2014人教版九年级数学上册第22章《二次函数》单元测试及答案 (1)
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（2013·兰州中考）二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A.（1，3） B.（1，3） C.（1，3） D.（1，3）
2.（2013·哈尔滨中考）把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
3.（2013·吉林中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为,则下列结论正确的是（ ）
A. B.＜0,＞0
C.＜0,＜0 D.＞0,＜0
4.（2013·河南中考）在二次函数的图象上，若随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A.1 B.1 C.-1 D.-1
5.二次函数 无论取何值，其图象的顶点都在( )
A.直线上 B.直线上
C.x轴上 D.y轴上
6. 抛物线轴交点的纵坐标为（ ）
A.-3 B.-4 C.-5 Ｄ.-1
7.已知二次函数，当取 ，（≠）时，函数值相等，则当取时，函数值为（ ）
A. B. C. D.c
8.已知二次函数，当取任意实数时，都有，则的取值范围是（ ）
A． ． C． D．
9.如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点二次函数图象的对称轴为给出四个结论：① ②③④，
其中正确的结论是( )
A.②④ B.①③ C.②③ D.①④来源：www.bcjy123.com/tiku/
10.已知二次函数的图象如图所示,其对称轴为直线，给出下列结论:(1)；(2)＞0；(3)；(4)；(5).
则正确的结论是（ ）
A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(4)(5)
C.(2)(3)(4) D.(1)(4)(5)
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.（2013·成都中考）在平面直角坐标系中，直线为常数）与抛物线交于两点，且点在轴左侧，点的坐标为（0,－4），连接,.有以下说法：
①；②当时，的值随的增大而增大；③当－时，；④△面积的最小值为4，其中正确的是 .（写出所有正确说法的序号）
12.把抛物线的图象先向右平移3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，所得图象的解析式是则 .
13.已知抛物线的顶点为 则 , .
14.如果函数是二次函数，那么k的值一定是 .
15.将二次函数化为的形式，则 ．
16.二次函数的图象是由函数的图象先向 （左、右）平移
个单位长度，再向 （上、下）平移 个单位长度得到的.
17.如图，已知抛物线经过点（0,－3）,请你确定一个的值，使该抛物线与轴的一个交点在(1,0)和(3,0)之间,你所确定的的值是 ．
18.如图所示，已知二次函数的图象经过（-1,0）和（0,-1）两点，则化简代数式= .
三、解答题（共46分）
19.（6分）已知抛物线的顶点为,与y轴的交点为求抛物线的解析式.
20.（6分）已知抛物线的解析式为
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
(2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值.
21.（8分）（2013·哈尔滨中考）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为轴，以抛物线的对称轴为轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为.已知米，设抛物线解析式为.
第21题图
（1）求的值；
（2）点（-1，）是抛物线上一点，点关于原点的对称点为点，连接,,，求△的面积.
22.（8分）已知：关于的方程
(1)当取何值时，二次函数的对称轴是；
(2)求证：取任何实数时，方程总有实数根.
23.（8分）已知抛物线与轴有两个不同的交点．
(1)求的取值范围；
(2)抛物线与轴的两交点间的距离为2，求的值.
24.（10分）心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间(单位：分钟)之间满足函数关系式的值越大,表示接受能力越强.x_k_b_1
(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力的值是多少?
(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.
参考答案
1.A 解析：因为的图象的顶点坐标为,所以的图象的顶点坐标为（1，3）.
2.D 解析：把抛物线向下平移2个单位，所得到的抛物线是，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是.
点拨：抛物线的平移规律是左加右减，上加下减.
3.A 解析：∵ 图中抛物线所表示的函数解析式为,∴ 这条抛物线的顶点坐标为.观察函数的图象发现它的顶点在第一象限，∴ .
4.A 解析：把配方，得.∵ -10,∴ 二次函数图象的开口向下.又图象的对称轴是直线,∴ 当1时，随的增大而增大.
5. B 解析：顶点为当时，故图象顶点在直线上.
6.C 解析：令，得
7.D 解析：由题意可知所以所以当
8.B 解析：因为当取任意实数时，都有,又二次函数的图象开口向上，所以图象与 轴没有交点，所以
9.B 解析:由图象可知.当时，因此只有①③正确.
10. D 解析：因为二次函数与轴有两个交点，所以.（1）正确.抛物线开口向上，所以0.抛物线与轴交点在轴负半轴上，所以.又,（2）错误.(3)错误.由图象可知当所以（4）正确.由图象可知当,所以（5）正确.
11.③④ 解析：本题综合考查了二次函数与方程和方程组的综合应用.
设点A的坐标为（,）,点B的坐标为（）.
不妨设,解方程组得∴ (,-）,B（3,1）.
此时,,∴ .而=16,∴ ≠,∴ 结论①错误.
当=时，求出A(-1,-),B（6,10）,
此时()(2)=16.
由①时， ()()=16.
比较两个结果发现的值相等.∴ 结论②错误.
当-时，解方程组得出A（-2，2）,B（，-1）,
求出12,2,6,∴ ,即结论③正确.
把方程组消去y得方程,∴ ,.
∵ =·||OP·||=×4×||
=2=2,
∴ 当时，有最小值4，即结论④正确.
12.11 解析：
把它向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得
即 ∴
∴ ∴
13.-1 解析： 故
14. 0 解析：根据二次函数的定义，得，解得.又∵ ，∴ ．∴ 当时，这个函数是二次函数．
15. 解析：
16.左 3 下 2 解析：抛物线是由先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的.
17.（答案不唯一） 解析：由题意可知要想抛物线与轴的一个交点在（1,0）和（3，0）之间，只需异号即可，所以
18. 解析：把（-1，0）和（0，-1）两点代入中，得
，，∴ .
由图象可知，抛物线对称轴，且，∴，∴ .
∴
=,故本题答案为．
19.解:∵ 抛物线的顶点为∴ 设其解析式为①
将代入①得∴
故所求抛物线的解析式为即
20.(1)证明：∵ 来源：www.bcjy123.com/tiku/
∴ ∴ 方程有两个不相等的实数根.
∴ 抛物线与轴必有两个不同的交点.
(2)解:令则解得
21.分析：（1）求出点A或点B的坐标，将其代入，即可求出a的值；
（2）把点代入（1）中所求的抛物线的解析式中，求出点C的坐标，再根据点C和点D关于原点O对称，求出点D的坐标，然后利用求△BCD的面积.
解：（1）∵ ,由抛物线的对称性可知,
∴ （4,0）.∴ 0＝16a-4.∴ a.
（2）如图所示，过点C作于点E，过点D作于点F.
∵ a=,∴ -4.当-1时，m=×-4=-,∴ C（-1,-）.
∵ 点C关于原点O的对称点为点D，∴ D（1,）.∴ .
∴ ×4×+×4×=15.
∴ △BCD的面积为15平方米.
点拨：在直角坐标系中求图形的面积，常利用“割补法”将其转化为有一边在坐标轴上的图形面积的和或差求解.
22.(1)解：∵ 二次函数的对称轴是，
∴,解得
经检验是原方程的解.
故时，二次函数的对称轴是.
（2）证明：①当时，原方程变为，方程的解为；
②当时，原方程为一元二次方程，，
当方程总有实数根，∴
整理得，
∵ 时,总成立,
∴ 取任何实数时，方程总有实数根.
23.解:（1）∵ 抛物线与轴有两个不同的交点，∴ ＞0，即解得c＜.
(2)设抛物线与轴的两交点的横坐标为，
∵ 两交点间的距离为2，∴ .由题意，得,解得,
∴ ，．
24.解:(1)当时,.
(2)当时,,
∴ 用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了;
当时,,
∴ 用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.
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