章末复习(一) 特殊平行四边形
基础题
知识点1 菱形的性质与判定
1．对角线互相垂直平分的四边形是( )
A．一般的平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
2．已知菱形的周长等于40 cm，两对角线的比为3∶4，则对角线的长分别是( )
A．3 cm，4 cm B．6 cm，8 cm
C．12 cm，16 cm D．24 cm，32 cm
3．如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中，不一定成立的是( )
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD
B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC
D．∠DAB＋∠BCD＝180°
4．(厦门中考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．
知识点2 矩形的性质与判定
5．矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四边相等
6．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD
D．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
7．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为( )
A．6
B．3
C．2
D．1
8．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO中，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？
知识点3 正方形的性质与判定
9．下列对正方形的描述错误的是( )
A．正方形的四个角都是直角
B．正方形的对角线互相垂直
C．邻边相等的矩形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是正方形
10．下列条件能使菱形ABCD是正方形的有( )
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.
A．①③ B．②③
C．②④ D．①②③
11．(泸州中考)如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE＝BF.
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12．已知ABCD为正方形，△AEF为等边三角形，求证：
(1)BE＝DF；
(2)∠BAE＝15°.
中档题
13．菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
14．如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是( )
A．8 B．16 C．8 D．16
15．(哈尔滨中考)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．
16．正方形ABCD的边长为4，点E是正方形边上的点，AE＝5，BF⊥AE，垂足为点F，求BF的长．
17．已知四边形ABCD是矩形，对角线AC和BD相交于点P，若在矩形的上方加一个△DEA，且使DE∥AC，AE∥BD.
(1)求证：四边形DEAP是菱形；
(2)若AE＝CD，求∠DPC的度数．
18．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．
(1)求证：四边形MPNQ是菱形；
(2)若AB＝2，BC＝4，求四边形MPNQ的面积．
19．(厦门中考)如图，在平面直角坐标系中，点A(2，n)，B(m，n)(m＞2)，D(p，q)(q＜n)，点B，D在直线y＝x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2.求证：四边形ABCD是矩形．
xk|b|1
20．(南京中考)如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.
(1)求证：四边形EGFH是矩形；
x_k_b_1
(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ∥EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．
由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证平行四边形MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件：______________，MN∥EF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证________________，________________，故只要证∠EMG＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，________________，即可得证．
综合题
21．如图，矩形A1B1C1D1的边长A1D1＝8，A1B1＝6，顺次连接A1B1C1D1各边的中点得到A2B2C2D2，顺次连接A2B2C2D2各边的中点得到A3B3C3D3，…，依此类推．
(1)求四边形A2B2C2D2的边长，并证明四边形A2B2C2D2是菱形；
(2)四边形A10B10C10D10是矩形还是菱形？A10B10的长是多少？(第(2)问写出结果即可)
参考答案
基础题
1.A 2.C 3.D
4.证明：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°.
∵∠BAD＝∠BCD，∴∠BCD＋∠B＝180°.∴AB∥CD.∴四边形ABCD为平行四边形．∴∠B＝∠D.
∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB＝∠AND＝90°.
∵AM＝AN，∴△AMB≌△AND.∴AB＝AD.∴四边形ABCD是菱形．
5.B 6.C 7.B
8.(1)证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．
（2）∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.
∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.
∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.∴∠ODC＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝18°.
9.D 10.C
11.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°.∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
又∵AE⊥BF，∴∠CBF＋∠AEB＝90°.∴∠BAE＝∠CBF.
在△ABE与△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(ASA)．∴AE＝BF.
12.证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵△AEF为等边三角形，∴AE＝AF.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．
∴BE＝DF.
（2）由(1)可知△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF.
又∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠DAF＝30°.∴∠BAE＝15°.
中档题
13.C 14.A 15.5.5或0.5
16.由勾股定理得BE＝＝＝3，
∵BF⊥AE，∴S△ABE＝AE·BF＝AB·BE，即×5×BF＝×4×3，解得BF＝.
17.(1)证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形DEAP为平行四边形．
∵四边形ABCD为矩形，∴AP＝AC，DP＝BD，AC＝BD.∴AP＝PD.∴四边形DEAP为菱形．
（2）∵四边形DEAP为菱形，∴AE＝PD.∵AE＝CD，∴PD＝CD＝PC.∴△PDC为等边三角形．∴∠DPC＝60°.
18(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.
∵M、N分别是AD、BC的中点，∴DM＝BN.
又∵DM∥BN，∴四边形DMBN是平行四边形，∴BM＝DN，BM∥DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴MP＝NQ.
又∵MP∥NQ，∴四边形MPNQ是平行四边形．连接MN.
∵AD∥BC，AD＝BC，M、N分别AD、BC的中点，∴DM＝CN.∴四边形DMNC是矩形．∴∠DMN＝∠C＝90°.
∵Q是DN中点，∴MQ＝NQ.∴四边形MPNQ是菱形．
（2）∵AB＝2，BC＝4，M为AD中点，Q为DN中点，
∴平行四边形DMBN的面积是×2×4＝4.∴△DMN的面积是2.∴△MQN的面积是1.
同理：△MPN的面积是1，∴四边形MPNQ的面积是1＋1＝2..
19.证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∠BAC＝∠ACD.
又∵BE＝DE，∴△ABE≌△CDE.∴AE＝CE.∴四边形ABCD为平行四边形．∴AB＝CD＝4.∴m＝6.
∵点B在直线y＝x＋1上，∴n＝4.∴A(2，4)，B(6，4)．∴AB∥CD∥x轴．
∵△AEB的面积是2，∴ABCD的面积是8.
又∵CD＝4，∴ABCD的高是2.∴q＝2.
把q＝2代入直线y＝x＋1得p＝2，∴点D(2，2)．∴点C(6，2)．∴AD∥BC∥y轴．∴四边形ABCD是矩形．
20.(1)证明：∵EH平分∠BEF，FH平分∠DFE，∴∠FEH＝∠BEF，∠EFH＝∠DFE.
∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.∴∠FEH＋∠EFH＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°.
∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°.
同理：∠EGF＝90°.
∵EG平分∠AEF，EH平分∠BEF，∴∠FEG＝∠AEF，∠FEH＝∠BEF.
∵点A、E、B在同一条直线上，∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°.
∴∠FEG＋∠FEH＝(∠AEF＋∠BEF)＝×180°＝90°，即∠GEH＝90°.
∴四边形EGFH是矩形．
（2）答案不唯一，
如：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证平行四边形MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，故只要证GM＝FQ，即可证△MGE≌△QFH，易证GE＝FH，∠GME＝∠FQH.故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，∠GEF＝∠EFH，即可得证．
综合题
21.（1）连接A1C1，B1D1.已知A1B1C1D1是矩形，∴A1C1＝B1D1.
又A2，B2，C2，D2是中点，根据三角形中位线性质得：A2B2＝C2D2＝A1C1，A2D2＝B2C2＝B1D1，
∴A2B2＝C2D2＝A2D2＝B2C2.∴四边形A2B2C2D2是菱形．
在直角三角形A1B1C1中，根据勾股定理得A1C1＝＝＝10，
∴A2B2＝A1C1＝×10＝5.
所以四边形A2B2C2D2的边长为5.
（2）通过观察分析总结各个图形有如下关系：An＋2Bn＋2Cn＋2Dn＋2与AnBnCnDn相似，An＋2Bn＋2Cn＋2Dn＋2的边长是AnBnCnDn边长的一半．
例如，A3B3C3D3的边长是A1B1C1D1边长的一半，A4B4C4D4的边长是A2B2C2D2边长的一半，…因此A10B10C10D10的边长是A2B2C2D2的()4＝，
所以A10B10C10D10也是菱形，A10B10＝＝.