第二十二章 二次函数检测题
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（2014·苏州中考）二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则代数式1－a－b的值为（ ）
A．－3 B．－ C．2 D．5
2.（2013·哈尔滨中考）把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
3.（2013·吉林中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为,则下列结论正确的是（ ）
A. B.＜0,＞0
C.＜0,＜0 D.＞0,＜0
4.（2013·河南中考）在二次函数的图象上，若随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A.1 B. C.-1 D.-1
5.（2014·成都中考）将二次函数化为的形式，结果为（ ）
A. B.
C. D.
6. 抛物线轴交点的纵坐标为（ ）
A.-3 B..-5 Ｄ.-1
7.已知二次函数，当取 ，（≠）时，函数值相等，则当取时，函数值为（ ）
A. B. C. D.c
8.已知二次函数，当取任意实数时，都有，则的取值范围是（ ）
A． ． C． D．
9.如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点二次函数图象的对称轴为给出四个结论：① ②③④，
其中正确的结论是( )
A.②④ B.①③ C.②③ D.①④
10.已知二次函数的图象如图所示,其对称轴为直线，给出下列结论:(1)；(2)＞0；(3)；(4)；(5).
则正确的结论是（ ）
A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(4)(5)
C.(2)(3)(4) D.(1)(4)(5)
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.在平面直角坐标系中，直线为常数）与抛物线 交于两点，且点在轴左侧，点的坐标为（0,－4），连接,.有以下说法：
①；②当时，的值随的增大而增大；
③当－时，；④△面积的最小值为4，其中正确的是 .（写出所有正确说法的序号）
12.把抛物线的图象先向右平移3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，所得图象的解析式是则 .
13.已知抛物线的顶点为 则 , .
14.如果函数是二次函数，那么k的值一定是 .
15.某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数表达式是y=60x1.5x2，该型号飞机着陆后需滑行 m才能停下来.
16.二次函数的图象是由函数的图象先向 （左、右）平移
个单位长度，再向 （上、下）平移 个单位长度得到的.
17.如图，已知抛物线经过点（0,－3）,请你确定一个的值，使该抛物线与 轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间,你所确定的的值是 ．
18.如图所示，已知二次函数的图象经过（-1,0）和（0,-1）两点，则化简代数式= .
三、解答题（共46分）
19.（6分）已知抛物线的顶点为,与y轴的交点为求抛物线的解析式.
20.（6分）已知抛物线的解析式为
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
(2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值.
21.（8分）（2013·哈尔滨中考）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为轴，以抛物线的对称轴为轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为.已知米，设抛物线解析式为.
第21题图
（1）求的值；
（2）点（-1，）是抛物线上一点，点关于原点的对称点为点，连接,,，求△的面积.
22.（8分）已知：关于的方程
(1)当取何值时，二次函数的对称轴是；
(2)求证：取任何实数时，方程总有实数根.
23.（8分）(2014·苏州中考)如图，二次函数y＝a(x2－2mx－)（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，
－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
(1)用含m的代数式表示a；(2)求证：为定值；
(3)设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
24.（10分）心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间(单位：分钟)之间满足函数关系式的值越大,表示接受能力越强.
(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力的值是多少?
(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.
第二十二章 二次函数检测题参考答案
1.B 解析：把点（1,1）代入,得
2.D 解析：把抛物线向下平移2个单位长度，所得到的抛物线是，再向右平移1个单位长度，所得到的抛物线是.
点拨：抛物线的平移规律是左加右减，上加下减.
3.A 解析：∵ 图中抛物线所表示的函数解析式为,
∴ 这条抛物线的顶点坐标为.
观察函数的图象发现它的顶点在第一象限，
∴ .
4.A 解析：把配方，得.
∵ -10,∴ 二次函数图象的开口向下.又图象的对称轴是直线,
∴ 当1时，随的增大而增大.
5. D 解析：.
6.C 解析：令，得
7.D 解析：由题意可知所以所以当
8.B 解析：因为当取任意实数时，都有,又二次函数的图象开口向上，所以图象与 轴没有交点，所以
9.B 解析:由图象可知.当时，因此只有①③正确.
10. D 解析：因为二次函数与轴有两个交点，所以.（1）正确.
抛物线开口向上，所以0.抛物线与轴交点在轴负半轴上，所以.
又,
（2）错误.(3)错误.
由图象可知当
所以（4）正确.
由图象可知当
,所以（5）正确.
11.③④ 解析：本题综合考查了二次函数与方程和方程组的综合应用.
设点A的坐标为（,）,点B的坐标为（）.
不妨设,解方程组
得
∴ (,-）,B（3,1）.
此时,,∴ .而=16,
∴ ≠,∴ 结论①错误.
当=时，求出A(-1,-),B（6,10）,
此时()(2)=16.
由①时， ()()=16.
比较两个结果发现的值相等.∴ 结论②错误.
当-时，解方程组得出A（-2，2）,B（，-1）,
求出12,2,6,
∴ ,即结论③正确.
把方程组消去y得方程,
∴ ,.
∵ =·||OP·||=×4×||
=2=2,
∴ 当时，有最小值4，即结论④正确.
12.11 解析：
把它向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得
即
∴
∴
∴
13.-1 解析： 故
14. 0 解析：根据二次函数的定义，得，解得.
又∵ ，∴ ．
∴ 当时，这个函数是二次函数．
15. 600 解析:y=60x1.5x2=1.5（x20）2+600,当x=20时,y最大值=600，则该型号飞机着陆时需滑行才能停下来.
16.左 3 下 2 解析：抛物线是由先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的.
17.（答案不唯一） 解析：由题意可知要想抛物线与轴的一个交点在（1,0）和（3，0）之间，只需异号即可，所以
18. 解析：把（-1，0）和（0，-1）两点代入中，得
，，
∴ .
由图象可知，抛物线对称轴，且，
∴，∴ .
∴
=,故本题答案为．
19.解:∵ 抛物线的顶点为
∴ 设其解析式为①
将代入①得∴
故所求抛物线的解析式为即
20.(1)证明：∵
∴
∴ 方程有两个不相等的实数根.
∴ 抛物线与轴必有两个不同的交点.
(2)解:令则解得
21.分析：（1）求出点A或点B的坐标，将其代入，即可求出a的值；
（2）把点代入（1）中所求的抛物线的解析式中，求出点C的坐标，再根据点C和点D关于原点O对称，求出点D的坐标，然后利用求△BCD的面积.
解：（1）∵ ,由抛物线的对称性可知,
∴ （4,0）.∴ 0＝-4.∴ a.
第21题图
（2）如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F.
∵ a=,∴ -4.当-1时，m=×-4=-,∴ C（-1,-）.
∵ 点C关于原点O的对称点为点D，
∴ D（1,）.∴ .
∴ ×4×+×4×=15.
∴ △BCD的面积为.
点拨：在直角坐标系中求图形的面积，常利用“割补法”将其转化为有一边在坐标轴上的图形面积的和或差求解.
22.(1)解：∵ 二次函数的对称轴是，
∴,解得
经检验是原方程的解.
故时，二次函数的对称轴是.
（2）证明：①当时，原方程变为，方程的解为；
②当时，原方程为一元二次方程，，
当方程总有实数根，∴
整理得，
∵ 时,总成立,
∴ 取任何实数时，方程总有实数根.[来源:学。科。网Z。X。X。K]
23.（1）解：将C（0，－3）代入二次函数y=a（x2－2mx－），
则－3=a（0－0－），
解得 a=.
（2）证明：如图，
过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．
由a（x2－2mx－）=0，
解得 x1=－m，x2=，
∴ A（－m，0），B（，0）．=m+=，AN=AO+ON=m+=，
∴ ，即为定值．
（3）解：如图所示，
记二次函数图象的顶点为点F，则点F的坐标为（m，－4），
过点F作FH⊥x轴于点H．
连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．
∵ tan∠CGO=，tan∠FGH=，∴=，
∴ OG=．
此时，GF===4，
AD===3，∴=．
由（2）得=，∴ AD︰GF︰AE=3︰4︰5，
∴ 以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，
此时点G的横坐标为．
24.解:(1)当时,.
(2)当时,,
∴ 用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了;
当时,,
∴ 用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.