丰台区2017～2018学年度第一学期期末练习
初三数学
2018. 01
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．如果(），那么下列比例式中正确的是
A． B． C． D．
2．将抛物线y = x2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为
A． B．
C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，则tanA的值为
A． B．
C． D．
4．“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置
A．① B．② C．③ D．④
5．如图，点A为函数（x > 0）图象上的一点，过点A作x轴的平行线交轴于点B，连接OA，如果△AOB的面积为2，那么k的值为
A．1 B．2
C．3 D．4
6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是
A B C D
7．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点. 如果∠AOB=140°，那么∠ACB的度数为
A．70° B．110°
C．140° D．70°或110°
8．已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
有以下几个结论：
①抛物线的开口向下；
②抛物线的对称轴为直线；
③方程的根为0和2；
④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2.
其中正确的是
A．①④ B．②④ C．②③ D．③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如果sinα =，那么锐角α = .
10．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 .
11．如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A＇B＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A＇B＇的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A＇B＇的距离为 cm.
12．如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为 .
13．已知函数的图象经过点（2，1），且与x轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式 .
14．在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），
C（4，0）的圆的圆心坐标为 .
15．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG = 2BE. 如果设BE的长为x（单位：m），绿地AEFG的面积为y（单位：m2），那么y与x的函数的表达式为 ；当BE = m时，绿地AEFG的面积最大.
16．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.
请回答以下问题：
（1）连接OA，OB，可证∠OAP =∠OBP = 90°，理由是 ； （2）直线PA，PB是⊙O的切线，依据是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分，第28题8分）
17．计算：.
18．如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD = 2，DB = 3，
AE = 4，求AC的长.
19．已知二次函数y = x2 - 4x + 3．
（1）用配方法将y = x2 - 4x + 3化成y = a(x - h)2 + k的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是 .
20．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”
用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB
于点E，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题.
21．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点为P(m，2).
（1）求k的值；
（2）M（2，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a > b时，n的取值范围.
22．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度.
（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）
23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离.
24．如图，是⊙O的直径，点是的中点，连接并延长至点，使，点是上一点，且，的延长线交的延长线于点，交⊙O于点，连接.
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当时，求的长.
25．如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF．已知AB = 4cm，AD = 2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm2．
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）确定自变量x的取值范围是 ；
（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如下表：
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为
cm．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点（2，3），对称轴为直线x =1.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点A（，），B（，），其中，，与y轴交于点C，求BCAC的值；
（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P平移后对应点为点Q，如果OP=OQ，直接写出点Q的坐标.
27．如图，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC.
（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA=∠ECA时，如图1，求证：AE=AF；
（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明.
28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：如果⊙C的半径为r，⊙C外一点P到⊙C的切线长小于或等于2r，那么点P叫做⊙C的“离心点”.
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点P1（，），P2（0，－2），P3（，0）中，⊙O的“离心点”是 ；
②点P（m，n）在直线上，且点P是⊙O的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围；
（2）⊙C的圆心C在y轴上，半径为2，直线与x轴、y轴分别交于点A，B. 如果线段AB上的所有点都是⊙C的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围.
丰台区2017—2018学年度第一学期期末练习
初三数学参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 30°； 10. ； 11. 10； 12. 1； 13. 或等，答案不唯一；
14.（2，0）； 15.（可不化为一般式），2；
16.直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25题6分，第26,27题每小题7分，第28题8分）
17. 解：
=，……3分
= ……4分
=. ……5分
18. 解：∵DE∥BC，
∴.……2分
即．
∴EC＝6．……4分
∴AC＝AE + EC＝10． ……5分
其他证法相应给分.
19.解：（1）
. ……2分
（2）如图： ….3分
（3） ….5分
20.解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，.……2分
设OC=r，则OA=r，∴OE=.
在Rt中，
∵，
∴.∴. …4分
∴AB = 2r= 26（寸）.
答：直径AB的长26寸． …5分
21. 解：（1）一次函数的图象经过点，． ……… 1分
点P的坐标为(1，2). ……… 2分
∵反比例函数的图象经过点P(1，2)，
………3分
（2）或 …………5分
22.解：由题意得，四边形ACDB，ACEN为矩形，
∴EN=AC=1.5.
AB=CD=15.
在中，
∠MED＝90°，∠MDE＝45°，
∴∠EMD＝∠MDE＝45°.
∴ME＝DE. …2分
设ME＝DE＝x，则EC＝x+15.
在中，∠MEC＝90°，
∠MCE＝35°，
∵，
∴ .∴ .
∴ . …4分
∴ .
∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.
…5分
23.解：建立平面直角坐标系，如图.
于是抛物线的表达式可以设为
根据题意，得出A，P两点的坐标分别为A（0，2），P（1，3.6）. ……2分
∵点P为抛物线顶点，
∴ .
∵点A在抛物线上，
∴，.
…3分
∴它的表达式为
. ……4分
当点C的纵坐标y=0时，有
.
（舍去），.
∴BC=2.5.
∴水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m. ……5分
24.（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，点是的中点，∴∠AOC＝90°. ……1分
∵,，∴OC是的中位线. ∴OC∥BD.
∴∠ABD＝∠AOC＝90°. ……2分
∴.∴是⊙O的切线. ……3分
其他方法相应给分.
（2）解：由（1）知OC∥BD，∴△OCE∽△BFE. ∴.
∵OB = 2，∴OC= OB = 2，AB = 4，∵，∴，∴BF=3. ……4分
在Rt中，∠ABF＝90°，.
∵ ，∴.即.
∴BH =. .……5分
其他方法相应给分.
25.（1）；.……1分
（2）3.8，4.0； ……3分
（3）如图 ……4分
（4）0或2. ……6分
26. 解：（1） ……1分
解得. ……2分
∴. ……3分
（2）如图，设l与对称轴交于点M，由抛物线的对称性可得，BM= AM. …… 3分
∴BC-AC= BM+MC-AC= AM+MC-AC= AC+CM+MC-AC=2 CM=2. ……5分
其他方法相应给分.
（3）点Q的坐标为（）或（）．……7分
27.解：（1）证明：∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC. …1分
∴∠BAC=∠DAC=45°，可证∠FAC=∠EAC=135°. ……2分
又∵∠FCA=∠ECA，
∴△ACF≌△ACE. ∴AE=AF. ……3分
其他方法相应给分.
（2）过点C作CG⊥AB于点G，求得AC=.……4分
∵∠FAC=∠EAC=135°，∴∠ACF+∠F=45°.
又∵∠ACF+∠ACE=45°，∴∠F=∠ACE.
∴△ACF∽△AEC. ……5分
∴，即. ……6分
∴. ……7分
28.解：（1）①，； ……2分
②设P（m,－m＋3），则. …3分
解得，. ……4分
故1≤m≤2. ……6分
（2）圆心C纵坐标的取值范围为：≤＜或＜≤. ……8分