第3课时 矩形的性质与判定的运用
基础题
知识点 矩形的性质与判定的运用
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论不正确的是( )
A．AC⊥BD B．AC＝BD
C．BO＝DO D．AO＝CO
3．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为正确的是( )[来源:Zxxk.Com]
A．甲量得窗框两组对边分别相等[来源:学_科_网Z_X_X_K]
B．乙量得窗框对角线相等
C．丙量得窗框的一组邻边相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等
4．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上)，AB＝5，BC＝12，点A表示的数是－1，则对角线AC、BD的交点表示的数是( )
A．5.5 B．5
C．6 D．6.5
5．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD＝60°，OE⊥AC.若AD＝，则OE＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．木工做一个矩形桌面，量得桌面的两组对边长分别为15 cm，8 cm，对角线为17 cm，则这个桌面________(填“合格”或“不合格”)．
7．如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°.则∠ODC＝________.
8．将一个含30°的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为________．
9．(海南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，则图中四个小矩形的周长之和为________．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD.求证：EF＝CD.
中档题
11．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．
12．如图所示，ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．(要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件)
[来源:学科网ZXXK]
综合题
13．如图，已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF，M为EF的中点．
(1)请判断四边形PECF的形状，并说明 理由；
[来源:Z.xx.k.Com]
(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．
参考答案
10.D 2.A 3.D 4.A 5.A 6.合格 7.25° 8.15° 9.14
10.证明：∵DE、DF是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DF∥AC. ∴四边形DECF是平行四边形．
又∵∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形． ∴EF＝CD.
11.4 [来源:学*科*网]
12.结论：四边形PQMN是矩形． 理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAD＋∠ABC＝180°.
又∵AQ，BN分别是∠BAD，∠ABC的角平分线， ∴∠PBA＝∠ABC，∠PAB＝∠BAD. ∴∠PBA＋∠PAB＝(∠ABC＋∠BAD)＝×180°＝90°. ∴∠APB＝90°.
同理：∠BNM＝∠AQD＝90°. ∴四边形PQMN是矩形．
13.(1)四边形PECF是矩形． 理由如下：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴AC2＋BC2＝32＋42＝52＝AB2. ∴∠ACB＝90°.
∵PE⊥AC，PF⊥BC， ∴∠PEC＝∠ACB＝∠CFP＝90°. ∴四边形PECF是矩形．
（2）CM的长度会改变． 理由：连接PC，由(1)证得四边形PECF是矩形，
∵M是EF的中点， ∴M在PC上且EF＝PC，CM＝PC.
过点C作CD⊥AB，当CD＝PC时PC最小，
此时PC＝＝＝2.4.
∵点P在斜边AB上(不与A、B重合)， ∴PC＜BC＝4. ∴PC的范围是2.4≤PC＜4，
即EF的范围是2.4≤EF＜4. ∴CM的范围是1.2≤CM＜2.
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