分类讨论思想在一元二次方程中的运用
在数学中，常常要根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析的思想方法叫分类讨论。本文以一元二次方程为例，谈谈分类讨论思想在解题中的运用。
例1. 已知方程有实数根，求m的取值范围。
分析：字母系数的取值范围问题，首先引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有指明是二次方程，故要考虑是一次方程的可能。
解：（1）当，即，方程为一元一次方程，有实数根；
（2）当，即时，方程为二次方程。由有实根的条件得：
所以，且
综合（1）、（2），得：
评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例是根据二次项系数是否为零进行分类讨论。
例2. 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的根都是整数。
解析：由于给出的关于x的方程是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即。又由于方程均有实数根，所以
解得：
又
解得：
所以
又m是整数，且，且或1
当时，方程为，解得方程的根为，它的根不是整数，故舍去。
当时，方程的根为，方程根为，均为整数，所以。
评注：本例是根据方程的根是否为整数进行分类讨论。
例3. 已知关于x的方程：
（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
（2）若这个方程的两个实数根满足，求m的值及相应的。
解：（1）
所以不论m取何值，总有
所以，即
所以方程总有两个相异的实根。
（2）因为
所以或
①若，则
所以
所以
此时
所以
②若，则
所以
所以，此时
所以
评注：本例是根据方程根的正负进行分类讨论，旨在去掉绝对值符号。
例4. 若实数a、b满足，求的值。
解：由方程根的定义，知a、b是方程的两个根
所以
所以
事实上，题设中的a与b是可以相等的，当时，原式＝2
综上所述：当时，原式，当时原式＝2
评注：本例是根据方程的根是否相等进行分类讨论。
从上面例题我们可以归纳出用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：（1）明确讨论的对象；（2）进行合理分类。所谓合理分类，应该符合三个原则：①分类应按同一标准进行，②分类应当没有遗漏，③分类应是没有重复的；（3）逐类讨论，分级进行；（4）归纳并作出结论。
练习题
1．若方程x2-2x+（2-）=0的两根是a和b（a>b），方程x2-4=0的正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．
2．已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．
3．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？
4．李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11公里，应收29.10元”．出租车司机说：“请付29.10元．”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N（N<12）是多少元．
参考答案
1．解：解方程x2-2x+（2-）=0，得x1=，x2=2-．
方程x2-4=0的两根是x1=2，x2=-2．
所以a、b、c的值分别是，2-，2．
因为+2-=2，所以以a、b、c为边的三角形不存在．
点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断．
2．解：（1）设方程的两根为x1，x2（x1>x2），则x1+x1=-1，x1-x2=1，解得x1=0，x2=-1．
（2）当x=0时，（a+c）×02+2b×0-（c-a）=0．
所以c=a．当x=-1时，（a+c）×（-1）2+2b×（-1）-（c-a）=0．a+c-2b-c+a=0，
所以a=b．即a=b=c，△ABC为等边三角形．
点拨：先根据题意，列出关于x，x的二元一次方程组，可以求出方程的两个根0和-1．进而把这两个根代入原方程，判断a、b、c的关系，确定三角形的形状．
3．解：设该产品的成本价平均每月应降低x．
625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500
整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．
1-x=±0.9，x=1±0.9，
x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．
答：该产品的成本价平均每月应降低10%．
点拨：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．
4．解：依题意，N+（6-3）×+（11-6）×=29.10，
整理，得N2-29.1N+191=0，解得N1=19.1，N2=10，
由于N<12，所以N1=19.1舍去，所以N=10．
答：起步价是10元．
点拨：读懂表格是正确列出方程的基础，表格中的含义是：当行车里程不超过3公里时，价格是10元，当行车里程超过了3公里而不超过6公里时，除付10元外，超过的部分每公里再付元；若行车里程超过6公里，除了需付以上两项费用外，超过6公里的部分，每公里再付元．