专题08 相反数与绝对值
新知预习
（一）相反数的概念
（1）几何定义：在数轴上，原点两旁离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；如图所示1和-1
（2）代数定义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数为0。
（二）绝对值的概念
（1）几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。数“a”的绝对值记作“|a|”，如|+2|=2，|-3|=3，|0|=0.
（2）代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即： a（a>0）, a（a0）
|a|= 0(a=0), 或|a|=
-a(a<0), -a（a<0）
注：a.绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数，即a取任意有理数，都有|a|0.
b.离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。
c.互为相反数的两个数绝对值相等。如：|2|=2，|-2|=2
新知训练
考点1：相反数的概念
典例1：（2025秋·四川遂宁·七年级校考阶段练习）的相反数是________；的相反数是_______．
【变式1】（2025秋·广东珠海·七年级统考期末）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数为________．
【变式2】（2025秋·四川成都·七年级统考阶段练习）下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有__．
【变式3】（2025秋·山东滨州·七年级校联考期末）已知是有理数，有下列判断：①是正数；②是负数；③与必有一个是负数；④与互为相反数，其中正确的序号是______.
考点2：化简多重符号
典例2：（2025秋·青海海东·七年级统考期中）化简： =___________； =___________； =___________；
【变式1】（2025秋·全国·七年级专题练习）的相反数是______；的相反数是______，数的相反数是______，数的相反数是_______；与______互为相反数．
【变式2】（2025秋·七年级课时练习）在① +（+2）与﹣（﹣2）；② +（﹣2）与﹣（+2）；③ +（+2）与+（﹣2）；④ +（+2）与﹣（+2）；⑤ +（﹣2）与﹣（﹣2）；⑥﹣（﹣2）与﹣（+2）这六对数中，它们是互为相反数的有________组．
【变式3】（2025·全国·七年级假期作业）化简下列各数：
①－（－82） = ________ ②－｜－5｜ = _______
③ = ________
④ = ___________．
考点3：相反数的应用
典例3：（2025秋·全国·七年级专题练习）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
【变式1】（2025秋·山东聊城·七年级校考阶段练习）我们知道：数轴是一条特殊的直线，它既可以用来表示数，又可以帮助我们比较两个数的大小．请根据你对数轴的理解，解答下列问题：
(1)如图所示，，，为数轴上三点，且当为原点时，点表示的数是2，点表示的数是5．若以为原点，则点表示的数是______，点表示的数是______；若，表示的两个数互为相反数，则点表示的数是______．
(2)数和在数轴上的位置如图所示，则，，，从小到大排列为______．
【变式2】（2025秋·江苏·七年级专题练习）化简
(1)化简下列各数：
①﹣[﹣（+1）]；
②﹣[+（﹣8）]；
③﹣（﹣a）；
④﹣[﹣（﹣a）]．
(2)化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”的个数有什么关系？
【变式3】（2025秋·河南鹤壁·七年级校考阶段练习）已知的相反数是，的相反数是，的相反数是，求的值．
考点4：绝对值的意义
典例4：（2025春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知，，且，则的值为______．
【变式1】（2025秋·山东烟台·六年级统考期末）若，则数轴上有理数a对应的点与对应的点的距离是______．
【变式2】（2025秋·浙江金华·七年级统考期中）写出一个负无理数，使这个数的绝对值小于2.5：___________．
【变式3】（2025秋·江苏南京·七年级南京市竹山中学校考阶段练习）绝对值不大于5的整数有_____个．
考点5：化简绝对值
典例5：（2025秋·四川达州·七年级统考期末）已知，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ___________．
【变式1】（2025秋·重庆永川·七年级统考期末）已知，，，如果，则_________．
【变式2】（2025秋·新疆乌鲁木齐·七年级校考期末）有理数、、在数轴上的位置如图，化简：___________．
【变式3】（2025秋·四川甘孜·七年级统考期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．
给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的是__________．（填序号）
考点6：绝对值非负性的应用
典例6：（2025秋·安徽阜阳·七年级校考期末）若与互为相反数，则的值为_____．
【变式1】（2025秋·浙江·七年级专题练习）（1）若，则__；
（2）若，则__；
（3）若，则__，__；
（4）若，则__，__；
（5）若，则__，__；
（6）若，则__，__．
【变式2】（2025秋·全国·七年级期中）已知x，y满足，则的值是________．
【变式3】（2025秋·四川眉山·七年级校考阶段练习）
(1)已知 |a+2|+|b−1|=0，求 a+b 的值．
(2)当a= ______ 时，|1−a|+2 会有最小值，且最小值是 _______．
(3)当x= ______时，5−|2x−3| 有最大值．
考点7：有理数大小的比较（利用数轴、绝对值）
典例7：（2025秋·浙江·七年级专题练习）（1）试用“”“ ”或“”填空：
① ；② ；
③ ；
（2）根据（1）的结果，请你总结任意两个有理数、的差的绝对值与它们的绝对值的差的大小关系为 ；
（3）请问，当、满足什么条件时，？
【变式1】（2025秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）已知 ，，，且 ．求 ，， 的值．
【变式2】（2025秋·陕西西安·七年级西安市西电中学统考期中）在数轴上描出表示下列各数的点，并用“<”连接起来．
．
【变式3】（2025秋·江苏南京·七年级南京市宁海中学分校校考阶段练习）将下列各数按照从小到大的顺序用“<”号连接起来：
，，0，，
___________<___________<___________<___________<___________．
新知检测
一、单选题
1．（2025秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）的相反数是( )
A． B．- C．4 D．-4
2．（2025·山东聊城·统考中考真题）实数a的绝对值是，的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025秋·河北邢台·七年级邢台三中校考期中）有理数a的相反数可以表示成（ ）
A． B． C． D．0
4．（2025秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，四个有理数a，b，c，d在数轴上对应的点为A，B，C，D，若b，d互为相反数，则a，b，c，d四个有理数中，绝对值最小的一个是（ ）
A．c B．d C．a D．b
5．（2025秋·重庆綦江·七年级校联考期中）下列各数中最小的是（ ）
A．0.9 B． C．0 D．
6．（2025秋·江苏·七年级专题练习）设●、▲、■表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列为 （ ）
A．■、●、▲ B．■、▲、● C．▲、●、■ D．▲、■、●
7．（2025秋·湖北宜昌·七年级统考期中）某生产厂家检测4个篮球的质量，结果如图所示．超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的篮球是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图数线上的、、、四点所表示的数分别为、、、，且为原点．根据图中各点的位置判断，下列何者的值最小？（ ）
A． B． C． D．
9．（2025秋·七年级课时练习）﹣|﹣2020|＝（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
10．（2025·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）在、、、这四个数中，比小的数是（ ）．
A． B． C． D．
11．（2025春·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）-2的相反数是（ ）
A．2 B． C．- D．不存在
12．（2025秋·安徽宿州·七年级校考期中）已知实数，满足，则代数式的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2012 D．-2008
13．（2025秋·安徽·七年级校联考期中）如图，数轴上的点A所表示的有理数为a ，化简|a|-|a+2|的结果为（ ）
A．-2a-2 B．-2 C．2a+ 2 D．2
14．（2025秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）下列说法中正确的是
A．最小的整数是
B．互为相反数的两个数的绝对值相等
C．有理数分为正数和负数
D．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
15．（2025·浙江温州·校考一模）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e的值为（ ）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
二、填空题
16．（2025秋·山西·八年级统考期末）的绝对值是________．
17．（2025秋·河南郑州·七年级校联考期中）请写出一个比大的负整数是_________．（写出一个即可）
18．（2025秋·江苏·七年级专题练习）的相反数是______．
19．（2025秋·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）若，则______.
20．（2025秋·七年级课时练习）在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是8.2，则两点所表示的数分别是________、_________．
21．（2025秋·湖北武汉·七年级校考期末）点A、B在数轴上对应的数分别为，满足，点P在数轴上对应的数为，当=_________时，．
22．（2025秋·陕西西安·七年级西安一中校考阶段练习）若与互为相反数，则=_______
23．（2025秋·浙江杭州·七年级杭州市公益中学校考阶段练习）已知a，m，n均为有理数，且满足，那么的值为 ______________.
24．（2025秋·四川乐山·八年级校联考期中）的绝对值的相反数是_____．
25．（2025秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）三个整数a，b，c满足，且．若，则的最大值为_____．
三、解答题
26．（2025秋·七年级课时练习）在数轴上分别画出表示下列各数的点，并写出它们的绝对值：．
27．（2025秋·全国·七年级专题练习）判断下列说法是否正确：
（1）是相反数； （2）是相反数；
（3）3是的相反数； （4）与互为相反数．
28．（2025秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）已知有理数 ，， 在数轴上对应位置如图所示：
(1)用“”把 ，，，，，， 连接起来．
(2)化简 ．
29．（2025秋·广东东莞·七年级校考阶段练习）已知一组数：0，|+4|，，，，6
(1)画数轴，并把它们表示出来；
(2)用“＜”将它们连接起来；
(3)用“＞”将它们的绝对值连接起来．
30．（2025秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）化简：
（1）-
（2）-（-3.4）
（3）+（-4）
31．（2025秋·江苏·七年级专题练习）已知与互为相反数，求的值．
32．（2025秋·全国·七年级专题练习）如图，在一条不完整的数轴上一动点向左移动5个单位长度到达点，再向右移动9个单位长度到达点．
（1）①若点表示的数为0，则点、点表示的数分别为： 、 ；
②若点表示的数为1，则点、点表示的数分别为： 、 ；
（2）如果点、表示的数互为相反数，求点表示的数．
33．（2025秋·浙江·七年级专题练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ．
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ．
(3)若x表示一个有理数，且，则 ．
(4)若，利用数轴求出x的整数值．
34．（2025秋·北京·七年级统考期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题
材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、3在数轴而对应的两点之间的距离：|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到距点的距离．
一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）．
（2）利用数轴探究：
①满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是 ．
②|x﹣3|+|x+1|的最小值是 ．
（3）求|x﹣3|+|x+1|+|x﹣2|的最小值以及取最小值时x的值．
35．（2025秋·全国·七年级专题练习）（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，
①如图乙，点A、B都在原点的右边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图丙，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图丁，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．
综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A，B之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么x＝ ．
②当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，令T＝|x2﹣3|﹣2，则T的最大值＝ ；
当|x+1|﹣|x﹣2|取最大值时，x的取值范围为 ；
当|x+1|+|x﹣2|＝5时，x的值为 ．
③求代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值．