数学
卷Ⅰ
一、选择题（本题有10小题，第1-5小题，每小题3分，第6-10小题，每小题4分，共35分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1. 如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴及有理数的加法可进行求解．
【详解】解：由数轴可知点A表示的数是，所以比大3的数是；
故选D．
【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键．
2. 截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的三视图可进行求解．
【详解】解：由图可知该几何体的主视图是 ；
故选：A．
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．
3. 苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：数据218000000用科学记数法表示为；
故选B．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
4. 某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根据概率公式可直接求解．
【详解】解：∵有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山，
∴若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为；
故选：C．
【点睛】本题考查了根据概率公式求简单事件的概率，正确理解题意是关键．
5. 某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．为了解学生想法，校方进行问卷调查（每人选一个地点），并绘制成如图所示统计图．已知选择雁荡山的有270人，那么选择楠溪江的有（ ）
A. 90人 B. 180人 C. 270人 D. 360人
【答案】B
【解析】
【分析】根据选择雁荡山的有人，占比为，求得总人数，进而即可求解．
【详解】解：∵雁荡山的有人，占比为，
∴总人数为人
∴选择楠溪江的有人，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形统计图，从统计图获取信息是解题的关键．
6. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方以及同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
7. 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为，，可列出方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程．
【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为，，则碳水化合物含量为，
则：，即，
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
8. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H．当，，时，的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形性质和解直角三角形求出，，继而求出再根据，即可求．
【详解】解：∵在菱形中，，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质，根据菱形性质和解直角三角形求出、、是解题关键．
9. 如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ）
A. 10°，1 B. 10°， C. 15°，1 D. 15°，
【答案】C
【解析】
【分析】过点O作于点E，由题意易得，然后可得，，，进而可得，最后问题可求解．
【详解】解：过点O作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、圆周角定理及三角函数是解题的关键．
10. 【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ）
A. 4200米 B. 4800米 C. 5200米 D. 5400米
【答案】B
【解析】
【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．
【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为（分钟），小温游玩行走的时间为（分钟）；
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：
，
解得：，
∴游玩行走的速度为（米/秒），
由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为，
∴，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）；
故选B．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系．
卷Ⅱ
二、填空题（本题有6小题，第11—15小题，每小题4分，第16小题5分，共25分）
11. 分解因式：____________ ．
【答案】．
【解析】
【分析】利用提公因式法进行解题，即可得到答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行解题．
12. 某校学生“亚运知识”竞赛成绩的频数直方图(每一组含前一个边界值，不含后一个边界值)如图所示，其中成绩在分及以上的学生有___________人．
【答案】
【解析】
【分析】根据频数直方图，直接可得结论．
【详解】解：依题意，其中成绩在分及以上的学生有人，
故答案为：．
【点睛】本题考查了频数直方图，从统计图获取信息是解题的关键．
13. 不等式组的解是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据不等式的性质先求出每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【详解】解不等式组：
解：由①得，；
由②得，
所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知求公共解的原则是解题关键．
14. 若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长公式即可求解．
【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，
∴它的弧长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
15. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________．
【答案】20
【解析】
【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解．
【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：，
∴P关于V的函数解析式为，
∴当时，则，
∴压强由加压到，则气体体积压缩了；
故答案为20．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
16. 图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为___________．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为___________．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心位置，进而垂径定理、勾股定理求得，连接，取的中点，连接，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，，
∵过左侧的三个端点作圆，，
又，
∴在上，连接，则为半径，
∵，
在中，
∴
解得：；
连接，取的中点，连接，交于点，连接，，
∵，
∴，
∴，
∵点，，在同一直线上，
∴，
∴，
又，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵，
设，则
在中，
即
整理得
即
解得：或
∴题字区域的面积为
故答案为：；．
【点睛】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共90分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）12 （2）
【解析】
【分析】（1）先计算绝对值、立方根、负整数指数，再计算加减；
（2）根据同分母分式的加减法解答即可．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算和同分母分式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18. 如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形．
（2）在图中画一个，使，点Q在上，点R在上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）底边长为即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线找到在格点上的顶点即可得到等腰，然后根据中心旋转性质作出绕矩形的中心旋转180°后的图形．
（2）根据网格特点，按要求构造等腰直角三角形，然后按平移的规律作出平移后图形即可．
【小问1详解】
（1）画法不唯一，如图1（ ，），或图2（）．
【小问2详解】
画法不唯一，如图3或图4．
【点睛】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌握网格特点，灵活画出相等的线段和互相垂直或平行的线段．
19. 某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
（1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数．
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
【答案】（1）平均里程：200km；中位数：，众数：
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）观察统计图，根据平均数、中位数和众数的计算方法求解即可；
（2）根据各型号汽车的平均里程、中位数、众数和租金方面进行分析．
【小问1详解】
解：由统计图可知：
A型号汽车的平均里程：，
A型号汽车的里程由小到大排序：最中间的两个数（第10、11个数据）是200、200，故中位数，
出现充满电后的里程最多的是205公里，共六次，故众数为．
【小问2详解】
选择B型号汽车．理由：型号汽车的平均里程、中位数、众数均低于，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选择；，型号汽车的平均里程、中位数、众数都超过，其中型号汽车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车．
【点睛】本题考查了统计量的选择，平均数、中位数和众数，熟练掌握平均数、方差、中位数的定义和意义是解题的关键．
20. 如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．
（1）求m的值和直线的函数表达式．
（2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式；
（2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数性质可进行求解．
【小问1详解】
解：把点代入，得．
设直线的函数表达式为，把点，代入得
，解得，
∴直线的函数表达式为．
【小问2详解】
解：∵点在线段上，点在直线上，
∴，，
∴．
∵，
∴的值随的增大而减小，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
21. 如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点下作交的延长线于点H，连结交于点G，．
（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角得出，根据矩形的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）根据，得出，设，则， ，，根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，即．
【小问2详解】
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，∵，
∴，，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
【答案】（1），球不能射进球门
（2）当时他应该带球向正后方移动1米射门
【解析】
【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论；
（2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
【小问2详解】
设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23. 根据背景素材，探索解决问题．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1．
【答案】规划一：[任务 1]选择点和点；，，，测得图上；[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；规划二：[任务 1]选择点和点．[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；
【解析】
【分析】规划一：[任务 1]选择点和点,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上
[任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，设．根据，，得出，．由，解得，根据，得出，即可求解；
[任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，
规划二：[任务 1]选择点和点．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上；
[任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．根据，，得出，．根据，得出，然后根据，得出，进而即可求解．
[任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，即可求解．
【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可．
规划一：
[任务 1]选择点和点．
，，，测得图上．
[任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，
则，设．
∵，，
∴，．
∵，
∴
解得，
∴．
∵，
∴，
∴．
[任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．
由题意，得，解得，
∴发射塔的实际高度为米．
规划二：
[任务 1]选择点和点．
，，，测得图上．
[任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交延长线于点，则，设．
∵，，
∴，．
∵，
∴，解得，
∴．
∵，∴，
∴．
[任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．
由题意，得，解得．
∴发射塔的实际高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
24. 如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．如图，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，过点作于点．设，．
（1）求的长和关于的函数表达式．
（2）当，且长度分别等于，，的三条线段组成的三角形与相似时，求的值．
（3）延长交半圆于点，当时，求的长．
【答案】（1），
（2）或或
（3）
【解析】
【分析】（1）如图1，连接，根据切线的性质得出，证明，得出，即可得出；证明四边形是平行四边形，得出，代入数据可得；
（2）根据三边之比为，可分为三种情况．当时，当时，当时，分别列出比例式，进而即可求解．
（3）连接，，过点作于点，根据，得出，由，可得，代入（1）中解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1，连接．
∵切半圆于点，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
如图2，，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，，三边之比为（如图2），
∴可分为三种情况．
i）当时，
，，
解得，
∴．
ii）当时，
，，
解得，
∴．
iii）当时，
，，
解得，
∴．
【小问3详解】
如图3，连接，，过点作于点，
则，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，即的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，函数解析式，分类讨论，作出辅助线是解题的关键．