第八章 实数单元测试（提高卷）
班级：________________姓名：_________________得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择12道、填空6道、解答6道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）不是（ ）
A．正数 B．分数
C．无理数 D．无限不循环小数
【答案】B
【分析】本题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案．
【详解】解：是正数且是无理数，即无限不循环小数，
故选；B．
2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【分析】本题考查实数的性质，根据算术平方根，立方根的定义，以及相反数的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、和不是相反数，不符合题意；
B、，两数互为相反数，符合题意；
C、，两数相等，不符合题意；
D、，两数相等，不符合题意；
故选B．
3．（2023·四川绵阳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A． B．一定没有平方根
C．的平方根是 D．一定有平方根
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根、平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键；
根据平方根的定义，被开方数大于等于零，逐项判断即可．
【详解】A．，故本选项不符合题意；
B．当时，的平方根是0，故本选项不符合题意；
C．的平方根是，故本选项不符合题意；
D．，因为，所以，一定有平方根，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）的平方根分别是，，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】此题考查了平方根的意义．正数的平方根有两个，一个正的平方根和一个负的平方根，且互为相反数，据此进行解答即可．
【详解】解：∵，的平方根分别是，，
∴，互为相反数且都不为0，
∴，
∴，
故选：B
5（24-25八年级上·福建漳州·期中）下列代数式的值一定是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根、立方根的意义，根据算术平方根和立方根的意义逐项分析即可．
【详解】解：A．当时，，故不符合题意；
B．当时，，故不符合题意；
C．当时，，故不符合题意；
D．∵，
∴ ，故符合题意；
故选D．
6．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（ ）
A． B．17 C． D．19
【答案】B
【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的计算，熟练掌握计算规则是解题关键．
先通过算出的值，再算出，进而可得到最后结果．
【详解】解：∵
∴
∵是的算术平方根，是的立方根，
∴，
∴
∴
故选：B ．
7（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点B关于点A的对称点为C，则C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查实数与数轴的对应关系和轴对称的性质，先根据已知条件可以确定线段的长度，然后根据点B、点C关于点A对称，设点C所表示的数为x，列出方程即可解决．
【详解】解：设点C所表示的数为x，
∵数轴上A、B两点表示的数分别为和，点B关于点A的对称点是点C，
∴，
根据题意，
∴，
解得．
故选：D．
8．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）下列说法中：①0是绝对值最小的有理数，②相反数大于本身的数是负数，③一个有理数不是整数就是分数，④一个有理数不是正数就是负数，⑤无理数都可以用数轴上的点来表示，⑥一个数的立方根有两个，它们互为相反数，正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，绝对值与相反数，有理数的分类，平方根的定义，掌握相关知识点是解题关键．根据相关定义逐一判断即可．
【详解】解：①0是绝对值最小的有理数，原说法正确，符合题意；
②相反数大于本身的数是负数，原说法正确，符合题意；
③一个有理数不是整数就是分数，原说法正确，符合题意；
④一个有理数可以是正数、负数和0，原说法错误，不符合题意；
⑤无理数都可以用数轴上的点来表示，原说法正确，符合题意；
⑥一个数的立方根有一个，原说法错误，不符合题意；
即正确的个数是4，
故选：C．
9．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，则表示的数为，
，
表示的数为，
，
同理可得;
；
；
；
；
，
故选：A．
10．若，则记．例如：，于是．若，则c的值为（ ）
A．16 B． C．2或 D．16或
【答案】C
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，所以．
11．（24-25八年级上·山西晋城·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根以及算术平方根的估算，首先计算三角形的面积为，在估算的范围，可得，从而可得答案．
【详解】解：由题意得，，
，
，介于整数和之间，
，
故答案为：B．
12．类比平方根和立方根，我们定义次方根为：一般地，如果，那么叫的次方根，其中，且是正整数．例如：因为，所以叫81的四次方根，记作：，下列结论中正确的是（ ）
A．负数有偶数次方根 B．32的5次方根是
C． D．当为奇数时，2的次方根随的增大而减小
【答案】D
【分析】本题主要考查了方根的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用n次方根的定义、能对比平方根与立方根解答是解题的关键．利用n次方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数，
∴负数a没有偶数次方根，
∴A选项的结论不符合题意；
∵,
∴，故B选项的结论不符合题意；
任何实数a都有奇数次方根，
∵，
∴，当时，，当时，，
∴C选项的结论不符合题意；
∵当为奇数时，2的次方根随的增大而减小，
∴D选项的结论符合题意，
故选：D．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请把答案直接填写在横线上
13（24-25七年级上·山东泰安·期末）计算的算术平方根值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了算术平方根定义，根据算术平方根定义进行计算即可．
【详解】解：．
计算的算术平方根3
故答案为：3．
14．（24-25八年级上·四川成都·期中）若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了立方根的性质，准确分析计算是解题的关键．根据立方根的定义计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
15．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）若，则的值为 ．
【答案】
【分析】由题意得，，解方程即可求出m，n的值，然后代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，，
，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了利用算术平方根的非负性解题，解一元一次方程，代数式求值，有理数的乘方运算等知识点，熟知几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．
16．（2022·海南·中考真题）写出一个比大且比小的整数是 ．
【答案】2或3
【分析】先估算出、的大小，然后确定范围在其中的整数即可．
【详解】∵ ，
∴
即比大且比小的整数为2或3，
故答案为：2或3
【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．
17．（24-25七年级上·浙江温州·期中）现有两个大小不等的正方体积木玩具，大正方体积木体积为，小正方体积木的体积为，将二者如图叠放于桌面上，则积木顶端点到桌面的距离是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查立方根，正确得出各条棱长是解题的关键．直接利用立方根得出正方体的棱长，即可得出答案．
【详解】大立方体积木体积为，
且，
，
大正方体积木的棱长为，
小正方体积木的体积为，
且，
，
小正方体积木的棱长为，
积木顶端点到桌面的距离是，
故答案为：．
18．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，组成正方形网格的小正方形边长为1，数轴上点A表示的数为__________
【答案】
【分析】本题主要考查的是算术平方根，掌握网格求面积的方法，以及实数在数轴的表示是解题的关键．根据网格的数据，可求正方形的面积，从而得到正方形的边长，从而得到结果．
【详解】大正方形面积为，
∴大正方形边长为，
∴数轴上点A表示的数为，．
三、解答题(本大题共6小题，共46分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(每题4分，共16分)（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）（1）计算：
（2）求值．
（3）求值
（4）如图，，是数轴上三个点、、所对应的实数．
试化简：
【答案】（1）5；（2）；（3）；（4）
【分析】本题主要考查数轴上的点，绝对值的性质，平方根和立方根，掌握平方根和立方根的概念是解题的关键．
（1）根据平方根和立方根的概念计算即可；
（2）运用平方根的概念解方程；
（3）运用立方根的概念解方程；
（4）根据数轴确定的符号，再由绝对值的性质，和平方根，立方根的性质化简即可．
【详解】（1）
．
（2），
，
，
或，
解得．
（3），
，
，
，
解得．
（4）由数轴可知，，
，
．
20．（共6分）（24-25七年级上·浙江金华·期中）已知一列数：．
(1)把这个数表示在下图所示的数轴上；
(2)用“”将这个数连接起来．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较；
（1）根据题意先化简绝对值，然后表示在数轴上，即可求解；
（2）根据数轴上右边的数大于左边的数，用“”将这个数连接起来，即可求解．
【详解】（1）解：=，
如图所示，
（2）根据数轴可得：
21．(共6分)（24-25七年级上·全国·单元测试）已知．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得；
（）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根；
本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根是．
22．（共6分）（24-25七年级上·浙江杭州·期中）（1）已知，，若，求的平方根；
（2）已知是的小数部分，是的整数部分，求的立方根．
【答案】（1）或；（2）4
【分析】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用绝对值、平方根和立方根的知识．
（1）先运用绝对值知识确定出a，b的值，再运用平方根知识进行讨论、求解；
（2）先运用算术平方根知识确定出x，y的值，再运用乘方和立方根知识进行求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴或，
当时，
，
∴的平方根；
当时，
，
∴的平方根，
∴的平方根或；
（2）∵，
∴，
∴的整数部分是6，的整数部分是3，
∴的小数部分是，
即，
∴，
∴的立方根是4．
23．（共6分）【问题发现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为________，大正方形的边长为________．
【知识迁移】（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为________；大正方形的面积为________；边长为________．
【拓展延伸】（3）小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：4．请通过计算说明是否可行．
【答案】（1）2，；（2）1，13，；（3）不可行，理由见详解
【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根．
（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解；
（2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积+小正方形的面积即可解答；
（3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答．
【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；
（2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；边长为；
（3）不可行，理由如下：
设截出的长方形纸片的长为，宽为，
则，
∴（负值舍去），
∴截出的长方形纸片的长为，
∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．
24．（共6分）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？
(1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格：
(2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数：
①确定立方根的位数：由猜想是 位数；
②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ；
③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ；
④确定立方根的值：由可得的值为 ．
(3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程．
【答案】(1)
(2)①两；②7；③2；④27
(3)这个正方形棱长是72
【分析】本题考查立方根的应用，理解立方根的定义是正确解答的前提．
（1）根据立方根的意义进行计算即可；
（2）利用题目提供的方法进行计算即可；
（3）利用立方根的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：要得到的结果，可以按如下步骤思考：
①∵，而，
∴，
由此得是两位数；
②∵19683的个位上的数是3，而只有7的立方的个位上的数是3，
∴的个位上的数是7；
③∵，且，
所以的十位上的数字是2；
④综合以上可得，；
（3）解：设这个正方形棱长是x，
根据题意得：，
故，
求解如下：
第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；
第二步：确定个位数字，因为373248的个位上的数是8，而2的立方的个位上的数是8，所以的个位上的数是2；
第三步：确定十位数字，划去373248后面的三位248得到373，因为，而，所以的十位上的数字是7；
综合以上可得，，
故这个正方形棱长是72．