第十一章 不等式与不等式组单元测试（提高卷）
班级：________________姓名：_________________得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择12道、填空6道、解答6道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
【详解】解：A. 不是一元一次不等式；
B. 不是一元一次不等式；
C. 是一元一次不等式；
D. 不是一元一次不等式；
故选：C．
2．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图是青岛市2024年6月6日的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的定义．根据气温为，可得的范围是．
【详解】解：图中温度为：，则，
故选：D．
3．（24-25七年级下·全国·期末）若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握和灵活运用不等式的性质是解题的关键；根据不等式的基本性质进行判断，即可求解．
【详解】解：A. ∵，∴，故该选项错误；
B. ，若，则，故该选项错误；
C. ∵，∴，故该选项正确；
D. ∵，∴，故该选项错误；
故选：C．
4．若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】先按解一元一次不等式的步骤进行计算，求出该不等式的最小整数解为12，然后把x＝12代入方程中进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
该不等式的最小整数解为12，
把代入方程中，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（24-25八年级下·全国·期末）如图，完整的数轴上有两点，分别表示和，且点在点左侧，则的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】本题考查解一元一次不等式，根据数轴得出，解不等式求出的取值范围，即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
【详解】解：由数轴可知，，
解得：，
∴的值可以是，
故选：A．
6．（2022·江苏南通·一模）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式可得，再根据不是不等式 的整数解，可得，然后根据是关于x的不等式的一个整数解，可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
∵不是不等式的整数解，
∴，
解得．
∵是关于x的不等式的一个整数解，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．为了治理环境，九年级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵；若每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（ ）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得种植的树木的数量为（7x+9）棵，再根据关键语句“每人平均植树9棵．则有1名同学植树的棵树小于8棵”列出不等式组即可．
【详解】解：设同学人数为x人，则种植的树木的数量为（7x+9）棵，由题意得：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组，关键是根据题意设出未知数，然后得出相应的不等式组即可．
8．若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．解不等式，得，据此知都能使不等式成立，再分和以及分别求解．
【详解】解：由不等式，得，
都能使不等式成立，
当，即时，则都能使恒成立；
当时，不等式的解集为，不符合题意，
，即，
不等式的解集为，
都能使不等式成立，
，
解得：，
∴此时
综上，实数m的取值范围是，
故选：C．
9．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）若规定符号表示一个数的整数部分，例如，那么；，那么，按此规定，的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查无理数的估算，以及不等式性质，解题的关键在于理解表示的意义．根据无理数的估算得到的整数取值范围，再结合不等式性质得到的整数取值范围，即可解题．
【详解】解：，
，
，
即，
故选：B．
10．已知点在第二象限，且，为整数，则点P的个数是（ ）
A．3 B．6 C． D．无数个
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点．熟练掌握根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值是解题的关键．
先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，
解得，，
∴当时，，此时点P为，，
当时，，此时点P为，，， ，
综上所述，点P的个数是6个，
故选：B ．
11．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为：，如．则不等式的负整数解为( )．
A.1 B. C. D.
【答案】
【分析】本题考查定义新运算，求不等式的整数解，根据新定义的法则，列出不等式，进行求解即可．
【详解】解：，
∴，
解得：；
∴不等式的负整数解为：．
故选：．
12．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为( )．
A. B. C. D.
【答案】
【分析】根据已知不等式的解集，即可确定a,b之间得关系以及b的符号，从而解不等式．
【详解】解：∵的解集是
∴=1,a-b<0
∴a=2b,b<0
则不等式可以化为2bx>4b
∵b<0
∴x<2
即关于的不等式的解集为x<2
【点睛】本题考查了不等式的解法，正确确定b的符号是关键．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请把答案直接填写在横线上
13．若，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【详解】解：根据可得y＝﹣2x+1，
∴k＝﹣2＜0
∵，
∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为，
当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0，
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
14．已知一个钝角的度数为，则的取值范围是 ．
【答案】12° 【分析】根据钝角的性质得到不等式组即可求解. 【详解】依题意得90°＜5x+30°＜180°， 解得12° 【点睛】此题主要考查不等式组的应用，解题的关键是熟知钝角的性质. 15．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若关于x的不等式的解集和不等式的解集相同，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元一次不等式的求解以及根据解集相同求参数值，解题的关键是分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同建立等式求解． 先分别求解不等式与，得到它们关于的解集表达式，再根据两个解集相同列出关于的方程，进而求出的值． 【详解】解不等式，解得． 解不等式，解得． 两个不等式的解集相同， ， 故答案为：2． 16．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）已知：代数式的值不小于代数式与1的差，则x的正整数解为______________． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的正整数解，根据题意可得不等式，解不等式求出不等式的解集，进而确定其正整数解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式的值不小于代数式与1的差， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴x的正整数解为1，2，3，4． 17．（21-22八年级下·山东青岛·期中）若不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别解出两个不等式的解集，根据无解列不等式，算出m范围，即可 【详解】 解①式得： ∵不等式组无解 ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查不等式组的解集；根据不等式组无解判断出是本题解题关键 18.每年春节来临之际，我区都会开展迎新春送春联的活动．书法爱好者们分A，B，C，D四个组现场为居民书写春联．活动当天上午，A组人数是B组人数的3倍，D组人数是C组人数的4倍．C组平均每人书写的数量是A组平均每人书写数量的3倍，B组平均每人书写的数量是D组平均每人书写数量的4倍，上午活动结束时，C，D两组书写的总数量比A，B两组书写的总数量少429副．活动当天下午，D组的人数减少了，B组平均每人书写的数量变为原来的，其他几组的人数与平均每人书写的数量不变．若A组人数与C组人数的3倍之差超过33人但不超过40人，C组人数小于5人，则活动当天下午四个组书写的春联总数量最多为 副． 【答案】504 【分析】设B组人数为x人，C组人数为y人，则A组人数为3x人，D组人数为4y人，A组平均每人书写数量为a副，D组平均每人书写数量b副，则C组平均每人书写数量3a副，B组平均每人书写数量4b副，由题意可求（3a+4b）（x-y）=429，列出不等式组，利用整数解，可求a=3，b=6，即可求解． 【详解】解：设B组人数为x人，C组人数为y人，则A组人数为3x人，D组人数为4y人，A组平均每人书写数量为a副，D组平均每人书写数量b副，则C组平均每人书写数量3a副，B组平均每人书写数量4b副， 由题意可得：（3xa+4xb）-（3ay+4yb）=429， 解得：（3a+4b）（x-y）=429， ∵， ∴11＜x-y＜， ∵a，b，x，y为非负整数， ∴x-y=13，3a+4b=33， ∴a=3，b=6，x=13+y， ∴3xa+4b×x+3ay+4y×b=9x+15x+9y+15y =312+48y， ∴当y=4时，312+48y =312+48×4=504， 故答案为：504． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，利用整数解求出a，b值是解题的关键． 三、解答题(本大题共6小题，共46分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(每题4分，共8分) （1）（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）解下列不等式，并把解集表示在数轴上 ． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 在数轴上表示不等式的解集，如图所示： （2）．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 20．(共7分)已知关于x的方程4(x＋2)－2＝5＋3a的解不小于方程的解，试求a的取值范围． 【答案】a的取值范围为a≤－. 【详解】解：由方程4(x+2)-2=5+3a， 得 解方程 得 依题意，得, 解得 故a的取值范围为 21.（7分）已知关于x、y的方程组的解都小于1，若关于a的不等式组恰好有三个整数解． （1）分别求出m与n的取值范围； （2）化简：|m+3|﹣+|（﹣n+2）÷|． 【答案】（1）﹣3＜m＜1，﹣4≤n＜﹣；（2）2m﹣n+5 【分析】（1）用含m的式子表示方程组的解，根据方程组的解都小于1，可得m的取值范围；再根据a的不等式组恰好有三个整数解，即可确定n的取值范围； （2）结合（1）中m与n的取值范围，即可进行化简． 【详解】解：（1）解方程组得， 因为方程组的解都小于1， 所以， 解得﹣3＜m＜1， 解关于a的不等式组， 得﹣5≤a≤， 因为不等式组恰好有三个整数解， 所以﹣3≤＜﹣2， 解得﹣4≤n＜； （2）因为﹣3＜m＜1，﹣4≤n＜﹣； 所以|m+3|＝m+3， |1﹣m|＝1﹣m， |3﹣n|＝3﹣n， 所以原式＝|m+3|﹣|1﹣m|+|×| ＝|m+3|﹣|1﹣m|+|3﹣n| ＝m+3﹣1+m+3﹣n ＝2m﹣n+5． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、分式的混合运算、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟悉解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、分式的混合运算、一元一次不等式组的整数解． 22．(共8分)．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．若购进5件蓝文化衫，4件红文化衫，共需要200元，若购进2件蓝文化衫，3件红文化衫，共需要115元． (1)学校购进红、蓝两种颜色的文化衫每件进价分别是多少元？ (2)若该校购进蓝文化衫的数量比红文化衫的数量的2倍少25件，且购进红文化衫、蓝文化衫的总数量不少于200件，则学校最少购进红文化衫多少件？ (3)在（2）的条件下，若红文化衫、蓝文化衫的售价分别是40元/件和30元/件，且总进价不超过6000元，那么如何设计购买方案，使当所有文化衫卖出后利润有最大，最大值是多少元？ 【答案】(1)红文化衫每件的进价为元，蓝文化衫每件的进价为元 (2)该校最少购进红文化衫件 (3)购买100件红色文化衫，件蓝色文化衫时获利最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式的应用，解题的关键是理解题意，列出不等式或方程组． （1）设红文化衫每件的进价为x元，蓝文化衫每件y元，根据购进5件蓝文化衫，4件红文化衫，共需要200元，若购进2件蓝文化衫，3件红文化衫，共需要115元列出方程组，解方程组即可； （2）设购进红文化衫m件，根据题意列出不等式，即可求解； （3）根据总进价不超过6000元，得出，求出，根据红色文化衫越多，蓝色文化衫越多，且购买的越多获利越多，得出当购买100件红色文化衫，购买（件）蓝色文化衫时获利最大，求出最大利润即可． 【详解】（1）解：设红文化衫每件的进价为x元，蓝文化衫每件y元，根据题意得： ， 解得， 答：红文化衫每件的进价为元，蓝文化衫每件的进价为元； （2）解：设购进红文化衫m件，则购进蓝色文化衫件，根据题意得：， 解得， 答：该校最少购进红文化衫件； （3）解：∵总进价不超过6000元， ∴， 解得：， 由（2）得， ∴， ∵蓝色文化衫购买数量为件， ∴红色文化衫越多，蓝色文化衫越多， 又∵购买的越多获利越多， ∴当购买100件红色文化衫，购买（件）蓝色文化衫时获利最大，且最大利润为： （元）． 23．（共8分）（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元 (2)见解析 (3)学校在第二次购买活动中最多需要元资金 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设A种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球单价比种足球多花元”可得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球不小于个”可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论； （3）分析第二次购买时，、种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 依题意得：，解得：． 答：购买一个种品牌的足球需要元，购买一个种品牌的足球需要元． （2）解：设第二次购买种足球个，则购买种足球个， 依题意得：， 解得：． 故这次学校购买足球有五种方案： 方案一：购买A种足球个，B种足球个； 方案二：购买A种足球个，B种足球个； 方案三：购买A种足球个，B种足球个． 方案四：购买A种足球个，B种足球个． 方案五：购买A种足球个，B种足球个． （3）解：∵第二次购买足球时，A种足球单价为(元)，B种足球单价为(元)， ∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多． ∴(元)． 答：学校在第二次购买活动中最多需要元资金． 24．(共8分)．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 【答案】(1)12秒 (2)2或6 (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用速度、路程、时间的关系求解； （2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解； （3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， （秒）， 即点整个运动过程共需12秒； （2）解： 是边上的高， 当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，， 当点P在点D左侧时，，即， 解得； 当点P在点D右侧时，，即， 解得； 综上可知，的值为2或6； （3）解：点运动总路程为， 当点在边上运动时，， 则， 解得； 当点在边上运动时，， 则， 解得， 点整个运动过程共需12秒， ， 综上可知，的取值范围为或．