第2课时 矩形的判定
基础题
知识点1 对角线相等的平行四边形是矩形
1．下列命题中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
2．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝2，若要使□ABCD为矩形，则OB的长应该为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
3．(娄底中考)如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________________________________(添
加一个条件即可)．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF.当∠ACB为________度时，四边形ABFE为矩形．
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5．已知，如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB.求证：四边形ABCD是矩形．
知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形
6．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等
7．(来宾中考)顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是________．
8．如图，已知MN∥PQ，EF与MN、PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，交于B、D，则四边形ABCD是______．
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：四边形ABCD是矩形．
中档题
10．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：
甲：(1)以点C为圆心，AB长为半径画弧；(2)以点A为圆心，BC长为半径画弧；(3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1)．
乙：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；(2)连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图2)．
图1 图2
对于两人的作业，下列说法正确的是( )
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
11．已知□ABCD的对角线交于O点，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD，使□ABCD是矩形的条件的序号是________．
12．(聊城中考)如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．
13．(巴中中考)如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.
(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是________，并证明．
(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．
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综合题
14．(张家界中考)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
参考答案
基础题
1.C 2.C 3.∠ABC＝90°或AC＝BD(不唯一) 4.60
5.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
又∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC.
∴AO＝BO＝CO＝DO.
∴AO＋CO＝BO＋DO，即AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形．
6.C 7.矩形 8.矩形
9.证明：∵四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝90°.
又∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，
∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，且∠B＝90°.
∴四边形ABCD是矩形．
中档题
10.A 11.①③④
12.证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝DC.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AC，BE＝AD.
又AD＝DC，
∴DC＝BE.
∴四边形BECD是平行四边形.
又BD⊥AC，∴四边形BECD是矩形．
13.EF＝FH
14.(1)证明：∵点H是BC的中点，∴BH＝CH.
在△BEH和△CFH中，
∴△BEH≌△CFH(SAS)．
(2)连接BF，CE.当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形．
理由：∵BH＝CH，EH＝FH，
∴四边形BFCE是平行四边形．
又∵当BH＝EH，∴BC＝EF.
∴平行四边形BFCE为矩形．
综合题
14.(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，
∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.∴OF＝OC.
同理：OC＝OE.∴OE＝OF.
(2)由(1)知：OF＝OC，OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC.
∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，
∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°.
∴EF＝＝＝13.
∴OC＝EF＝.
(3)连接AE、AF.当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形．
理由如下：由(1)知OE＝OF，当点O移动到AC中点时，有OA＝OC，
∴四边形AECF为平行四边形．
又∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF为矩形．