第二十六章《二次函数》综合训练试题
（时间：90分钟，总分：120分）
一、选择题（每题3分，共30分）
1，函数y＝x2－4的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A.（2，0） B.（－2，0） C.（0，4） D.（0，－4）
2，（2008年上海市）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（ ）
A．3 B． C．1 D．0
3，抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4，(08吉林长春)二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是【 】
A． B． C． D．
5，已知反比例函数y＝的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则二次函数y＝2kx2－x+k2的图象大致为如图2中的（ ）
6，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图3，则点（b，）在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7，某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A.y＝x2+a B.y＝a(x－1) C.y＝a(1－x)2 D.y＝a(l+x)2
8，若二次函数y＝ax2+bx+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取（x1+x2）时，函数值为（ ）
A.a+c B.a－c C.－c D.c
9，不论m为何实数，抛物线y＝x2－mx＋m－2（ ）
A.在x轴上方 B.与x轴只有一个交点 C.与x轴有两个交点 D.在x轴下方
10，若二次函数y＝x2－x与y＝－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）
A.这两个函数图象有相同的对称轴 B.这两个函数图象的开口方向相反
C.方程－x2+k＝0没有实数根 D.二次函数y＝－x2＋k的最大值为
二、填空题（每题3分，共24分）
11，顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为＿＿＿.
12，若点A(2，m)在抛物线y＝x2上，则点A关于y轴对称点的坐标是＿＿＿.
13，二次函数y＝2x2+bx+c的顶点坐标是(1，－2).则b＝＿＿＿，c＝＿＿＿.
14，已知二次函数y＝ax2+bx+c (a≠0）与一次函数y＝kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4），B(8，2)，如图4所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是＿＿＿.
15，小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
若输入的数据是x时，输出的数据是y，y是x的二次函数，则y与x 的函数表达式为＿＿＿.
16，平移抛物线y＝x2+2x－8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式＿＿＿.
17，抛物线y＝ax2+bx+c中，已知a∶b∶c＝l∶2∶3，最小值为6，则此抛物线的解析式为＿＿＿.
18，把一根长的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和最小是＿＿＿.
三、解答题
19，利用二次函数的图象求下列方程的近似根：（1）x2＋x－12＝0；（2）2x2－x－3＝0.
20，已知抛物线与x轴交于点(1，0)和(2，0)且过点 (3，4).求抛物线的解析式.
21，已知二次函数y＝x2－6x+8.求：
（1）抛物线与x轴和y轴相交的交点坐标；
（2）抛物线的顶点坐标；
（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：
①方程x2－6x＋8＝0的解是什么？
②x取什么值时，函数值大于0？
③x取什么值时，函数值小于0？
22，当 x＝4时，函数y＝ax2+bx+c的最小值为－8，抛物线过点（6，0）．求：
（1）顶点坐标和对称轴；
（2）函数的表达式；
（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小.
23，已知抛物线y＝x2－2x－8.
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积.
24，如图5，宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的）与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是,桥的单孔跨度（即两主塔之间的距离），这里水面的海拔高度是.若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为，桥面离水面的高度为.请你计算距离桥两端主塔处垂直钢拉索的长(结果精确到).
25，某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之问存在着如图6所示的一次函数关系.
（1）求y关于x的函数关系式； （2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值； （3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
26，(2008·东营市) 在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
参考答案：
一、1，D；2，B；3，A；4，D；5，D；6，D；7，D；8，D.提示：当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，列式并分解因式，由x1≠x2，得到x1+x2＝0，即得；9，C；10，C.
二、11，y＝－x2－4x－9；12，(－2，4)；13，－4、0；14，x＜－2或x＞8；15，y＝x2＋1；16，答案不惟一，如，y＝x2+2x；17，y＝3x2+6x+9；18，2.
三、19，函数y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝的解；
20，y＝2x2－6x+4；
21，（1）由题意，得x2－6x+8＝0.则(x－2) (x－4)＝0，x1＝2，x2＝4.所以与x轴交点为（2，0）和（4，0），当x＝0时，y＝8.所以抛物线与y轴交点为（0，8），（2）抛物线的顶点坐标为（3，－1），（3）如图1所示.①由图象知，x2－6x+8＝0的解为x1＝2，x2＝4.②当x＜2或x＞4时，函数值大于0；③当2＜x＜4时，函数值小于0；
22，（1）（4，－8），x＝4，（2）y＝2x2－16x+24，（3）x＞4时，y随x的增大而增大，x＜4时，y随x的增大而减小；
23，（1）证明：因为对于方程x2－2x－8＝0，有x1＝2，x2＝4，即所以方程x2－2x－8＝0有两个实根，抛物线y＝x2－2x－8与x轴一定有两个交点；（2）解：因为方程x2－2x－8＝0有两个根为x1＝2，x2＝4，所以AB＝| x1－x2|＝6.又抛物线顶点P的纵坐标yP＝＝－9，所以SΔABP＝×AB×|yP|＝27；
24，如图2，以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点坐标原点，以桥面所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0.5），B(－450, 94.5)，C(450，94.5).由题意，设抛物线为：y＝ax2＋0.5. 将C(450，94.5)代入求得：或.所以.当x=350时，y=57.4；当x=400时,y=74.8.所以，离桥两端主塔处竖直钢拉索的长都约为,离桥两端主塔处竖直钢拉索的长都约为．
25，（1）由图象中提供的信息可设y＝kx+b，此时的图象过点(60，5)，(80，4)，于是，有解得所以y关于x的函数关系式是y＝－x+8.（2）z＝yx－40y－120＝（－x+8）（x－40）＝－x2+10x－440，所以当x＝100元时，最大年获得为60万元.（3）依题意可画出（2）中的图象，如图3，令z＝40，得40＝－x2+10x－440，整理，得x2－200x+9600＝0，解得x1＝80，x2＝120. 由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元.
26，解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴ △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即．
∴ AN＝x．
∴ =．（0＜＜4）
（2）
如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．
在Rt△ABC中，BC ＝=5．
由（1）知 △AMN ∽ △ABC．
∴ ，即．
∴ ，
∴ ．
过M点作MQ⊥BC 于Q，则．
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴ △BMQ∽△BCA．
∴ ．
∴ ，．
∴ x＝．
∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．
∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴ △AMO ∽ △ABP．
∴ ． AM＝MB＝2．
故以下分两种情况讨论：
① 当0＜≤2时，．
∴ 当＝2时，
② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．
∵ 四边形AMPN是矩形，
∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵ MN∥BC，
∴ 四边形MBFN是平行四边形．
∴ FN＝BM＝4－x．
∴ ．
又△PEF ∽ △ACB．
∴ ．
∴ ．
＝．
当2＜＜4时，．
∴ 当时，满足2＜＜4，．
综上所述，当时，值最大，最大值是2．