第32课 与圆有关的比例线段
〖知识点〗
相交弦定理、切割线定理及其推论
〖大纲要求〗
正误相交弦定理、切割线定理及其推论；
了解圆幂定理的内在联系；
熟练地应用定理解决有关问题；
注意（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似
三角形结合的产物。这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；
（2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。
〖考查重点与常见题型〗
证明等积式、等比式及混合等式等。此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定
理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中。
〖预习练习〗
1.圆内两弦相交，其中一条弦长为8cm，且被交点平分，另一条被交点分为1:4两部分，则这条弦长为（ ）
（A）2cm （B）8cm （C）10cm （D）16cm
2.自圆外一点所作过圆心的割线长是12cm，圆的半径为4cm，则过此点所引的切线长为（ ）
16cm （B）4cm （C）4cm （D）以上答案都不对
3.如图，圆内接四边形ABCD的BA、CD的延长线交于P，AC、BD交
于E，则图中相似三角形有（ ）
（A）2对 （B）3对 （C）4对 （D）5对
4.圆内两条弦AB与CD相交于E，如果AE＝BE，CE＝9，DE＝4，那么AB＝
5.从圆外一点P向圆引两条割线PAB、PCD，分别与圆相交于A、B、C、D，如果PA＝4，PC＝3，CD＝5，那么AB＝
6.Rt△ABC中两条直角边分别为6cm，8cm，则外接圆半径为 ,内切圆半径为
7.PA、PB分别是⊙O的切线，切点分别为A、B，∠AOB＝144°，则∠P＝
考点训练：
1.⊙O中直径CD⊥弦AB于E，AB＝6，DE∶CE＝1∶3，则DE的长为（ ）
(A) 3 (B) (C) 2 (D) 6
2.由圆外一点作圆的切线长为6，过这点作过圆心的割线长为12，则此圆半径长为（ ）
(A) 19cm (B) 6cm (C) 4.5cm (D)以上答案都不对
如图1，⊙O的半径为6，PQ＝6，AR＝8则QR的长为（ ）
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12
如图2，CD为⊙O直径，弦AB垂直CD于P,AP＝4，PD＝2，则PO＝___.
5. 如图3，PAB为⊙O的割线，PC切⊙O于C，PC＝10，AB＝15，则PA长为___________.
6．如图4，弦AB⊥弦CD于E，若AE＝2，BE＝6，DE＝3，则⊙O的直径长＝________.
7．如图，PAB为⊙O的割线，PO交⊙O于C，OP＝13，PA＝9，AB＝7，求⊙O直径的长.
8.如图，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC为⊙O的割线，求证：＝
9.如图，在两圆公共弦AB上，任取一点G，过G作直线交一圆于C,D，交另一圆于E,F.
求证：CG·ED＝EG·CF.
解题指导
如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD·DC＝PA·BC.
2．如图，锐角△ABC，以BC为直径作圆，在AB上截取AE＝切线长AD，过E作AB的垂线交AC延长线于F，求证：= .
如图，若△ABC的∠A平分线交BC于D，交其外接圆于E，求证：AD2＝AB·AC－BD·CD.
4．如图，△ABC内接于⊙O，CP切⊙O于C，交AB延长线于P，割线PD交AC于F，CB于E，且CE＝CF， 求证：（1）PD是∠APC的平分线，（2）CF2＝AF·BE.
独立训练：
1．AB是⊙O直径，C是AB延长线上一点，CD切⊙O于D，AB＝6，CD＝4，则CB的长为（ ）
(A) 2 (B) (C) (D) 3
2．如图1，P在半圆O的直径AB延长线上，且PB＝OB＝2，
PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，则CD的长为（ ）
2 (B) (C) (D) 4
3．如图2，△ABC中∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，半圆圆心在BC上，与AB,AC切于D,E，则⊙O半径为（ ）
(A) (B) (C) (D) 2
4．⊙O中直径CD垂直弦AB于E，AB＝8，DE∶CE＝3∶1，
则DE的长为（ ）
(A)2 (B)4 (C)2 (D)4
5．如图3，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于P，若CD＝a，AP＝b，
则半径R＝____.
6．如图4，AB为⊙O直径，CD切⊙O于B，且BC＝BD，AD
交⊙O于E，AB＝8，CD＝12，则S△CDE＝___________.
7．如图5，BE为半圆O直径，AD切⊙O于B，BC切
⊙O于B，BE＝BC＝6，则AD长为___________.
8．如图6，以直角坐标系的原点O为圆心作圆，A是x轴上一点，
AB切⊙O于B，若AB＝12，AD＝8，则点B坐标为____________.
9．如图，AB是⊙O直径，BC是弦，CD切⊙O于C，AD⊥CD交BC延长线于E，AE＝8cm，求AB的长。
10．已知：如图，AD切⊙O于点D，ACB为⊙O的割线，AP＝AD，BP,CP分别交⊙O于M,N，求证：（1）△PCA∽△ABP （2）MN∥AP.