直角三角形的边角关系测试卷
一、题空题（每题２分，计２０分）
１．如图１所示的Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｃｏｓＡ＝＿＿＿；
２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝４，ｓｉｎＡ＝，则ＡＢ＝＿＿＿；
３．计算：＋ｔａｎ６０°ｃｏｓ３０°＝＿＿＿；
４．如果一个角的补角是这个角余角的４倍，则这个角的正弦值是＿＿＿；
５．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若３ＡＣ＝ＢＣ，则∠Ａ的度数是＿＿＿，ｃｏｓＢ的值是＿＿＿；
６．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若ｔａｎＡ＝，则ｓｉｎＡ＝＿＿＿；
７．若ｔａｎ９°·ｔａｎα＝１，则锐角α＝＿＿＿度；
８．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ、ｂ、ｃ分别是∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对的边，则＝＿＿＿；
９．如图２，在高度为１０米的平台ＣＤ上测得一高层建筑物ＡＢ的顶端Ａ的仰角为６０°，底端Ｂ的俯角为３０°，则高层建筑物的高ＡＢ＝＿＿＿＿米；
１０．如图３，小明想测量电线杆ＡＢ的高度，发现电线杆的影子恰好在落在土坡的坡面ＣＤ和地面ＢＣ上，量得ＣＤ＝４米，ＢＣ＝１０米，ＣＤ与地面成 ３０°角，且此时测得１米杆的影长为２米，则电线杆的高度约为＿＿＿米（结果保留两位有效数字）．
二、选择题（每题３分，计３０分）
１１．已知△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝，则ＢＣ∶ＡＣ等于（ ）
Ａ．３∶４；Ｂ．４∶３；Ｃ．３∶５；Ｄ．４∶５．
１２．∠Ａ为锐角，且ｓｉｎＡ＝，那么（ ）
Ａ．０°＜∠Ａ＜３０°；Ｂ．３０°＜∠Ａ＜４５°；
Ｃ．４５°＜∠Ａ＜６０°；Ｄ．６０°＜∠Ａ＜９０°；
１３．已知α为锐角，下列结论：ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１；如果α＞４５°，那么ｓｉｎα＞ｃｏｓα；如果ｃｏｓα＞，那么α＜６０°；．正确的有（ ）
Ａ．１个；Ｂ．２个；Ｃ．３个；Ｄ．４个．
１４．△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，如果ｓｉｎＡ＝，那么ｔａｎＢ的值等于（ ）
Ａ．；Ｂ．；Ｃ．；Ｄ．．
１５．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，各边长都扩大２倍，则锐角Ａ的正弦和余弦值（ ）
Ａ．都不变；Ｂ．都扩大２倍；Ｃ，都缩小２倍；Ｄ．不能确定．
１６．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ｃ，ＢＣ＝ａ，且ａ，ｃ满足＝０，则ｓｉｎＡ＝（ ）；
Ａ．１；Ｂ．；Ｃ．１或；Ｄ．１或３．
１７．三角函数ｓｉｎ２３°，ｃｏｓ１５°，ｃｏｓ４１°的大小关系是（ ）Ｃ
Ａ．ｃｏｓ４１°＞ｓｉｎ２３°＞ｃｏｓ１５°；
Ｂ．ｃｏｓ１５°＞ｓｉｎ２３°＞ｃｏｓ４１°；
Ｃ．ｃｏｓ１５°＞ｃｏｓ４１°＞ｓｉｎ２３°；
Ｄ．ｃｏｓ４１°＞ｃｏｓ１５°＞ｓｉｎ２３°．
１８．在△ＡＢＣ中，∠Ａ，∠Ｂ均为锐角，且｜ｔａｎＢ－｜＋＝０，则△ＡＢＣ是（ ）
Ａ，等腰三角形；Ｂ．等边三角形；
Ｃ．直角三角形；Ｄ．等腰直角三角形．
１９．河堤的横断面如图４所示，堤高ＢＣ是５米，迎水斜坡ＡＢ的长是１０米，那么斜坡ＡＢ的坡度ｉ是（ ）
Ａ．１∶２；Ｂ．１∶；
Ｃ．１∶１．５；Ｄ．１∶３．
２０．若α为锐角，且ｓｉｎα是方程２＋３ｘ－２＝０的一个根，则ｃｏｓα＝（ ）
Ａ．；Ｂ．；Ｃ．；Ｄ．或．
三、解答题（共５０分）
２１(５分)．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，如果ｓｉｎＡ＝，求ｔａｎＢ．
２２（５分）．如图５，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，点Ｄ在ＢＣ上，ＢＤ＝４，ＡＤ＝ＢＣ，ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝，求：
ＤＣ的长；（２）的值．
２３（６分）．如图６，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ边上的高，ｔａｎＢ＝ｃｏｓ∠ＤＡＣ．
（１）求证：ＡＣ＝ＢＤ；
（２）若ｓｉｎＣ＝，ＢＣ＝１２，求ＡＤ的长．
２４（６分）．如图７，∠ＰＯＱ＝９０°，边长为２ｃｍ的正方形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ在ＯＰ上，Ｃ在ＯＱ上，且∠ＯＢＣ＝３０°，分别求点Ａ，Ｄ到ＯＰ的距离．
２５（６分）．如图８，李庄计划在上坡上的Ａ处修建一个抽水泵站，抽取山下水池中的水用于灌溉．已知Ａ到水池Ｃ处的距离ＡＣ是５，山坡的坡角∠ＡＣＢ＝１５°，由于大气压的影响，此种水泵的实际吸水扬程ＡＢ不能超过１，否则无法抽取水池中的水．试问泵站能否建在Ａ处？
２６（７分）．如图９，登山队员在山脚Ａ点测得山顶Ｂ点的仰角为∠ＣＡＢ＝４５°，当沿倾斜角为３０°的斜坡前进１００ｍ到达Ｄ点以后，又在Ｄ点测得山顶Ｂ点的仰角为６０°，求山的高度ＢＣ．（精确到）
２７（７分）．如图１０，城市Ｃ在城市Ｂ的正北方向，相距１００千米，计划在两城市间修建一条高速公路，经测量，森林保护区Ａ在城市Ｂ的北偏东４０°的方向上，在城市Ｃ的南偏东５６°的方向上，森林保护区的范围是以Ａ为圆心，５０千米为半径的圆内，问这条路会不会穿过保护区？为什么？
２８（８分）．如图１１，客轮沿折线Ａ－Ｂ－Ｃ从Ａ出发经Ｂ再到Ｃ匀速航行，货轮从ＡＣ的中点Ｄ出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线Ａ－Ｂ－Ｃ上的某点Ｅ处．已知ＡＢ＝ＢＣ＝２００海里，∠ＡＢＣ＝９０°，客轮速度是货轮速度的２倍．
（１）选择：两船相遇之处Ｅ点（ ）
（Ａ）在线段ＡＢ上；（Ｂ）在线段ＢＣ上；
（Ｃ）可以在线段ＡＢ上，也可以在线段ＢＣ上；
（２）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）
[参考答案]
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一、题空题
１．；
２．６；
３．２；
４．；
５．；
６．；
７．８１；
８．ａｂｃ；
９．４０；
１０．７．３；
二、选择题
１１．Ａ；
１２．Ｂ；
１３．Ｃ；
１４．Ｄ；
１５．Ａ；
１６．Ｂ；
１７．Ｃ；
１８．Ｂ；
１９．Ｂ；
２０．Ｂ；
三、解答题
２１．解法１：因为ｓｉｎＡ＝＝，所以可设ａ＝２，ｃ＝３，从而ｂ＝＝，所以，ｔａｎＢ＝．
解法２：因为ｓｉｎＡ＝，所以，ｃｏｓＡ＝＝，
又∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°，所以，ｔａｎＢ＝ｃｏｔＡ＝＝÷＝．
２２．解：（１）在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝＝，
设ＤＣ＝３ｘ，ＡＤ＝５ｘ，
因为ＢＤ＝４，ＡＤ＝ＢＣ，又ＢＤ＋ＤＣ＝ＢＣ＝５ｘ，
所以，４＋３ｘ＝５ｘ，ｘ＝２，故ＤＣ＝６；
（２）由（１）易知，ＡＣ＝８，ＢＣ＝１０，所以，＝．
２３．解：（１）在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ｔａｎＢ＝，ＢＤ＝；
在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ｃｏｓ∠ＤＡＣ＝，ＡＣ＝，
因为ｔａｎＢ＝ｃｏｓ∠ＤＡＣ，所以，ＢＤ＝ＡＣ；
（２）在Ｒｔ△ＡＤＣ中，因为ｓｉｎＣ＝＝，
所以，可设ＡＤ＝１２ｘ，ＡＣ＝１３ｘ，则ＢＤ＝１３ｘ，ＤＣ＝１２－１３ｘ，
由勾股定理，得，即１４４＋＝１６９，
解之，得ｘ＝（不合题意，已舍去），所以，ＡＤ＝１２ｘ＝１２×＝８；
另解：（２）在Ｒｔ△ＡＤＣ中，因为ｓｉｎＣ＝＝，
所以，可设ＡＤ＝１２ｘ，ＡＣ＝１３ｘ，
则由勾股定理，得ＤＣ＝５ｘ，
又ＢＤ＝ＡＣ＝１３ｘ，ＢＣ＝１２，所以，１３ｘ＋５ｘ＝１２，ｘ＝，
所以，ＡＤ＝１２ｘ＝８．
２４．解：作ＡＥ⊥ＯＰ于Ｅ，ＤＦ⊥ＯＰ于Ｆ，则
在Ｒｔ△ＡＢＥ中，，∠ＡＢＥ＝６０°，ＡＢ＝２，
所以，ＡＥ＝ＡＢｓｉｎ６０°＝２×＝；
过点Ｄ作ＤＧ⊥ＯＱ于Ｇ，则ＤＦ＝ＧＯ＝ＣＧ＋ＣＯ，
在Ｒｔ△ＣＤＧ中，易得ＣＧ＝ＡＥ＝，
在Ｒｔ△ＢＣＯ中，ＯＣ＝ＢＣ＝１，
所以，ＤＦ＝ＯＧ＝１＋，
故点Ａ，Ｄ到ＯＰ的距离分别是ｃｍ和（１＋）ｃｍ．
２５．解：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，ＡＣ＝５０，∠Ｃ＝１５°，
ｓｉｎＣ＝，所以，ＡＢ＝ＡＣｓｉｎＣ＝５０ｓｉｎ１５°
＝５０×０．２５８８≈１２．９（米），
因为１２．９＞１０，所以，泵站不能建在Ａ处．
２６．解法１：作ＤＥ⊥ＡＣ于Ｅ，ＤＦ⊥ＢＣ于Ｆ，则
在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＤＥ＝ＡＤｓｉｎ３０°＝５０，ＡＥ＝ＡＤｃｏｓ３０°＝ ５０；
在Ｒｔ△ＢＤＦ中，设ＢＦ＝ｘ，则ＤＦ＝ＢＦｃｏｔ６０°＝ｘ，
所以，ＢＣ＝ｘ＋５０＝ＡＣ＝ｘ＋５０，解得ｘ＝５０，
所以，ＢＣ＝５０＋５０≈１３７（米）；
解法２：注意到∠ＤＡＢ＝∠ＤＢＡ，ＢＤ＝ＡＤ＝１００，从而易知ＢＦ＝５０；下略．
２７．解：作ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ．
在Ｒｔ△ＡＣＤ中，设ＡＤ＝ｘ，则ＣＤ＝ＡＤ·ｃｏｔ５６°≈ ０．６７ｘ；
在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ＢＤ＝ ＡＤ·ｃｏｔ４０°≈１．１９ｘ，
由ＢＤ＋ＣＤ＝ＢＣ＝１００，得
１．８６ｘ＝１００，ｘ≈５３．８，
即ＡＤ≈５３．８，
因为ＡＤ＞５０，所以，这条路不会穿过保护区．
２８．解：（１）由于客轮的速度是货轮的２倍，所以客轮行驶的距离是货轮行驶距离的２倍，如果相遇点Ｅ在ＡＢ上，则Ｄ到Ｅ的距离大于或等于１００海里，ＡＥ小于或等于２００，当货轮行驶 １００海里到ＡＢ中点时，客轮已行驶２００海里到达点Ｂ，两船不可能相遇．故可知相遇点Ｅ在ＢＣ上，应选Ｂ；
（２）设货轮从出发到两船相遇共航行了ｘ海里，过Ｄ作ＤＦ⊥ＢＣ于Ｆ，连结ＤＥ，则ＤＥ＝ｘ，ＡＢ＋ＢＥ＝２ｘ，ＢＥ＝２ｘ－２００；
在等腰直角三角形ＡＢＣ中，因为ＡＢ＝ＢＣ＝２００，Ｄ是ＡＢ的中点，
所以，ＤＦ＝１００，ＥＦ＝ＢＦ－ＢＥ＝１００－（２ｘ－２００）＝３００－２ｘ，
在直角三角形ＤＥＦ中，由勾股定理，得
，解之，得ｘ＝２００±，
因为２００＋＞２００，所以，ｘ＝２００－．
答：货轮从出发到两船相遇共航行了（２００－）海里．