第二章 实数
2.1认识无理数
专题 无理数近似值的确定
1. 设面积为3的正方形的边长为x，那么关于x的说法正确的是（ ）
A．x是有理数 B．x取0和1之间的实数
C．x不存在 D．x取1和2之间的实数
2．（1）如图1，小明想剪一块面积为2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？
（2）若小明想将两块边长都为的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．
3. 你能估测一下我们教室的长、宽、高各是多少米吗？你能估测或实际测量一下数学课本的长、宽和厚度吗？请你再估算一下我们的教室能放下多少本数学书？这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用呢？请你对每一个问题给出估测的数据，再把估算的过程结果一一写出来．
答案：
1．D 【解析】 ∵面积为3的正方形的边长为x，∴x2=3，而12=1，22=4，∴1＜x2＜4，∴1＜x＜2，故选D.
2．解：（1）边长为. w ww.
（2）设大正方形的边长为x，∵大正方形的面积=32+32=18，而42=16，52=25，
∴16＜x2＜25，∴4＜x＜5,故正方形的边长不是整数,它的值在4和5之间.
3．解：估算的过程：教室的长、宽、高可以用我们的身高估计出来；数学课本的长、宽和厚度可以用我们的手指估计出来，也可以用直尺测量出来；我们用长宽高相乘估计出教室的容积与课本的体积相除算出能放下多少本数学书，就是能供多少名学生使用，再用本班人数乘一年级班数估计本校一年级人数，然后相处就可以估计出这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用了．估测的数据、估算的结果略.
2.2平方根
专题一 非负数问题
1. 若与互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2． 设a，b，c都是实数，且满足（2-a）2+ +|c+8|=0，ax2+bx+c=0，求式子x2+2x的算术平方根．
3. 若实数x，y，z满足条件+ + = (x+y+z+9)，求xyz的值．
专题二 探究题
4. 研究下列算式，你会发现有什么规律？ = =2；==3；==4；= =5；… 请你找出规律，并用公式表示出来．
5.先观察下列等式，再回答下列问题： ①=1+ - =； ② =1+ =； ③=1+ =． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．
答案：
1．D 【解析】 ∵与|b+1|互为相反数，
∴+|b+1|=0，
∴=0且b+1=0，
∴a=，b=﹣1，=，故选D.
2．解：由题意，得2-a=0，a2+b+c=0，c+8=0． ∴a=2，c=-8，b=4． ∴2x2+4x-8=0． ∴x2+2x=4．w ww. ∴式子x2+2x的算术平方根为2．
3．解：将题中等式移项并将等号两边同乘以4得x-4+y-4+z-4+9=0， ∴(x-4+4)+(y-1-4+4)+(z-2-4+4)=0, ∴(-2)2+(-2)2+(-2)2=0, ∴-2=0且-2=0且-2=0, ∴=2=2 =2, ∴x=4,y-1=4 ,z-2=4,∴x=4,y=5,z=6. ∴xyz=120．
4.解：第n项an===n+1，即an=n+1．
5.解：（1）=1+ =．
验证：====．
（2）=1+=1+（n为正整数）．
2.3立方根
专题 立方根探究性问题
1. （1）填表：
（2）由上表你发现了什么规律（请你用语言叙述出来）； （3）根据发现的规律填空： ①已知=1.442，则=_____________14.42； ②已知=0.07696，则=_____________7.696．
2． 观察下列各式： （1） =2 ；（2）=3；（3）=4． 探究1：判断上面各式是否成立．（1）________；成立（2）________；成立（3）________ .成立 探究2：猜想= ________5 ． 探究3：用含有n的式子将规律表示出来，说明n的取值范围，并用数学知识说明你所写式子的正确性． 拓展:=2，=3，=4,… 根据观察上面各式的结构特点，归纳一个猜想，并验证你的猜想．
答案：
1.解：（1）直接开立方依次填入：0.01；0.1；1；10；100． （2）从表中发现被开方数小数点向右移动三位，立方根向右移动一位． （3）①14.42 ②7.696
2.解：探究1：（1）成立 （2）成立 （3）成立 探究2：
探究3：=（n≥2,且n为整数）．理由如下：
===.
拓展：=．理由如下：
===.
2.4估算
专题 比较无理数大小
1. 设a=+，b=+，c=2，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
2. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题： (+1)(-1)=1，(+ )(- )=1，(+)(-)=1，(+)(-)=1… （1）观察上面的规律，计算下列式子的值． (+++…+ )•( +1). （2）利用上面的规律，试比较与的大小．
3. 先填写下表，通过观察后再回答问题．
问： （1）被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？
若有规律，请写出它的移动规律； （2）已知：=1800，- =-1.8，你能求出a的值吗？ （3）试比较与a的大小．
答案：
1．D 【解析】 ∵a2=2000+2，b2=2000+2，c2=4004=2000+2×1002， 1003×997=1 000 000-9=999 991，1001×999=1 000 000-1=999 999，10022=1 004 004． ∴c＞b＞a．故选D．
2．解：（1）由上面的解题规律可直接写出，
则(+++…+ )•( +1)
=[(-1)+ (- )+(-)+…+(-)](+1)
=( -1) ( +1)
=2012.
（2）∵=，=,
又＜，
∴＜， ∴＞.
3．解：依次填:0.001，0.01，0.1，1，10，100，1000．w ww. （1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，算术平方根的小数点向左（或向右）移动1位.
（2）观察1.8和1800，小数点向右移动了3位，则a的值为3.24的小数点向右移动6位,即a=3240000；
（3）当0＜a＜1时，＞a；当a=1或0时，=a；当a＞1时，＜a．
2.6实数
专题 实数与数轴
1.如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A． B． C． D．
2.如图所示，直线L表示地图上的一条直线型公路，其中A、B两点分别表示公路上第140公里处及第157公里处．若将直尺放在此地图上，使得刻度15，18的位置分别对准A，B两点，则此时刻度0的位置对准地图上公路的第（ ）公里处
A．17 B．C．72 D．85
3. 一个等腰直角三角形三角板沿着数轴正方向向前滚动，起始位置如图，顶点C和A在数轴上的位置表示的实数为-1和1．那么当顶点C下一次落在数轴上时，所在的位置表示的实数是___________．
4. 如图，已知A、B、C三点分别对应数轴上的数a、b、c．
（1）化简：|a-b|+|c-b|+|c-a|；
（2）若a=，b=-z2，c=-4mn．且满足x与y互为相反数，z是绝对值最小的负整数，m、n互为倒数，试求+99b+的值；
（3）在（2）的条件下，在数轴上找一点D，满足D点表示的整数d到点A，C的距离之和为10，并求出所有这些整数的和．
答案：
1．B 【解析】 由勾股定理得：正方形的对角线为，设点A表示的数为x，则2-x=，解得x=2-．故选B．
2．B 【解析】 根据题意，数轴上刻度15，18的位置分别对准A，B两点，而AB两点间距离157-140=17（公里），即数轴上的3个刻度对应实际17公里的距离.又有数轴上刻度0与15之间有15个刻度，故刻度0的位置对准地图上公路的位置距A点有15×=85(公里), 140-85=55,故刻度0的位置对准地图上公路的55公里处.故选B．
3．3+2 【解析】 在直角△ABC中，AC=CB=2， 根据勾股定理可以得到AB=2，w ww. 则当顶点C下一次落在数轴上时， 所在的位置表示的实数是4+2-1=3+2． 故答案为：3+2．
4．解：（1）由数轴可知：a-b＞0，c-b＜0，c-a＜0， 所以原式=（a-b）-（c-b）-（c-a） =a-b-c+b-c+a=.
（2）由题意可知：x+y=0，z=-1，mn=1， 所以a=0，b=-（-1）2=-1，c=-4， ∴+99b+=-99-400=-499.
（3）满足条件的D点表示的整数为-7、3，它们的和为-4．
2.7二次根式
专题一 与二次根式有关的规律探究题
1.将1、、、按如图所示的方式排列.
若规定（m，n）表示第m排从左到右第n个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是（ ）
A.1 B. D.6
2. 观察下列各式及其验证过程：
，验证：．
，验证：．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为任意自然数，且）表示的等式，并给出验证；
（3）针对三次根式及次根式（为任意自然数，且）,有无上述类似的变形，如果有，写出用（为任意自然数，且）表示的等式，并给出验证．
3. 阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（其中a、b、m、n均为正整数）,则有a+b=m2+2n2+2mn,
∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=,用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： +
=（ ＋ ）；
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值.
专题二 利用二次根式的性质将代数式化简
4. 化简二次根式的结果是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，实数a．b在数轴上的位置，
化简：．
答案：
1.D 【解析】 从图示中知道，（4，2）所表示的数是.∵前20排共有1+2+3+4+…+20=210个数，∴（21，2）表示的是第210+2=212个数.∵这些数字按照1、、、的顺序循环出现，212÷4=53，∴（21，2）表示的数是.∴（4，2）与（21，2）表示的两数之积是.
2.解：（1）．验证：．
（2）（为任意自然数，且）．
验证：．w ww.
（3）（为任意自然数，且）．
验证：．
（为任意自然数，且）．
验证：.
3. 解：(1) 2mn (2)21 12 3 2
(3) ∵,4=2mn, ∴mn=2. ∵ m,n为正整数，∴m=1,n=2或m=2,n=1,
∴a=13或a=7.
4.B 【解析】若二次根式有意义，则≥0，-a-2≥0，解得a≤-2，∴原式==．故选B．
5.解：由图知，a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0，
∴=|a|﹣|b|+|a﹣b|=（﹣a）﹣b+（b﹣a）=﹣．