新人教版九年级数学上册期末复习：
综合解答题分专题例谈
编写： 赵化中学 郑宗平
九年级上期数学统考中的综合解答题相对于统考试卷内的其它题目有一定难度系数的，在统考和中考常以压轴题的形式出现；下面我分专题编选了几种类型的综合解答题，每个专题又分为试题赏析、典型题例和追踪练习：试题赏析进行考点分析和解答，附有点评；解答规范书写，标注得分点；典型例题以师生互动的方式进行；追踪练习供课堂内外有余力的同学进一步提升.所有这些希望对同学们迎考有一定的帮助！另外在最后还选编了一部分与现行的新人教版内容相吻合的综合解答题，供同学们课外选练，以提高应试能力.
专题一：以圆为基架的综合题
一、试题赏析：
24.（2012-2013上学期统考）正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF切⊙O于点E，交AD于点F，且切点E在正方形的内部，AE、BE的长是的两实根，令.
⑴.求n与m函数关系式，并求出自变量m的取值范围；
⑵.求m的值和AF的长.
考点：正方形的性质、圆的基本性质、圆周角定理的推论、垂径定理、切线
的性质、切线长定理、三角形的中位线定理、全等三角形、勾股定理、
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系定理等.
分析：⑴.由于AE、BE是的两直角边，而是其斜边，所以本问应从
和勾股定理切入；AE、BE的长是的两实根，根据一元二次方程根的根与系数的关系定理（韦达定理）进行变换可以推出n与m函数关系式.再由一元二次方程根的判别式可得出自变量m的取值范围.
⑵.①.根据韦达定理可知,分别求出就可求出的值.连接交与,根据三角形的中位线定理，可知,在此基础上利用切线长定理、全等三角形和垂径定理的知识可以得出AE和BE之间的数量关系，由建立方程可以求出的值，从而求出的值.
②. 由、和①的值可以求出的值，从而得出正方形的边长的值.根据切线长定理可知：；进行代换后在Rt中，，
,由于的值在①问中已求出，所以
根据勾股定理在Rt建立方程可以求出的值；也可以在Rt用同样的办法求出的值.
略解：
⑴.∵的长是方程两个实根
∴ …… 1分
∵AB是⊙O的直径 ∴∠AEB=90°∴ …… 2分
∴
又∵ ∴ …… 4分
∵ ∴且 ∴ …… 5分
又∵即 ∴函数自变量的取值范围是： …… 6分
⑵.连接分别交于,连接 …… 7分
∵CE、CB都是⊙O的切线， ∴
∴OM垂直平分BE，即OM⊥BE、EM=BM. …… 8分
又∵O是AB的中点，∴OM是△ABE的中位线
∴AE=2OM …… 9分 ∵在△ABE和△BMC中：AB=BC，∠AEB=∠BMC=90°，∠CBM=∠EAB
∴△AEB≌△BMC ∴MC=BE ∴MC=BE=2BM=4OM …… 10分
设,则
∵，即，解得： …… 11分
∴.∴ …… 12分
又 ∵ ∴
∵四边形是正方形
∴
∵FA、FE、CE、CB都是⊙O的切线， ∴
设，则
∴
∵在Rt，
∴ 即 …… 13分
∴解得； 故 …… 14分
也可以在Rt用同样的办法求出的值：这是由于
故 解得；故AF= .
点评：本题的⑴问不难，只有有个配方变换，其余按常规解法解答即可.本题的⑵问由于有，所以分别求出是本问的突破口，又，所
以找出两条线段之间的关系是关键，也是本问的一个难点.要找出之间的数量关系，直接的条件没有；但在连接后与交点所新构成三角形和线段作为“中间过渡”就成了关键中的关键.调动垂径定理、切线的性质、切线长定理、三角形的中位线定理、全等三角形知识就能找出之间的数量关系.本问求线段可以化归在直角三角形中，利用勾股定理解决.
二、典型题例
如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O于点，过点B作 PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙O于点C连结.
⑴.求证：直线PA为⊙O的切线；
⑵.若BC＝6,求⊙O的半径的长． 分析：师生互动形式进行.
三、追踪练习：
1.如图，⊙的直径为，弦为,分别是
的平分线与⊙、的交点，为延长线上一点，且.
⑴.求的长；
⑵.试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由.
2. 如图，是⊙的直径，是半圆上的一点，平分
,,垂足为,交⊙于,连接.
⑴.判断与⊙的位置关系，并证明你的结论；
⑵.若是的中点，⊙的半径为1，求图中阴影部分的面积.
3.已知，如图，以Rt△的斜边为直径作⊙,是上的点，且
有,连接，在延长线上取一点,使.
⑴.求证：是⊙的切线；
⑵.若,和的长度的比为,求⊙的半径.
专题二：以二次函数为基架的综合题
一、试题赏析：
24.（2014-2015上学期统考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点,直线
（为常数，且）与交于点,与轴交于点,与交于点,与抛物线在第二象限交于点.（图形见本题解答的最后）
⑴.求抛物线的解析式；
⑵.连接,求为何值时，的面积最大；
⑶.已知一定点.问：是否存在这样的直线，使是等腰三角形？若存在，请求出的值和点的坐标；若不存在，请说明理由.
考点：待定系数法求函数的解析式、点的坐标的意义、二次函数的最大值（最小值）问题、解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的判定和性质等.
分析：⑴. 存在两个待定系数，只需要两对变量即可求出，恰好题中给出了和点，用待定系数法便可求出此函数的解析式.
⑵.确定最大值或最小值可以将问题转化为二次函数来解决，若能把的面积表示为关于的二次函数，问题便可解决；由于点的坐标的实质是反映到坐标轴的距离（表示出点的坐标往往是函数为基架的综合题的关键），所以通过点的坐标来反映的底和高是本问的一个切入点；由于点是直线和直线交点，所以只要求出直线的解析式问题便解决了；已知点,而点同时也是抛物线与轴的交点，而⑴问能提供这样条件.
⑶.本问是一个存在性的问题，存在性问题一般先假设存在，以此为出发点来探究.本问假设存在符合题意的直线，所涉及的判断的直线与直线的交点，和⑵问的方法一样，可以先把用的式子表达出来；因为定点，所以是个定值；根据点的坐标利用勾股定理把和表示出来，然后分为：①.;②.
;③. 讨论其存在性.
略解：⑴.经过点和点 （示意图见解答的最后）
∴ 解得： ∴解析式 …… 3分
⑵.抛物线与轴交点.
设直线BC的解析式为，则 ∴
∴ BC的解析式为 …… 4分
∵直线 ∴ …… 5分
∴ D(，h) ∴ …… 6分
∴
∵ ∴ 当时， 的面积最大，最大面积为 …… 7分
⑶.存在符合题意的直线，设直线AC的解析式为
即 ∴ AC的解析式为 …… 8分
∵直线与直线的交点 ∴ F(，h) ∵ ∴
在中，, …… 9分
①.若，则，整理得： ∵△=－256，此方程无解. ∴不成立 …… 10分
②.若，则 解得：
把代入，得 ∴
∵ 点在第二象限， ∴点的坐标为（－2，4） …… 11分
③.若，则 解得：， （不合题意舍去）
把代入，得 ∴
∵ 点在第二象限， ∴点的坐标为 …… 12分
综上所述，存在直线或使是等腰三角形. …… 13分
当时，点；当时，点（－2，4） …… 14分
点评：本题是一道典型的“二次综合题”.三个问的
突出特点就是待定系数法的运用，都是为二次
函数图象及其性质运用打下基础；特别是第⑶
是问一个存在性问题，考查了分类讨论的思想
个方程的思想.
二、典型题例
如图,在平面直角坐标系中，是直角三角形,,抛物线经过两点，抛物线的顶点为．
⑴.求的值；
⑵.点是直角三角形斜边上一动点
(点除外)，过点作轴的垂线交抛物
线于点，当线段的长度最大时，求点
的坐标；
⑶.在⑵的条件下：
①.求以点为顶点的四边形的面积；
②.在抛物线上是否存在一点,使是以
为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有
点的坐标；若不存在，说明理由.
分析：师生互动形式进行.
三、追踪练习：
1.如图，点在轴上，,将线段绕点顺时
针旋转120°至的位置．
⑴.求点的坐标；
⑵.求经过的抛物线的解析式；
⑶.在此抛物线的对称轴上，是否存在点，使
得以点为顶点的三角形是等腰三角形？
若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为。它的对称轴是直线.
⑴.求抛物线的解析式；
⑵.是线段上的任意一点，当△为等
腰三角形时，求点的坐标.
3.在平面直角坐标系中（为坐标原点），已知抛物线过点.
⑴.求的值，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
⑵.设抛物线的对称轴为直线，点是抛物线上在第一象限的点，点与点关于直线对称，点与点关于轴对称，若四边形的面积为48，求点的坐标；
⑶.在⑵的条件下，设是直线上任意一点，试判断是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及相应的点的坐标；若不存在，请说明理由.
专题三：圆与二次函数共同搭建的综合题
一、试题赏析：
27．（2012年中考）如图，抛物线交轴于点，交
轴于点．将抛物线沿轴翻折得抛物线．
⑴.求的解析式；
⑵.在的对称轴上找出点，使点到点的对称点及两点的
距离差最大，并说出理由；
⑶.平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径
的圆恰与轴相切，求此圆的半径．
考点： 二次函数综合题.包括待定系数法求解析式、一元二次方程、圆的切线的性质、轴对称的性质、三角形三边之间的关系、方程以及分类讨论的思想等.
分析：
⑴.首先求出翻折变换后点所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
⑵.如图2所示，连接并延长，与对称轴交于点，则点即为所求．利用轴对称的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论．为求点的坐标，首先需要求出直线B1C的解析式；
⑶.如图3所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏．解题要点是利用圆的半径表示点（或点）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径．
略解：
⑴.如图1所示，设经翻折后，点的对应点分别为;依题意，由翻折变换的性质可知，点坐标不变,因此，抛物线经过三点.
若设抛物线的解析式为，则有：
解得：； 故抛物线的解析式为：.
⑵.抛物线的对称轴为：.如图2所示，连接并延长，与对称轴交于点，则点即为所求;此时，.
设为对称轴上不同于点的任意一点，则有：
（三角形两边之差小于第三边）;
故,即最大．
设直线的解析式为，则有：
. 解得：； 故直线的解析式为：；
令，得，故.
⑶.依题意画出图形，如图3所示，有两种情况．
①.当圆位于轴上方时，设圆心为,半径为.
由抛物线及圆的对称性可知，点位于对称轴上，则.
∵点在抛物线上
∴r，化简得：.
解得：（舍去）.
∴此圆的半径为；
②.当圆位于轴下方时，同理可求得圆的半径为．
综上所述，此圆的半径为或．
点评：
本大题的⑴问根据翻折具有轴对称的性质得出抛物线的三个点的坐标，利用待定系数法即可求出其解析式；
本题的⑵问首先是根据轴对称的知识连接并延长找出点，其次是对“距离差最大”的理解：其一图中到点及两点的距离差可以具体转化到哪条线段上，利用轴对称知识可解决（见分析）；其二怎样说明到点的对称点及两点“距离差最大”？这也是本问的一个“难点”；其方法是在抛物线的对称轴除点外再任意找一个点，通过三角形三边之间关系说明此点到及两点的距离小于点到及两点的距离即可.
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二、典型题例
直角坐标系平面中，已知点和点,点在以为直径的⊙上,四边形为平行四边形.
⑴.求点坐标；
⑵.求过三点的抛物线解析式，并用配方法求出该
抛物线的顶点坐标和对称轴；
⑶.判断：⑵中抛物线的顶点与⊙的位置关系，说明理由.
分析:根据分析示意图求出⑴问的点坐标（师生互动形式进行）.
三、追踪练习
1.已知抛物线与轴的交点坐标是.
⑴.求抛物线与轴的交点的坐标及它的解析式； ⑵.若平行轴的直线与该抛物线交于两点,以为直径的圆与轴相切,求该圆半径的长度(精确到0.01)； ⑶.连接，在的上方的抛物线上有一动点,当运动到什么位置时,△的面积最大,求此时的坐标.
2.如图，点P在轴上，⊙P交轴于A，B两点，连接BP并延
长交⊙P于点C，过点C的直线交轴于点D，且⊙P
的半径为，AB=4.
⑴.求点B，P，C的坐标；
⑵.求证：CD是⊙P的切线； ⑶.若二次函数的图象经过点B，求这个二
次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数
值的的取值范围.
3.已知抛物线与轴的交点,顶点为,直线的解析式，并且线段的长为.
⑴.求抛物线的解析式；
⑵.设抛物线与轴有两个交点，且点在的左侧，求线段的长；
⑶.若以为直径作⊙,请你判断直线与⊙的位置关系，并说明理由.
4.如图，点，以点为圆心，2为半径的圆与轴交于点，已知抛物线过点和，与轴交于点.
⑴.求点的坐标，并画出抛物线的大致图象；
⑵.点在抛物线上，点为此抛物线
对称轴上一个动点，求最小值；
⑶.是过点的⊙的切线，点是切点，求所在
直线的解析式.
专题四：其它类型的综合题赏析
2013-2014上学期统考
24.如图，⊙M的圆心M在轴上，⊙M分别交轴于点A、B（A在B的左边），交轴的正半轴于点C，弦CD∥轴交⊙M于点D，已知A、B两点的横坐标分别是方程的两个根.
⑴.求点C的坐标；
⑵.求直线AD的解析式；
⑶.点N是直线AD上的一个动点，求△MNB的周长的最小值，并在图中画
出△MNB周长最小时点N的位置.
考点：解一元二次方程、勾股定理、圆的基本性质、垂径定理、矩形
的判定和性质、待定系数法求解析式、轴对称的性质等.
分析：⑴.C点是⊙M与坐标轴轴的交点，连接在Rt△COM中求OC
可以得出C点的坐标，斜边CM和另一直角边ON与⊙M的圆心和
半径有关，所以求出⊙M的直径AB是本问破题的关键，通过解
求出其两个根问题便解决了.
⑵.用待定系数法求直线AD的解析式.A点的在第⑴问已经求出，若把D点的坐标求出来问题便可以解决.
⑶.要求△MNB的周长的最小值，关键是找出或作出或关于直线AD的对称点，连结后从而确定动点点的位置，根据轴对称的性质和三角形三边之间的关系知最小.从而得出△MNB此时的周长有最小值.根据题中条件和⑴⑵的相关结论容易知道C点恰好是M关于AD的对称点，N点位置确定后可以将,把转化到利用勾股定理解决问题.
略解：⑴.方程 整理得
即 ∴ …… 1分
∴ 点A，B的坐标分别是， …… 2分
∴ 点M的坐标是，OM的半径为4. …… 3分
连结CM（如图①），则
点C的坐标为 . …… 4分
（2）.如图①，过点M作ME⊥CD，则CE=ED=CD …… 5分
∵ CD∥轴 ∴ ME⊥轴
∴ 四边形OMEC是矩形，∴ OE=OM=2
∴ CD=4 ∴ 点D 的坐标是(4，) …… 6分
设直线AD的解析式为
则 解得， …… 7分
∴直线AD的解析式为 …… 8分
（3）.如图②，设直线AD与轴的交点是F
当 时，
∴ 点F的坐标为F（0，） …… 9分
在Rt △OMF中
∵
∴ 点F在线段MC的中垂线上 …… 11分
∵ MD=CD=4
∴ 点D也在线段CM的中垂线上 ∴ 直线AD是线段CM的中垂线.
∴ 点M关于直线AD的对称点是C …… 12分
连结BC交直线AD于N（如图②），连结MN，此时最小.则 △MNB
就是所求作的周长最小的三角形 …… 13分
此时在△OBC中，
根据轴对称的性质可知：
∴△MNB的周长为 ,点N的位置如图所示. …… 14分
点评：本题是几何、代数的综合题.由代数的一元二次方程根与坐标联系在一起，由坐标再与一次函数、圆、一次函数以及对称等知识串联在一起.在本题中点的坐标是解答过程中的较关键环节，比如三个问中⑴问点的坐标、⑵问点的坐标、⑶问点的坐标；题中的相关计算特别是点的坐标常用勾股定理来帮忙（本题3次用到勾股定理）.本题总体难度不大，但综合的知识点较多；⑶问“点M关于直线AD的对称点是C点”算是是本题的“难点”，这里要用垂直平分线的“判定”定理，这是个同学们在平时没有引起重视的一个知识点.
2010-2011上学期统考
27.已知方程组：
⑴.求证：不能为何值，此方程组一定有实数解；
⑵.设等腰的三边长分别为其中，且和 是该方程组的两个解，求△ABC的周长？
考点：解方程组、一元二次方程根的判别式、韦达定理、等腰三角形的性质、分类讨论等.
分析：⑴.本问关键是把关于二元方程组转化为关于的一元二次方程，然后从一元二次方程根的判别式切入，问题可获得解决.
⑵.根据题意可知是⑴问中一元二次方程的两个解，因此利用“韦达定理”切入可以得出和关于的式子，然后进行分类讨论先求出的值，再进一步求出
和的值，三角形的周长可以求出.
略解：
(1).把方程②代入①得：
化简得： …… 2分
∵△= …… 4分
∴原方程组一定有实数解. …… 5分
(2).∵是方程的两个解， …… 6分
∴
①.当长为的边是等腰三角形的一腰时，则或
∴方程必有一根为4 ∴
∴. ∴方程为： …… 7分
∵或 ∴ 符合题意.
∴ …… 10分
②. 当长为的边是等腰三角形的一底时，则
∴方程有两个相等的实数根 ∴△= 0，即△=
∴. ∴方程为： ∴
∴ ∴不合题意舍去.
综合上述两种情况△ABC的周长为10. …… 14分
点评：本题的部分内容对于现行新人教版来说是属于选学和拓展性的内容，但考试中仍是考查内容或者以阅读解答出现在考题中.本题主要是转化和分类讨论思想的运用：要注意把二元转化一元方程来解答；要注意把等腰三角形的分为为腰和为底来讨论.在求周长时还要注意整体思想的运用.
课外选练：
1. 如图，将等腰Rt的直角顶点置于等腰Rt的斜边的中点处作逆时针旋转， 交于点,交于点.
⑴.求证：
⑵.连接,试探究线段
之间的数量关系.
2.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天售价90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
⑴.求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
⑵.求该批发商平均每天销售利润元与销售价元/箱）之间的函数解析式；
⑶.当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
3.如图，是⊙的直径，点在的延长线上，,是⊙上半部分的一个动点，连接 .
⑴.求△的最大面积；
⑵.求的最大度数
⑶.如图2 ，延长交⊙于点,连接
；当.求证：是⊙的切线.
4.已知：如图，抛物线的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，⊙经过原点及点，点是劣弧上一动点（点与不重合）.
⑴.求抛物线的顶点的坐标； ⑵.求⊙的面积； ⑶.连接交于点,延长至,使;
试探究:当点运动到何处时，直线与⊙相切，并请说明理由.
5. 用剪刀将形如图①所示的矩形纸片沿着直线剪成两部分，其中为中点．
用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图②中的Rt就是图①裁剪的逆时针旋转拼成的一个图形．
⑴.用这两部分纸片除了可以拼成图②中的Rt外，还可以拼成一些四边形．请你试一试，把拼好的四边形分别画在两个虚框内．
⑵.如图②，若利用这两部分纸片拼成的Rt是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边和的长分别为厘米、厘米，且恰好是关于的方程的两个实数根，试求出原矩形纸片的面积．
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