香坊区2015—2016学年度上学期教育质量综合评价
学 业 发 展 水 平 监 测
数 学 学 科（九年级）参考答案
一、选择题
1.D 2. B 3. D 4. A 5. C 6. C 7. B 8. A 9. D 10.C
二、填空题
11.x≠2 12.6π 13.10 14.k≤ 15.36° 16.7 17.30° 18.2或4
19. 20.8
三、解答题
21．（本题7分）
解：原式=== 3分
∵，.
∴=，=3 2分
∴原式== 2分
22．（本题7分）
（1）画出△ABC 3分
（2）画出△ADC 3分
sin∠BDC= 1分
23．（本题8分）
方法一：证明：过O作OH⊥AB于H，则 AH=BH 1分
∵OC=OD ∴∠C=∠D 1分
∵CD∥AB ∴∠C=∠OFE，∠D=∠OEF 1分
∴∠OFE=∠OEF 1分
∴OE=OF 1分
∵OH⊥AB ∴EH=FH， 1分
∴AH-EH=BH-FH 1分
∴AE=BF 1分
方法二：证明：连接OA、OB
∵OC=OD ∴∠C=∠D 1分
∵CD∥AB ∴∠C=∠AFC，∠D=∠BED 1分
∴∠AFC=∠BED 1分
∵OA=OB ∴∠A=∠B 1分
∴△AOF≌△BOE 1分
∴AF=BE 1分
∴AF-EF=BE-EF 1分
∴AE=BF 1分
24．（本题8分）
证明：（1）∵△BDE≌△BAC ∴BD=AB
∵AB=AC ∴AC=BD 1分 ∵AC∥BD 1分
∴四边形ABDC为平行四边形 1分
又∵AB=AC ∴四边形ABDC为菱形 1分
（2）方法一：过A作AF⊥BC于F，过E作EH⊥BC于H. ∵AC=AB=5 ∴∠ACB=∠ABC
∵AF⊥BC ∴CF=BF
在Rt△AFC中，tan∠ACF==
设AF=4a，CF=3a
∴在Rt△AFC中，AC==5
∴a=1 ∴AF=4，CF=BF=3a=3
∴BC=BF+CF=6 1分
在Rt△AFC中，sin∠ACB= cos∠ACB=
由旋转性质得， BE=BC=6，∠DBE=∠ABC， 1分
sin∠DBE = cos∠DBE = ∵EH⊥BC
在Rt△BHE中，EH=BE·sin∠DBE=6×= BH=BE·cos∠DBE=6×= 1分
∴CH=BC-BH= ∴在Rt△CHE中，CE= 1分
方法二：过D作DF⊥BE于F，过E作EH⊥BC于H
∵△BDE≌△BAC ∴DE=AC，BD=AB，BE=BC，∠BED=∠ACB，
∵AC=AB=5 ，tan∠ACB= ∴DE=BD=5，tan∠DEF=
∵DF⊥BE ∴EF=BF
在Rt△DFE中，tan∠DEF==，设DF=4a，EF=3a.
∴在Rt△DFE中，DE==5
∴a=1 ∴DF=4，BF=EF=3a=3 ∴BE=BF+EF=6 1分
∴BC=6 ∴CD=BC-BD=1
∵
即 ∴EH= 1分
∴在Rt△DHE中，DH= ∴CH=CD+DH= 1分
∴在Rt△CHE中，CE= 1分
25． 解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1） 1分
设抛物线的解析式是y=a(x－5)2＋5 1分
把（0，1）代入y=a(x－5)2＋5得1 =a(0－5)2＋5 1分
a=－ 1分 ∴y=－(x－5)2＋5= 1分
（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4
∴4=－(x－5)2＋5 2分
∴ (x－5)2=1 ，解得x1=，x2= 2分
∴ 两景观灯间的距离为-=5米． 1分
26.（本题10分）
（1）证明：
方法一：连接AD
∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB=90° 1分
∴AD⊥BC 又∵BD=CD ∴AD垂直平分BC
∴AB=AC 1分
∴AD平分∠BAC ∴∠CAB=2∠CAD
∵∠CAD=∠CBE ∴∠CAB=2∠CBE 1分
方法二：连接DE
∵AB为⊙O的直径 ∴∠AEB=90° 1分
∴∠BEC=90° ∴DE=BC
∵BD=CD=BC ∴DE=DB ∴ 1分
∴∠DEB=∠DBE
∴∠CDE=∠DEB+∠DBE=2∠DBE
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形
∴∠CDE=180°-∠BDE= ∠CAB
∴∠CAB=2∠CBE 1分
（2）证明：延长DF交⊙O于K，连接DE
∵AB为⊙O的直径 ∴∠AEB=90°
∵BD=CD ∴DE=BC ∴DE=BD=CD
∴ 1分
∵AB⊥DK，且AB为⊙O的直径
∴DF=FK， ∴DK=2DF，
∴
∴ 1分
∴DK=BE
∴BE=2DF 1分
（3）解：连接AD，连接ED，∵BE=2DF， DF= ∴BE=
∵BN=2 ∴BN=
∵∠BDM=∠ABE ∠ADE=∠ABE ∴∠ADE=∠BDM
∵∠AED=∠DBN，DE=DB
∴△DAE≌△DNB ∴AE=NB= 1分
在Rt△AEB中，AB==
tan∠ABE=
∴AC=AB=，tan∠BDG=
∴CE=AC+AE=
在Rt△CEB中 ，tan∠CBE= 1分
过G作GH⊥BD于H，则在Rt△GHD中，tan∠GDH=
设GH=a，DH=4a ∴在Rt△GHB中，tan∠GBH
∴BH=a ∴BD=BH+DH=a+4a=6 ∴a= ∴DH=，GH=
在Rt△DHG中， 1分
连接BM， ∵DB=DE ∴∠DEB=∠DBE ∵∠DEB=∠M ∴∠DBG=∠M
∵∠GDB=∠BDM ∴△GDB∽△BDM
∴ 即 ∴DM= 1分
∴MG=DM-DG= 1分
27.（本题10分）
（1）解：当x=0时，y= -02+2k×0+3k 解得y=3k ∴C（0,3k） ∴OC=3k
∵OA=OC ∴OA=k ∴A（-k，0） 1分
∵点A在抛物线上 ∴0=-(-k)2+2k×(-k)+3k 解得k1=0（舍），k2=1
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 1分
（2）解：∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3
∴当y=0时，0=-x2+2x+3 解得x1=-1，x2=3
∴A（-1,0）B（3,0） ∴OA=1，OB=3
∴AB= OA+OB=4 1分
∵AE⊥PQ，BF⊥PQ
∴∠AEP=∠BFQ=90° ∴AE∥BF
∵GH垂直平分EF
∴EG=FG，∠HGQ=90° ∴∠HGQ=∠BFQ
∴GH∥BF ∴AE∥GH∥BF
∴ 1分
∴AH=BH=AB=2 ∴OH=OB-BH=1 ∴H（1，0）
∵DH∥y轴 ∴点D的横坐标为1
∵点D在抛物线上 ∴当x=1时，y= -12+2×1+3=4 ∴D（1,4） 1分
（3）∵点P在抛物线y=-x2+2x+3上，设P（m, -m2+2m+3）
由（2）知A（-1,0）B（3,0） 设直线PA的解析式为y=k1x+b1
点A（-1,0）、P（m, -m2+2m+3）在直线PA上，则
解得
∴直线PA的解析式为 ∵N的横坐标为1
∴当x=1时，
∴NH= 1分
设直线PB的解析式为y=k2x+b2
点B（3,0）、P（m, -m2+2m+3）在直线PB上，则
解得
∴直线PB的解析式为
∵M的横坐标为1
∴当x=1时，
∴MH= 1分
∵D（1,4） ∴DH=4 ∴MD=MH-DH=2m-2
∵MD=NH ∴2m-2=6-2m 解得m=2 ∴P（2,3） 1分
过P作PK⊥AB于K， ∴OK=2，PK=3
∴AK=OA+OK=3，BK=OB-OK=1 ∴AK=PK=3
∵PK⊥AB ∴∠PKA=90° ∴∠PAK=∠APK=45°
∵BP=BQ，∠PBQ=90° ∴∠BPQ=∠BQP=45°
∴∠APK-∠QPK=∠QPB-∠QPK 即∠QPA=∠BPK 1分
在Rt△PKB中，tan∠BPK=
∴tan∠QPA= 1分
（不同方法请酌情给分）
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