第2章 圆检测题
（本检测题满分：120分，测试时间：120分钟）
选择题（每小题3分，共30分）
1.已知三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形是（ ）
A.任意三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
2.（2015·广东梅州中考）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心O.若∠B＝20°，则∠C的大小等于（ ）
第2题图
A.20° B.25° C.40° D.50°
3.（2015·广东珠海中考）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则
∠BOD的度数是（ ）
A.25° B.30° C.40° D.50°
4.如图，为的直径，弦，垂足为，那么下列结论中，错误的是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.80°
6.如图所示，已知的半径，，则所对的劣弧的长为（ ）
A. B. C. D.
7.如图所示，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，则点B转过的路径长为（ ）
A. B. C. D. π
9.(2015•西宁中考)如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是( )
A.π－1 B.π－
10.如图所示，⊙的半径为2，点到直线的距离为3，点是直线上的一个动点，切⊙于点，则的最小值是（ ）
A. B.
C.3 D.2
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，则它的外心与顶点C的距离为 cm.
12.（2015·哈尔滨中考）一个扇形的半径为,面积为π cm2,则此扇形的圆心角为_____度.
13.如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于 .
14.如图所示，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则OD=_______，CD=_______.
15.（2015·南京中考）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°,则∠B+
∠E=_________°.
.
第15题图
16.如图所示，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆半径r= ，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为_____cm.
17.如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧所在圆的圆心，C是 上一点，，垂足为，则 这 段 弯 路 的 半 径 是_________．
第18题图
18.(2015·浙江湖州中考)如图，已知C,D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于 .
三、解答题（共66分）
19.（8分）如图，是⊙O的一条弦，，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
第19题图 第20题图 第21题图
20.(8分) (2015·浙江湖州中考)如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE.
(1)若AD=DB,OC=5，求切线AC的长；
(2)求证：ED是⊙O的切线.
21.(8分)（2015·江苏南通中考改编)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，求AE的长.
22.(8分)如图所示，已知都是⊙O的半径，且试探索与之间的数量关系，并说明理由.
23.(8分)如图所示是一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16ｍ，拱高CD为4ｍ.
⑴求桥拱的半径；
⑵若大雨过后，桥下河面宽度EF为12ｍ，水面涨高了多少？
24.(8分)如图所示，已知圆锥的底面半径为3，母线长为9，C为母线PB的中点，求从A
点到C点在圆锥的侧面上的最短距离.
25. (8分)如图所示，⊙O的半径OA，OB分别交弦CD于点E，F,且.求证：
△OEF是等腰三角形.
26.(10分) 如图所示，图①和图②中，优弧AB所在⊙O的半径为2，AB=2，点P为优弧AB上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′.
（1）点O到弦AB的距离是 ，当BP经过点O时，∠ABA′＝ ；
（2）当BA′与⊙O相切时，如图②所示，求折痕BP的长；
（3）若线段BA′与优弧AB只有一个公共点B，设∠ABP=α，确定α的取值范围.
第2章 圆检测题参考答案
1.D 解析：锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心是斜边的中点.
2.D 解析：如图，连接OA，∵ AC是⊙O的切线，∴ ∠OAC＝90°.∵ OA＝OB，∴ ∠B＝∠OAB＝20°，∴ ∠AOC＝40°，∴ ∠C＝50°．
第2题答图
3. D解析：如图，连接OA.∵ 直径CD垂直于弦AB,∴ ,∴ ∠AOD=∠BOD.
∵ ∠ACD=,∴ ∠AOD=,∴ ∠BOD=.
4.D 解析：依据垂径定理可得选项A，B，C都正确,选项D是错误的.
5.B 解析：
6.B 解析：本题考查了圆的周长公式 .
∵ 的半径，，∴ 劣弧的长为.
7.B 解析：在弦AB所在直线的两侧分别有1个和2个点符合要求,故选B.
8.B 解析：在Rt△ABC中，，∵∠ABC=30°，AB=2，∴.
又∵∠BCB′=60°，∴ 点B转过的路径长为 .
9. D 解析：由图可以看出，图中阴影部分可以转化为一个所在圆半径为2，圆心角是90°的扇形与△ADC面积的差，由题意得，CD⊥AB,∵ AC＝BC,∴ 点D为AB的中点，∴ ×BC×AC××2×2＝1,所以阴影部分的面积－1＝π－1,故选D.
10.B 解析：设点到直线的距离为d，则d=3.
∵切⊙于点，∴
∵ 直线外一点与直线上的点的所有连线中，垂线段最短，
∴ 即≥5.
11.5 解析：由于直角三角形的外心是它斜边的中点，又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以Rt△ABC的外心与顶点C的距离为（cm）.
12.40 解析：根据扇形面积公式 ，把S=，r=3代入，得n==40，即扇形的圆心角为40度.
13. 36° 解析：由题意知∠B=∠ADC=54°．又∵弦AB是直径，∴ ∠ACB=90°.
∴ ∠BAC+∠B=90°，∴ ∠BAC=90°-54°=36°.
14.8 2 解析：因为OD⊥AB，由垂径定理，得，故，.
15.215 解析：如图，连接CE，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B +∠AEC=180°.
∵∠CED=∠CAD=35°,
∴∠B +∠AED=∠B +∠AEC+∠CED=180°+35°=215°.
16. 6 解析：∵ 圆锥底面圆的半径r=，∴ 圆锥底面圆的周
长是4π cm.
∵ 圆锥底面圆的周长等于它的侧面展开图的弧长，
∴ πl=4π，解得l=.
17.250 解析：设这段弯路的半径为R m,∴ OA=OC=R m,OD=(R－50)m.
∵ OC⊥AB, ∴ AD=AB=.
在Rt△AOD中，,即,解得R=250.
18. 解析：＝＝.
19.分析：（1）欲求∠DEB的度数，已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
（2）利用垂径定理可以得到，从而的长可求.
解：（1）连接，∵ ，∴ ，弧AD=弧BD，
∴ 又，
∴ ．
（2）∵ ，∴ . 又∴ .
第19题答图 第20题答图 第21题答图
20. (1)解：连接CD,
∵ BC是⊙O的直径，∴ ∠BDC=90°，即CD⊥AB.
∵ AD=DB,∴ AC=BC=2OC=10.
(2)证明：连接OD,
∵ ∠ADC=90°，E为AC的中点，∴ DE=EC=AC,∴ ∠1=∠2.
∵ OD=OC,∴ ∠3=∠4.
∵ AC切⊙O于点C，∴ AC⊥OC.
∴ ∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即DE⊥OD,
∴ DE是⊙O的切线.
21.解：如图，连接BD，CD，
∵ AB为⊙O的直径，∴ ∠ADB＝90°，
∴ BD＝.
∵ 弦AD平分∠BAC，∴ ∠DAB＝∠CAD.
∵ ∠CAD＝∠CBD，∴ ∠CBD＝∠DAB.
在△ABD和△BED中，∠BAD＝∠EBD，∠ADB＝∠BDE，
∴ △ABD∽△BED，∴ ，
即，解得DE＝，
∴ AE＝AD－DE＝5－＝2.8.
22.分析：由圆周角定理，易得：，；已知，联立三式可得结论．
解：．理由如下：∵ ，，
又，∴ ．
23.解：（1）已知桥拱的跨度AB=16ｍ，拱高CD=4ｍ，
∴ AD=8ｍ.
利用勾股定理可得，
解得OA=10ｍ．
故桥拱的半径为10ｍ.
（2）当河水上涨到EF位置时,因为∥，
所以，所以ｍ.
连接OE，则有OE=10ｍ，(ｍ).
又，
所以(ｍ)，
即水面涨高了2ｍ.
24.分析：最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，再转化为平面上两点间的距离问题．需先算出圆锥侧面展开图的半径，看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算．
解：由题意可知圆锥的底面周长是，
设圆锥侧面展开图的圆心角是n°，则,
∴ n=120，即圆锥侧面展开图的圆心角是120°．∴ ∠APB=60°.
在圆锥侧面展开图中,AP=9，PC=4.5，可知∠ACP=90°．
∴ ．故从A点到C点在圆锥的侧面上的最短距离为.
点评：本题需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．
25.分析：要证明△OEF是等腰三角形，可以转化为证明，通过证明△OCE≌
△ODF即可得出．
证明：如图,连接OC，OD，则，∴ ∠OCD=∠ODC.
在△OCE和△ODF中，
∴ △OCE≌△ODF（SAS），
∴ ，∴ △OEF是等腰三角形.
26. 分析：（１）如图①所示，过O点作OH⊥AB，垂足为H，连接OB，由垂径定理可得，，OB=2，.
当BP过点O时，如图②，在Rt△中，，
（２）如图③所示，作过切点的半径OB，作OC⊥AB，OD⊥BP，，，
（３）如图④所示，在折叠过程中，点A′落在以B为圆心、BA为半径的虚线圆弧上.观察图形，由线段BA′与⊙O的位置及BP的4个特殊位置可确定α的取值范围.
① ②
③ ④
第26题答图
解：（１）１ 60°
（2）如图②所示，过点O作OC⊥AB于点C，作OD⊥PB于点D，连接OB.
∵ BA′与⊙O相切，∴∠OBA′＝90°.
在Rt△OBC中，OB＝2，OC＝1，
∴ sin∠OBC=∴ ∠OBC＝30°.
∴ ∠OBP＝30°.
(3)∵ 点P，A不重合，∴ α＞0°.
由（1）知，当α增大到30°时，点A′在弧AB上，
∴ 当0°＜α＜30°时，点A′在⊙O内，线段BA′与弧AB只有一个公共点B.
由（2）知，当α增大到60°时，BA′与⊙O相切，
即线段BA′与弧AB只有一个公共点B.
当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但点P，B不重合，∴ ∠OBP＜90°.
∵ α＝∠OBA＋∠OBP，∠OBA＝30°，∴ α＜120°.
当60°≤α＜120°时，线段BA′与弧AB只有一个公共点B.
综上所述，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°.