第十章 二元一次方程组（提高卷）
班级：________________姓名：_________________得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择12道、填空6道、解答6道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若是关于的二元一次方程，那么（ ）
A．8 B．-2或4 C．-2 D．-4
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义解答即可.
【详解】∵是关于的二元一次方程，
∴|k-1|=1且k-2≠0，
∴k=0，
∴
故选C.
【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义，掌握其定义是关键，易错点是不注意k-2≠0.
2．若，是关于，的二元一次方程组，则的值为( )．
A. B.0 C.1 D.2
【答案】B
【分析】本题考了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义得出，或，，求出，，再代入求出答案即可．能根据二元一次方程组的定义得出，或，是解此题的关键．
【详解】解： 是关于，的二元一次方程组，
则①，，
，
；
或②，，
即，
；
故答案为：B．
3．在二元一次方程x+3y＝1的解中，当x＝2时，对应的y的值是（ ）
A． B．﹣ C．1 D．4
【答案】B
【分析】把x＝2代入方程x+3y＝1求出y即可．
【详解】解：把x＝2代入程x+3y＝1得：2+3y＝1，
y＝﹣．
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的应用，主要考查学生的计算能力．
4．已知和是二元一次方程的两个解，则，的值分别为（ ）
A．2， B．，1 C．，2 D．1，
【答案】A
【分析】此题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组；把两组解分别代入方程中，得出关于a、b的方程组，解方程组即可．
【详解】解：根据题意可知：，
解得：，
故选：A
5．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：∵方程组与有相同的解，
∴与的解相同，
由，解得，
∴，解得，
∴；
故选D．
6已知：甲、乙两人同解方程组 时,甲看错了方程(1)中的a,解得,乙看错了(2)中的b,解得，则a+b的平方根为( )．
A.1和-1 B. 2和-2 C. 3和-3 D. 4和-4
【答案】A
【详解】分析：根据甲看错了方程（1）中的a，解得，将代入4x=by-2，以及把，代入ax+5y=15，即可得出a，b的值，求出即可.
详解：把 代入（2）得-8=b-2；
所以b=-6
把代入（1）得5a-20=15
所以a=7
a+b的平方根等于1和-1
故选A
点睛：此题主要考查了二元一次方程组的解以及幂的乘方运算，根据已知分别得出a，b的值是解决问题的关键．
7．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1．若这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（ ）
A．86 B．68 C．94 D．73
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设十位数字是，个位数字是，由题意列方程组求解即可得到答案，读懂题意，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键．
【详解】解：设十位数字是，个位数字是，
则，
解得，
原来的两位数是，
故选：D．
8．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱可列方程为，根据乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱可列方程为，由此即可得．
【详解】解：由题意，可列二元一次方程组为，
故选：B．
9．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，将长方形的一角折叠，折痕为，比大，设和的度数分别为，那么所适合的一个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，设和的度数分别为，根据题意，列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设和的度数分别为，
由题意可得，
故选：．
10．化学方程式依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左右两边同一元素原子的个数要相同．如就表示两份与一份点燃生成两份的（水），已知，由此列出关于的二元一次方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，结合题干的化学式，观察得出原子的个数在方程左右两边不需要用表示，唯有的原子个数是用表示，且同一元素原子个数在方程左右两边是相等的，故列方程，即可作答．
【详解】解：依题意，，
则，
故选：D
11．老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁
【答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法与加减消元法是解题的关键；
观察四位同学的解题过程，找出出错的即可．
【详解】解：，
由①得：，
把③代入②得：，
去分母得：，
解得：，
由③得：
则合作中出现错误的同学为丙；
故答案为：C
12．已知关于，的二元一次方程组，下列结论正确的是（ ）
①当时，方程组的解也是的解；
②，均为正整数的解只有1对；
③无论取何值，、的值不可能互为相反数；
④若方程组的解满足，则．
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法和解是解题的关键．
根据方程组得，然后再依据题目信息即可依次判断．
【详解】解：①当时，方程组整理得，，
由①②可得，，
当时，方程得，
∴当时，方程组的解也是的解，故①正确；
②解方程组，①②得，
当，均为正整数时，则有或，
∴共有2对，故②错误；
③解方程组，①②得，
∴无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故③正确；
④解方程组，①②得，
当方程组的解满足时，
解得，
代入原方程组可得
解得，，故④正确；
综上，正确的结论是①③④，
故选：A．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请把答案直接填写在横线上
13．若关于x，y的二元一次方程与有相同的解，则这个相同的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
根据题意解出方程组即可．
【详解】解：由题意知，这个相同的解就是方程组的解，
解得：．
故答案为： ．
14．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解得到，再整体代入即可得到答案．
【详解】解：将代入方程，得，
．
故答案为：．
15．已知方程组，则的值是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，通过观察，的系数之和相等，①②即可求出的值是解题的关键．①②得：，所以，从而直接求得的值．
【详解】解：，
得：，
，
，
故答案为：3．
16．若方程组的解x、y的和为0，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】先求出方程组的解，然后再根据x、y的和为0，得出方程2k-6+4-k=0，解出即可．
【详解】解：解方程组，
解得．
∵x、y的和为0，
则有2k-6+4-k=0，
解得k=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法．注意：在运用加减消元法消元时，两边同时乘以或除以一个不为0的整数或整式，一定注意不能漏项．
17．若方程组，其中不等于0，那么
【答案】
【分析】本题考查加减消元法，掌握加减消元法和将看成参数来解答是解题的关键．理解清楚题意，将看成参数，把，用表示出来，代入代数式求解即可．
【详解】解：，
得：，
整理得：，
得：，
整理得：，
∴，
故答案为：．
18．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，炳同学将边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为的长方形，然后分别以为边长构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是 ．
【答案】75
【分析】由正方形的性质可得，再消去，，建立一元一次方程即可.
【详解】解：由题意可得：，
整理可得：，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，熟练的利用图形性质建立方程组是解本题的关键.
三、解答题(本大题共6小题，共46分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(每题5分，共10分) 解方程组:．
(1)
(2)．
解(1)：
由得：，
解得，
将代入得：，
解得，
所以该方程组的解为；
解(2)：
整理得：
由得：，
解得，
将代入得：，
解得，
所以该方程组的解为．
20．（共7分）
解方程组．
解：
得 ，
，
，得 ，
，得 ，
把代入③，得，
∴原方程组的解为．
21．（共7分）（22-23七年级下·全国·课后作业）定义：若有序数对满足二元一次方程（a，b为不等于0的常数），则称为二元一次方程的数对解．例如：有序数对满足，则称为的数对解．
(1)下列有序数对是二元一次方程的数对解的是__________．（填序号）
①，②，③．
(2)若有序数对为方程的一个数对解，且p，q为正整数，求p，q的值．
【答案】(1)②③
(2)或
【详解】（1）②③
（2）∵有序数对为方程的一个数对解，
∴．整理，得．
∵p，q为正整数，∴或．
22．（共7分）两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，求本月原计划第一组生产多少个零件、第二组生产多少个零件．
【答案】 320 360
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，根据题意列二元一次方程求解即可．
【详解】解：设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，
则，
解得：，
即原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，
故答案为：320；360．
23．（共7分）．（2025·山西·模拟预测）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
(1)求A，B两种头盔的单价各是多少元；
(2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元
(2)共有2种购买方案，最大利润是220元
【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
24．（共8分）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？
【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米．
【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，再根据去与返回的时间建立方程组求解即可．
【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时．
设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
∴．
答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米．