一元二次方程根的判别式
1、解一元二次方程
（1）y2＋2y－4＝0 （2）y2＋2y+4＝0；
2、概括：并不是所有一元二次方程都有实数解，满足什么样的条件才会有实数解呢？
我们在一元二次方程的配方过程中得到
（x＋）2＝. （1）
发现只有当 ≥0时，才能直接开平方，得
.
也就是说，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件 时才有实数根.
观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：
当b2－4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2－4ac 0时，方程有两个相等的实数要
x1＝x2＝；
当b2－4ac 0时，方程没有实数根.
这里的 叫做一元二次方程的根的判别式，
通常记作：Δ=
3、用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根。
例1：判断一元二次方程x2－x＋1＝0是否有实数根
由b2－4ac
＝
0（填< 、>、 = ）
所以它 （有、没有）实数根。
4、可以应用判别式来确实方程中的待定系数，例如：
例2：m取什么值时，关于x的方程
2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0
有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
解：因为方程有两个相等的实数根，所以Δ 0,即
Δ=
= 0
解这个关于m的方程得
练习
1、用判别式直接判断一元二次方程是否有实数根。
（1）y2＋y－4＝0 （2）y2＋y+4＝0；
（3）y2－y－4＝0 （4）y2－y+4＝0；
2、m取什么值时，关于x的方程
2x2-4mx＋2m2 －m＝0
有两个相等的实数根？
(2)有两个不相等的实数根？
(3)没有实数根？
3、m取什么值时，关于x的方程
mx2-(2m-1)x＋m－2＝0
(1)有两个相等的实数根？
(2)有两个不相等的实数根？
(3)没有实数根？
还有另外的情况吗？
一元二次方程根与系数的关系
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
（1）x2－2x＝0；
（2）x2＋3x－4＝0；
（3）x2－5x＋6＝0.
探 索
一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），用求根公式求出它的两个根x1、x2，
能得出以下结果：
x1＋x2= 即：两根之和等于
x1•x2= 即：两根之积等于
由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知
.
=
=
=
练习
1、（1）x2－x－4＝0 （2）x2－4x+1＝0；
= =
= =
2、已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和 q的值；
3、已知方程x2+kx＋=0的一个根是-1，求k的值及另一个根.
4、如果2x2－ mx－4=0的两个根分别是、,且=2，那么实数m的值是？
5、如果2x2－ 5x－4=0的两个根分别是α、β，那么α+β+αβ=？
5、已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值.
和同学讨论一下，上述两个问题有几种解法？