24.4 中位线
新课标基础训练（每小题3分，共24分）
1．以三角形的一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是（ ）
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
2．顺次连结等腰梯形两底的中点及两条对角线的中点，所组成的四边形是（ ）
A．菱形 B．平行四边形 C．矩形 D．直角三角形
3．如图所示，△ABC中，AH⊥BC于H，E、D、F分别是AB、BC、AC的中点，则四边形EDHF是（ ）
A．一般梯形 B．等腰梯形；
C．直角梯形 D．直角等腰梯形
4．梯形上底长为L，中位线长为m，则连结两条对角线中点的线段长为（ ）
A．m B．-L C．-L D．m-L
5．若三角形的周长为，则它的三条中位线组成的三角形的周长是_____．
6．等腰梯形的周长为，它的中位线长等于腰长，则腰长为________．
7．梯形的中位线长为，一条对角线把中位线分成3：2两部分，那么梯形的上底、下底的长分别是________和_______．
8．直角梯形的一腰与下底都等于a，这个腰与下底的夹角为60°，则中位线长为________．
新课标能力训练（每小题5分，共30分）
9．（学科内综合）等腰梯形的周长为66，腰长为8，对角线长为24，则连结两腰中点与一底中点的线段组成的三角形的周长为________．
10．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF为梯形中位线，DH为菱形的高．下列结论：（1）∠BCD=60°；（2）四边形EHCF为菱形；（3）S△BEH=S△CEH；（4）以AB为直径的圆与CD相切于F．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．．3 D．4
11．如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD 12．（学科间综合）（2002·北京市西城区）斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔上的桥梁，它不需建造桥墩．如图中，A1B1、A2B2、…、A5B5是斜拉桥上5条互相平行的钢索，并且B1、B2、B3、B4、B5被均匀的固定在桥上．如果最长的钢索A1B2=，最短的钢索A5B5=，那么钢索A3B3、A2B2的长分别为（ ）
A．、 B．、； C．、 D．、 （第12题） （第13题） （第14题） 13．（应用题）如图所示，要测量A、B两点间的距离，在O点设桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=，则AB=__________m． 14．（创新情景题）如图所示，直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB的长为b，则图中阴影部分的面积等于_________． 新课标拓展训练（满分33分） 15．（创新实践题）（11分）已知：如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB+CD=BC，M是AD的中点，求证：BM⊥CM． 16．（自主探究题）（10分）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F、G、H分别是AD、BE、BC、CE的中点．试探究： （1）四边形EFGH的形状； （2）若BC=2AD，且梯形ABCD的面积为9，求四边形EFGH的面积． 17．（开放题）（12分）已知：如图①所示，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G．连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=（AB+BC+AC）．若（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图②）；（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明． 新课标理念中考题（满分13分） 18．（2004·江苏南通）（13分）已知：△ABC中，AB=10． （1）如图①，若点D，E分别是AC，BC边的中点，求DE的长； （2）如图②，若点A1，A2把AC边三等分，过A1，A2作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，求A1B1+A2B2的值； （3）如图③，若点A1，A2，…，A10把AC边十一等分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B1，B2，…，B10．根据你所发现的规律，直接写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果． 参考答案: 1．B 2．A 3．B 4．D 5． 6． 7． 8．a 9．49 10．C 11．取AB中点P，连MP，NP证N、M、P三点共线． 12．A 13．62．8 14．ab 解：如图所示，过点D作DG⊥EF于G，过点C作CH⊥EF交EF的延长线于H， 则DG+CH=AB=b． 故S阴影=S△DEF+S△CEF=EF·DG+EF·CH=EF（DG+CH）=ab． 点拨：本题通过巧作辅助线，运用三角形面积公式即可得到． 15．解：如图所示，延长BM交CD的延长线于点E． ∵AB∥CD，∴∠A=∠MDE（两直线平行，内错角相等）． 在△ABM和△DEM中，∵∠A=∠MDE，AM=DM，∠AMB=DME， ∴△ABM≌△DEM（ASA）． ∴BM=EM，AB=DE（全等三角形的对应边相等）． ∵AB+CD=BC， ∴DE+DC=BC，即CE=CB． ∴CM⊥BM（等腰三角形底边中线也是底边上的高）． 点拨：本题使用了“连结底的一端与所对腰的中点并延长与下底相交”的辅助线，构造了全等三角形．同时将梯形问题转化成了等腰三角形的问题． 16．解：∵梯形ABCD是等腰梯形， ∴AB=CD，∠A=∠D（等腰梯形的两腰相等，在同一底边上的两内角相等）， 又∵AE=DE， ∴△ABE≌△DCE（SAS）． ∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）． 又∵EF=EB，EH=EC， ∴EF=EH． ∵G、F、H分别是BC、BE、CE的中点， ∴GF∥CE，GH∥BE（三角形中位线定理）． ∴四边形EFGH是平行四边形（平行四边形的定义）． ∴EFGH是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． （2）∵BE=CE，G为BC中点， ∴EG⊥BC（等腰三角形的三线合一）． ∴EG为梯形ABCD的高． ∵S梯形=（AD+BC）×EG=9，BC=2AD， ∴（BC+BC）×EG=9， ∴BC·EG=12． ∵F、H分别是BE、CE的中点， ∴FH=BC． ∴S菱形EFGH=FH·EG=××BC·EG=3． 点拨：通过三角形全等的性质得边相等，为求证四边形邻边相等创造条件．本题综合运用了等腰梯形的性质，平行四边形、菱形的判定、等腰三角形的性质以及三角形中位线定理、菱形的面积公式等． 17．解：猜想结果：图②中，FG=（AB+AC-BC）； 图③中，FG=（BC+AC-AB）． 证明图②的结果如下： 如图所示，分别延长AG、AF交BC于H、K． 在△ABF和△KBF中， ∵∠ABF=∠KBF，BF=BF，∠BFA=∠BFK=90°， ∴△ABF≌△KBF（ASA）． ∴AF=FK，AB=BK（全等三角形的对应边相等）． 同理△ACG≌△HCG． ∴AG=GH，AC=HC． ∴FG=HK（三角形中位数定理）． 又∵HK=BK-BH=AB-（BC-CH）=AB-（BC-AC）=AB+AC-BC， ∴FG=（AB+AC-BC）． 点拨：本题体现了类比的思想方法，综合运用全等三角形的判定及性质、三角形中位线定理解题．解题的关键是构造三角形的中位线． 18．解：这是一道探索规律型考题，题中多次涉及利用三角形，梯形中位线定理解题的思路． （1）依据三角形中位线定理，有DE=AB=5． （2）设A1B1=x，则A2B2=2x． ∵A1，A2是AC的三等分点，且A1B1∥A2B2∥AB． ∴由梯形中位线定理，有x+10=4x，解之得x=． 这时A1B1+A2B2=10． （3）同理，可求出A1B1+A2B2+A3B3=15，A1B1+A2B2+A3B3+A4B4=20，…，从而A1B1+A2B2+…+A10B10=50．