
在中，，
解得：，
∴古塔的高度为．
（2），，
∴．
答：古塔的高度为，古塔底面圆的半径为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
24. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）作的角平分线交于点，过点作，交于点，以为圆心，为半径作，即可；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设交于点，连接，可得是等边三角形，进而根据与重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：∵，是的切线，
∴，
∴，
则，
解得：，
如图所示，设交于点，连接，
∵，
∴是等边三角形，
如图所示，过点作于点，
∴
∴
在中，,
∴,
∴，则，
∴与重叠部分的面积为．
【点睛】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题的关键．
25. 快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为．两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数图像如图所示．
（1）请解释图中点的实际意义；
（2）求出图中线段所表示的函数表达式；
（3）两车相遇后，如果快车以返回速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
【答案】（1）快车到达乙地时，慢车距离乙地还有
（2）
（3）小时
【解析】
【分析】（1）根据点的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解；
（2）根据题意得出，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解．
【小问1详解】
解：根据函数图象，可得点的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有
【小问2详解】
解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时，则点的横坐标为，
此时慢车继续行驶小时，则快车与慢车的距离为，
∴
设直线的表达式为
∴
解得：
∴直线的表达式为
【小问3详解】
解：设快车去乙地速度为千米/小时，则，
解得：
∴甲乙两地的距离为千米，
设快车返回的速度为千米/小时，根据题意，
解得：，
∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需（小时）
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程，根据函数图象获取信息是解题的关键．
26. 已知二次函数（为常数）．
（1）该函数图像与轴交于两点，若点坐标为，
①则的值是_________，点的坐标是_________；
②当时，借助图像，求自变量的取值范围；
（2）对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）；
（3）当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围．
【答案】（1）①②或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可；
（2）求出二次函数最小值，即可得解；
（3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论．
【小问1详解】
解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴点的坐标是；
故答案为：；
②，
列表如下：
画出函数图像如下：
由图可知：当时，或；
【小问2详解】
∵，
∴当时，有最小值为；
∵对于一切实数，若函数值总成立，
∴；
【小问3详解】
∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，
∴直线与抛物线的两个交点为，直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，有最小值，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．
27. 综合与实践
定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形．
（1）概念理解：
当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________．
（2）操作验证：
用正方形纸片进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接；
第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；
第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．
试说明：矩形是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）将代入，即可求解．
（2）设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形．
（4）根据（2）的方法，分别求得四边形的周长与矩形的周长，即可求解．
【详解】解：（1）当时，，
故答案为：．
（2）如图（2），连接，
设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得
设，则
根据折叠，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
解得：
∴
∴矩形是1阶奇妙矩形．
（3）用正方形纸片进行如下操作（如图）：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，再对折，折痕为，连接；
第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；
第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为．
矩形是2阶奇妙矩形，
理由如下，连接，设正方形的边长为，根据折叠可得，则，
设，则
根据折叠，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
解得：
∴
当时，
∴矩形是2阶奇妙矩形．
（4）如图（4），连接诶，设正方形的边长为1，设，则，
设，则
根据折叠，可得，，
在中，，
∴，
在中，
∴
整理得，
∴四边形的边长为
矩形的周长为，
∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值
【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．