第十六章 二次根式单元测试（提高卷）
班级：________________姓名：_________________得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择12道、填空6道、解答6道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若x是整数，且有意义，则的值是（ ）
A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和解不等式组，先根据为整数和二次根式有意义求出x的值，再分别代入求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得：，
∵x是整数，
∴或4或5，
原式或1，
故选：C．
2．若是整数，则满足条件的自然数n个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出n的取值范围：n≤9，根据是整数，可得9﹣n＝0或1或4或9，解方程可求出n的值，进而求出答案．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，9﹣n≥0，
解得，n≤9，
又∵是整数，n为自然数，
∴9﹣n为完全平方数且 9﹣n的最大值为9，
∴9﹣n＝0或1或4或9，
解得，n＝9或8或5或0．
所以满足条件的自然数n的个数共4个，
故选：C．
3．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）对所有实数a，b，下列等式从左到右一定成立的是（ ）
A． B．
C．= D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的乘法法则，熟知上述性质和计算法则是解题的关键．利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则，逐一判断即可解答．
【详解】解：当时，，当时，，故A不一定成立；
当都小于0时，，故B不一定成立；
，故C不成立；
，故D成立，
故选：D．
4．（19-20八年级下·四川南充·期末）已知，，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算和完全平方公式进行计算，即可得到结果．
【详解】解：∵，，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，熟悉相关运算法则是解题的关键
5．（23-24八年级下·河南郑州·期中）在算式的中填上运算符号，使结果最大，则这个运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
【答案】D
【分析】分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可．本题考查的是二次根式的运算及实数的大小比较，根据题意得出填入加、减、乘、除四个符号的得数是解答此题的关键．
【详解】解：当填入加号时：；
当填入减号时：；
当填入乘号时：；
当填入除号时：．
，
使结果最大，则这个运算符号是除号．
故选：D．
6.（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）若x，y是两个连续自然数，且满足，则的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的估算和算术平方根，二次根式的性质，先估算，则，结合题意得到，然后根据算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
，且x，y是两个连续自然数，
，
，
的算术平方根为．
7．（24-25八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键．
根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可．
【详解】解：，，
，
原式，
故选：C．
8．（24-25八年级上·上海·期中）k、m、n为三个整数，若k，20，6，则下列有关k、m、n的大小关系中，正确的是（ ）
A．m＜k＜n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．k＜m＝n
【答案】A
【分析】已知二次根式化简确定出k，m，n的值，比较即可．
【详解】解：3，20，6，
∴k＝3，m＝2，n＝5，
则m＜k＜n，
故选：A．
9．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知x，y是有理数，且x，y满足等式，则的值为（ ）．
A．－1 B．－2 C．1 D．2
【答案】C．
【分析】直接利用已知等式得出关于x，y的等式，进而得出答案．
【详解】解：∵x，y是有理数，并且满足等式，
∴，
∴得：，
∴（y）2021＝（4）2021＝12021＝1．
故选：C
10．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知﹣1＜a＜0，化简得（ ）
A．﹣2a B． C．2a D．
【答案】B．
【分析】运用二次根式的性质进行讨论化简、辨别．
【详解】解：∵﹣1＜a＜0，
∴a，
∴a0，a0，
∴
＝aa
，
故选：B．
11．（2025九年级下·全国·专题练习）根据如图所示的运算程序，若输入时，输出的结果y的值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数大小，函数求值，先估算的范围，确定利用哪个函数解析式计算，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴当时，．
故选：B．
12．（23-24八年级上·湖南永州·期末）若m，则m5﹣2m4﹣2017m3的值为（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．0
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：∵m，
∴m2﹣2m+1＝2018，
∴m2﹣2m＝2017，
∴m5﹣2m4﹣2017m3＝m3（m2﹣2m）﹣2017m3＝2017m3﹣2017m3＝0，
故选：D．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请把答案直接填写在横线上
1．（24-25八年级上·全国·期中）若实数m、n满足等式|m﹣2|0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 10 ．
【答案】10
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，可得m﹣2＝0，n﹣4＝0，从而求出m，n的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．
【详解】解：∵|m﹣2|0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
∴m＝2，n＝4，
分两种情况：
当4为等腰三角形的腰，2为底时，
4+4+2＝10，
当2为等腰三角形的腰，2为底时，
∵2+2＝4，
∴2，2，4不能组成三角形，
∴△ABC的周长是10，
故答案为：10．
2．（24-25八年级上·四川达州·期中）已知的小数部分为 m， 的小数部分为n，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了无理数的估算以及不等式的性质，得到和，是解答本题的关键．
由，可得，即可得和，则m和n的值可求，则问题得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴整数部分为7，
∴的小数部分为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分为0，
∴的小数部分为，
∴，
∴．
故答案为：1．
3．（2024-2025八年级上·吉林延边·期末）若实数x，y，m满足等式 ，则m+4的算术平方根为 ．
【答案】3
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．
【详解】依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
4．（17-18八年级下·浙江杭州·期末）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：的结果为____________________
【答案】3a﹣3b．
【分析】实数a，b在数轴上对应点的位置判断a，b的符号，进而判断a﹣b，b﹣1，a﹣1的符号，再由二次根式化简方法进行计算即可．
【解答】解：由实数a，b在数轴上对应点的位置可知b＜﹣1＜0＜a＜1，
∴a﹣b＞0，b﹣1＜0，a﹣1＜0，
∴原式＝|a|+|b|+|a﹣b|+|b﹣1|﹣|a﹣1|
＝a﹣b+a﹣b+1﹣b﹣1+a
＝3a﹣3b．
5．（24-25八年级上·全国·期末）设，，则可以表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算，根据二次根式的性质化简计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
6．（23-24八年级上·上海·期中）使函数有意义的自变量x的取值范围为
【答案】
【分析】利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.
【详解】根据题意，
解得：
①当时，
解得：
即：
①当时，
解得：
即：
故自变量x的取值范围为
【点睛】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键.
三、解答题(本大题共6小题，共46分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(每题3分，共18分)（24-25九年级上·河南周口·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
(5)．
（6）
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】此题考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再算除法，最后算加减即可；
（2）利用零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的性质、分母有理化进行计算即可；
（3）利用平方差公式和完全平方公式进行展开后，再进行加减法即可．
(4) 首先计算分母有理化，完全平方公式，零指数幂和二次根式的除法，然后合并即可．
(5) 本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可．
(6) 本题主要考查了二次根式的混合运算，直接利用二次根式的性质化简得出答案即可，正确化简二次根式是解题关键．．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
（3）
(4)
．
(5)
．
(6)：
，
20．（共5分）（24-25八年级上·上海·期中）已知，求代数式的值．
【答案】，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先分式化简，再由进行分母有理化得，最后代入即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
21．(共5分)（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根．
(1)求a，b的值；
(2)求的平方根；
(3)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)6
【分析】本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值：
（1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可；
（2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可；
（3）求出的值，将转化为，再代值计算即可．
【详解】（1）解：，由题意，得：，
∴，
∵b是27的立方根，
∴；
（2）解：当，时，
，
∴的平方根；
（3），
∴
．
22．（共6分）（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能（单位：焦耳），表示物体的质量（单位：千克），表示物体的运动速度（单位：米/秒），若一个运动的物体的质量是10千克，动能是1000焦耳，求该物体的运动速度．
【答案】米/秒
【分析】本题主要考查了算术平方根和二次根式的应用，解题的关键是根据题目中给出的等式变形为，然后代入数据进行计算即可．
【详解】解：∵，千克，焦耳，
∴（米/秒）．
23．（共6分 ）（24-25九年级上·四川内江·期中）实数、、满足条件，求的值
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于的形式，从而可以分别求出、、的值，即可求解．
【详解】将题中等式移项并将等号两边同乘4得
，
，
，
，，，
，，，
．
故答案为：．
24．（6分）（23-24八年级上·北京大兴·期中）已知一组实数、2，，，，…，，，按如下方式排列起来：
、2，，，
，，，4
……
按这样的规律继续排列，直至．
若将所在的位置用数对表示为，所在的位置用数对表示为，回答下列问题：
（1）所在的位置用数对表示为 ；
（2）若某数的位置用数对表示为，则这个数是 ；
（3）所在的位置用数对表示为 ；
（4）这组实数中最大的有理数所在的位置用数对表示为 ．
【答案】（1）（2,3）；（2）；（3）（9,4）；（4）（25,2）
【分析】（1）找出各个实数排列的规律和数对表示所在位置的意义，即可求出结论；
（2）根据（1）找出的规律即可得出结论；
（3）根据（1）找出的规律即可得出结论；
（4）先求出这组实数中最大的有理数，然后根据（1）找出的规律即可得出结论．
【详解】解：（1）第一行：，2=，，，
第二行：，，，4=，
……
可知：每一行有4个数，每相邻的两个被开方数都是相邻的偶数
∵所在的位置用数对表示为，所在的位置用数对表示为
∴数对中第一个数表示的所在行，第二个数表示的所在列
∴所在的位置用数对表示为（2,3）
故答案为：（2,3）；
（2）若某数的位置用数对表示为
∴这个数在第4行，第1列
则这个数=
故答案为：．
（3）∵，而36÷4=9
∴在第9行，第4列
∴所在的位置用数对表示为（9,4）
故答案为：（9,4）；
（4）∵这组实数中最大的实数为，而14=＜＜15
∴这组实数中最大的有理数为14==
而98÷4=24……2
∴14在第24＋1=25行，第2列
∴这组实数中最大的有理数所在的位置用数对表示为（25,2）
故答案为：（25,2）．
【点睛】此题考查的是探索规律题，找出数字的排列规律是解决此题的关键．