小专题(二) 特殊平行四边形的性质与判定
【例】 (邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
【思路点拨】 (1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用勾股定理可求出AE、BE，进而求出AE、DE，即可求出菱形BFDE的面积．
【方法归纳】 证明平行四边形及特殊平行四边形时，通常要先看题中已知条件的特点，然后根据条件选择合适的判定方法加以证明．
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连接BE.求四边形AEBD的面积．
2．如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若∠DAB＝60°，AD＝6，AE＝DE，求菱形BEDF的周长．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O.
(1)连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；
(2)求菱形AFCE的边长．
4．E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G.求证：
(1)四边形CFEG是矩形；
(2)AE＝FG.
5．(牡丹江中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．
参考答案
【例】．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.
由翻折得BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，
∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°.
∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.
∵AD∥BC，∴∠EDM＝∠FBN.
∴△EDM≌△FBN(ASA)．
∴ED＝BF.
又∵DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
（2）∵四边形BFDE是菱形，
∴∠EBD＝∠FBD.
∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝×90°＝30°.
∴AE＝BE.
由勾股定理得AB＝AE.
在Rt△ABE中，AB＝2，
∴AE＝，BE＝.
∴ED＝.
∴AD＝2.
∴S△ABE＝AB·AE＝，S矩形ABCD＝AB·AD＝4.
∴S菱形BFDE＝4－2×＝.
针对训练
1.∵AE∥BC，DE∥AC，
∴四边形AEDC是平行四边形．∴AE＝CD.
在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，BD＝CD.[来源:学。科。网Z。X。X。K]
∴BD＝AE.
∴四边形AEBD是矩形．
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AC＝5，CD＝BC＝3，
∴AD＝＝4.
∴四边形AEBD的面积为BD·AD＝CD·AD＝3×4＝12.
2.(1)证明：连接BD，交AC于O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.
∵AE＝CF，
∴OE＝OF.
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
（2）∵∠DAB＝60°，
∴∠DAE＝30°，∠ADB＝60°.
∵AD＝6，
∴OD＝AD＝3.
∵AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE，∠ADE＝∠EDO＝30°.
在Rt△DEO中，由勾股定理可得DE＝2，
∴菱形BEDF的周长为4DE＝8.
3.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.
∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴OE＝OF.
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
（2）∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝FC.[来源:Z#xx#k.Com]新*课标*第*一*网
设AF＝x cm，则CF＝x cm，BF＝(8－x)cm，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°.
∴在Rt△ABF中，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即AF＝5 cm.
4.证明：(1)连接EC.∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠GCF＝∠CFE＝∠CGE＝90°.∴四边形EFCG为矩形．
（2）∵四边形EFCG为矩形，∴FG＝CE.
又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE＝∠CBE.
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE(SAS)．
∴AE＝EC.
∴AE＝FG.
5.(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB.
∴AC∥DE.
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE＝AD.
（2）四边形BECD是菱形，
理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD.[来源:学&科&网Z&X&X&K]
∵CE＝AD，∴BD＝CE.
∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．
（3）当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.
∵D为AB中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.
∵四边形CDBE是菱形，
∴四边形CDBE是正方形，
即当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．