2023年辽宁省沈阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20）
1. 2的相反数是（ ）
A. 2 B. －2 C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2. 如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中；
【详解】解：此几何体的主视图从左往右分列，小正方形的个数分别是，，．
故选：A
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图
3. 我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为用科学记数法表示数据为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数；
【详解】解：，
故选：D
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值
4. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式的加减运算法则，同底数幂的运算，完全平方公式，积的乘方运算即可求解．
详解】解：、，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查整式的加减运算法则，同底数幂的运算，完全平方公式，积的乘方运算，掌握整式的混合运算是解题的关键．
5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法求解即可．
【详解】解：∵x≥1，
∴1处是实心原点，且折线向右．
故选：A．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
6. 某班级准备利用暑假去研学旅行，他们准备定做一批容量一致的双肩包为此，活动负责人征求了班内同学的意向，得到了如下数据：
则双肩包容量的众数是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数的定义求解即可．
【详解】解： 出现次，出现次数最多，
众数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，众数可能没有，可能有1个，也可能有多个．
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件
B. 抛出的篮球会下落是随机事件
C. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式
D. 若甲、乙两组数据平均数相同，，，则甲组数据较稳定
【答案】D
【解析】
【分析】依据随机事件、必然事件、不可能事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论．
【详解】解：、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A不符合题意；
B、抛出的篮球会下落是必然事件，故B不符合题意；
C、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D、若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定，故D符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，解题的关键是掌握相应知识点的概念．
8. 已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数图象进行判断．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，
，．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
9. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．
解：，
顶点坐标为，
顶点在第二象限．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
10. 如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论．
【详解】解：四边形内接于，，
，
，
的长．
故选：．
【点睛】本题考查是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11. 因式分解：__________．
【答案】a（a+1）2
【解析】
【分析】先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：a±2ab+b=（a±b）
【详解】：a3+2a2+a，
=a（a2+2a+1），
=a（a+1）2．
【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，掌握运算法则是解题关键
12. 当时，代数式的值为______ ．
【答案】2
【解析】
【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得，再把前两项提取，然后把的值代入可得结果.
【详解】解：
当时，原式，
故答案为：．
【点睛】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键.
13. 若点和点都在反比例函数的图象上，则 ______ ．（用“”“”或“”填空）
【答案】
【解析】
【分析】把和分别代入反比例函数中计算y的值，即可做出判断．
【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，
∴令，则；
令，则，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y的值是解题的关键．
14. 如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
（1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；
（2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
（3）作射线交直线于点；若，则______度．
【答案】58
【解析】
【分析】由作图得平分，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得，即可获得答案．
【详解】解：由作图得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质，由作图得到平分是解题关键．
15. 如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边 ______ 时，羊圈的面积最大．
【答案】15
【解析】
【分析】设为，则，根据矩形的面积公式可得关于x的二次函数关系式，配方后即可解．
【详解】解：设为，面积为，
由题意可得：，
当时，取得最大值，
即时，羊圈的面积最大，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
16. 如图，在中，，，点在直线上，，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为______ ．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况当在延长线上和当在上讨论，画出图形，连接，过点作于，利用勾股定理解题即可
【详解】解：当在线段上时，连接，过点作于，
当在线段上时，
，
，
，
，
点是线段的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当在延长线上时，则，
是线段的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共82）
17. 计算：．
【答案】10
【解析】
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算．
18. 为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类（分别用，，依次表示这三类比赛内容）．现将正面写有，，的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率．
【答案】图见解析，
【解析】
【分析】用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可；
【详解】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中小明和小梅抽到同一类比赛内容的有种，
所以小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率为．
【点睛】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键
19. 如图，在中，，是边上的中线，点在的延长线上，连接，过点作交的延长线于点，连接、，求证：四边形是菱形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质，得到垂直平分，进而得到，，，再利用平行线的性质，证明，得到，进而得到，即可证明四边形是菱形．
【详解】证明：，是边上的中线，
垂直平分，
，，，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键．
20. “书香润沈城，阅读向未来”，沈阳市第十五届全民读书季启动之际某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查问卷设置了五种选项：“艺术类”，“文学类”，“科普类”，“体育类”，“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为______ 名；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“艺术类”所对应的圆心角度数是______ 度；
（4）据抽样调查结果，请你估计该校名学生中，有多少名学生最喜爱“科普类”图书．
【答案】（1）100 （2）见解析
（3）36 （4）720名
【解析】
【分析】（1）用B的人数除以对应百分比可得样本容量；
（2）用样本容量减去其它四类的人数可得D类的人数，进而补全条形统计图；
（3）用360乘A“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；
（4）用总人数乘样本中C类所占百分比即可；
【小问1详解】
此次被调查的学生人数为：名，
故答案为：；
【小问2详解】
类的人数为：名，
补全条形统计图如下：
；
【小问3详解】
在扇形统计图中，“艺术类”所对应的圆心角度数是：，
故答案为：；
【小问4详解】
（名），
答：估计该校名学生中，大约有名学生最喜爱“科普类”图书．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小
21. 甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工个这种零件，甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．
【答案】乙每小时加工个这种零件．
【解析】
【分析】设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件，利用“甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等”列分式方程即可求解．
【详解】解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：乙每小时加工个这种零件．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意找到等量关系列出方程进行求解．
22. 如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，则的长为______ ．
【答案】（1）证明见解析
（2）8
【解析】
【分析】(1)利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
(2)利用直角三角形的边角关系定理得到设, 则, 利用x的代数式表示出线段，再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论.
【小问1详解】
证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
为的直径，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，
，
设，则，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
解得：不合题意，舍去或．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．
（1）求的值和直线的函数表达式；
（2）以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点．
①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式；
②连接，，当的面积为时，请直接写出的值．
【答案】（1），
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据直线的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）①用含m的代数式表示出的长，再根据得出结论即可；②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式的出m的值．
【小问1详解】
点在直线上，
，
一次函数的图象过点和点，
，
解得，
直线的解析式为；
【小问2详解】
①点在直线上，且的横坐标为，
的纵坐标为：，
点在直线上，且点的横坐标为，
点的纵坐标为：，
，
点，线段的长度为，
，
，
，
即；
②的面积为，
，
即，
解得，
由①知，，
，
解得，
即的值为．
【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键．
24. 如图，在纸片中，，，，点为边上的一点（点不与点重合），连接，将纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为、，射线与射线交于点．
（1）求证：；
（2）如图，当时，的长为______ ；
（3）如图，当时，过点作，垂足为点，延长交于点，连接、，求的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，得到，再根据折叠的性质，得到，然后结合邻补角的性质，推出，即可证明；
（2）作，交的延长线于，先证明四边形是正方形，再利用特殊角的三角函数值，求出，进而得到，即可求出的长；
（3）作，交的延长线于，作于，交的延长线于，作于，解直角三角形，依次求出、、、的值，进而求得的值，根据和，求得、，进而得出的值，解直角三角形，求出的值，进而得出的值，根据，得出，从而设，，进而表示出，最后根据，列出，求出，根据，得出，进而得到，即可求出的面积．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠性质可知，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，作，交的延长线于，
，，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
由（1）可知：，
矩形是正方形，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图，作，交的延长线于，作于，交的延长线于，作于，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
在中，，，
，
在中，，
由（1）可知：，
，
，
又纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形、轴对称的性质等知识，正确作辅助线，熟练解直角三角形是解题关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的交点为点和点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点，在轴正半轴上，，点在线段上，以线段，为邻边作矩形，连接，设．
连接，当与相似时，求的值；
当点与点重合时，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到线段，连接，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点，的对应点分别为、，连接当的边与线段垂直时，请直接写出点的横坐标．
【答案】（1）
（2）①或；②或或
【解析】
分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①利用已知条件用含a的代数式表示出点E，D，F，G的坐标，进而得到线段的长度，利用分类讨论的思想方法和相似三角形的性质，列出关于a的方程，解方程即可得出结论；
②利用已知条件，点的坐标的特征，平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质求得 ，和的长，利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答利用旋转的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得相应线段的长度即可得出结论；
【小问1详解】
二次函数的图象经过点，与轴的交点为点，
解得：
此抛物线的解析式为
【小问2详解】
令，则
解得：或，
∴
．
∵,
∴
四边形为矩形，
∴
∴
∴
Ⅰ当时，
∴
∴
∴
Ⅱ当时，
∴
∴
∴
综上，当与相似时，的值为或；
点与点重合，
∴
∴
∴
四边形为平行四边形，
在和中，
Ⅰ、当 所在直线与 垂直时，如图，
，，三点在一条直线上，
过点 作 轴于点 ， 则
∴此时点 的横坐标为
Ⅱ当所在直线与垂直时，如图，
，
，
设的延长线交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则轴，．
，
，
．
，
．
，
，
此时点的横坐标为；
Ⅲ当所在直线与垂直时，如图，
，，
，
，，三点在一条直线上，则，
过点作，交的延长线于点，
，
此时点的横坐标为．
综上，当的边与线段垂直时，点的横坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度和正确利用分类讨论的思想方法是解题的关键