小专题(一) 矩形中的折叠问题
【例】 (连云港中考)在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对
角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.
(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；
(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．
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【思路点拨】 (1)证△ABE≌△CDF，推出AE＝CF，求出DE＝BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可；(2)求出∠ABE＝30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．
【方法归纳】 解决有关矩形的折叠问题时，通常方法是利用根据矩形的性质、折叠的对称性及勾股定理求解．
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( )
A．12 B．10 C．8 D．6
2．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于________．
4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2.
5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求：
(1)FC的长；
(2)EF的长．
6．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，DE＝6 cm.
(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；
(2)求BF的长；
(3)求折痕AF长．
7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.xk|b|1
(1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
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8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10.
(1)求矩形ABCD的周长；
(2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．
①求DE的长；
②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．
(3)M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．
参考答案
【例】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABD＝∠CDB.
由折叠的性质可得：∠ABE＝∠EBD＝∠ABD，∠CDF＝∠CDB，∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA)．
∴AE＝CF.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.
∴DE＝BF，DE∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
（2）∵四边形BFDE为菱形，
∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝90°.
∴∠ABE＝30°.
∵∠A＝90°，AB＝2，设AE＝x，BE＝2x.
根据勾股定理得AB＝x.
∴x＝，即AE＝.BE＝.
∴BC＝AD＝AE＋ED＝AE＋BE＝＋＝2.
针对训练
1.B 2.A 3.56° 4.5.1
5.(1)由题意可得AF＝AD＝10 cm，
在Rt△ABF中，AB＝8 cm，
∴BF＝6 cm.
∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．
（2）由题意可得EF＝DE，可设DE的长为x，
则在Rt△EFC中，(8－x)2＋42＝x2，
解得x＝5，即EF的长为5 cm.
6.(1)证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，x_k_b_1
∴AE＝AB＝10，AE2＝102＝100.
又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100，
∴AD2＋DE2＝AE2.
∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°.
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（2）设BF＝x，则EF＝BF＝x，EC＝CD－DE＝10－6＝4(cm)，FC＝BC－BF＝8－x，
在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5.
故BF＝5 cm.
（3）在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2.
∵AB＝10 cm，BF＝5 cm，∴AF＝＝5(cm)．
7.（1）如图，点B的坐标为(3，4)．
∵AB＝BD＝3，∴△ABD是等腰直角三角形．
∴∠BAD＝45°.则∠DAE＝∠BAD＝45°.则E在y轴上．AE＝AB＝BD＝3，
∴四边形ABDE是正方形，OE＝1.则点E的坐标为(0，1)．
（2）点E能恰好落在x轴上．
理由如下：∵四边形OABC为矩形，∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCE＝90°.
由折叠的性质可得：DE＝BD＝OA－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m.
假设点E恰好落在x轴上，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC＝＝＝2.
则有OE＝OC－CE＝m－2.
在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2.即42＋(m－2)2＝m2，解得m＝3.
8.(1)周长为2×(10＋8)＝36.
(2)①∵四边形ABCD是矩形，由折叠对称性得AF＝AD＝10，FE＝DE.
在Rt△ABF中，由勾股定理得BF＝6，∴FC＝4.
在Rt△ECF中，42＋(8－DE)2＝EF2，解得DE＝5.
②分三种情形讨论：若AP＝AF，∵AB⊥PF，∴PB＝BF＝6；
若PF＝AF，则PB＋6＝10，解得PB＝4；
若AP＝PF，在Rt△APB中，AP2＝PB2＋AB2，解得PB＝.
综合得PB＝6或4或.
（3）当点N与C重合时，CT取最大值是8，
当点M与A重合时，CT取最小值为4，
所以线段CT长度的最大值与最小值之和为12.