专题02 勾股定理
一、单选题
1．（2025春·广东佛山·八年级佛山市第十一中学校考阶段练习）下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（ ）
A． ， ， 2 B．5，7，11 C．9 ，12，15 D．15 ，20 ，25
2．（2025秋·陕西西安·八年级西安一中校考期中）下列各组数为边长的三角形中，能够形成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．5，12，13 C．，， D．，，
3．（2025秋·甘肃·八年级兰州市外国语学校校考期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025春·山东临沂·八年级统考期末）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块按图的方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．2，4，5 D．1，2，3
5．（2025春·四川凉山·八年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( )
A． B．2 C．2 D．4
6．（2025秋·山东烟台·七年级统考期中）下图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( )
A．4cm B．5 cm C． D．
7．（2025秋·八年级课时练习）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025秋·四川乐山·八年级统考期末）在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC全等的是（ ）
A．△ACF B．△ACE C．△ABD D．△CEF
9．（2025秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如图，矩形的边长为2，长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是
A．2．5 B． C． D．
10．（2025春·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若BE=2，则AC的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
11．（2025秋·山东济南·八年级校考阶段练习）如图△ABC的三边长为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为：（ ）
A．30 B．24 C．60 D．
12．（2025秋·上海·八年级专题练习）下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．3，3， B．4，8， C．6，8，10 D．5，5，
13．（2025秋·福建福州·八年级期末）如图，点A，B，C，D顺次在直线l上，等腰Rt△ACE的底边AC=m，等腰△BDF的底边BD=n，腰FB=FD=n，记△CDE与△ABF的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则m，n满足（ ）
A．m＝n B．m＝n C．m＝n D．m＝n
14．（2025春·全国·八年级专题练习）如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结．已知，，则的面积为（ ）
A． B． C．24 D．12
15．（2025春·湖北·九年级校联考专题练习）如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
二、填空题
16．（2025秋·甘肃张掖·八年级校考期末）如图，则阴影小长方形的面积S＝_____．
17．（2025秋·山东济南·八年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，三边长分别用a，b，c表示，已知a=3，b=5，则c=___________
18．（2025春·江西宜春·八年级统考期末）程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”（1步=5尺）．译文：“当秋千静止时，秋干上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知尺，尺，人的身高尺，则_______尺．
19．（2025春·北京·八年级101中学校考期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．
20．（2025春·全国·八年级专题练习）如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，则S△AOC＋S△AOB＝__________________．
21．（2025秋·安徽芜湖·八年级期末）如图，在等腰直角中，，，为的中点，，点为上一动点，则的最小值为__________．
22．（2025秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在中，，，点E的边上， ，点P是线段AC上一动点，点F是线段上一动点， ___________．当的值最小时， ___________
23．（2025春·山东菏泽·八年级菏泽市牡丹区第二十一初级中学校考阶段练习）在如图所示的方格纸中，建立直角坐标系，点A坐标为，若是以为腰的等腰三角形，点B为格点且点B在x轴上，则满足条件的点B的坐标______．
24．（2025春·全国·八年级专题练习）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆完全收拢（即）时，如图2所示，床高（与之间的距离）为，则此时伸缩杆的长度为________．当成时，伸缩杆打开最大，此时的长度为，则固定钢架的长度为________．
25．（2025·上海杨浦·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，将△ABC翻折，使得点B与边AC的中点M重合，如果折痕与边AB的交点为E，那么BE的长为_____．
三、解答题
26．（2012秋·江苏苏州·九年级统考期末）如图，一块三角形铁皮，其中∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝12cm．求△ABC的面积．
27．（2025春·山西临汾·八年级统考期末）如图，小明在甲岛上的一个观测站A处观测，发现在甲岛的正西方10海里处B点有一艘船向正北方驶去，2小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛海里的C处，求该船的行驶速度．
28．（2025春·广东深圳·八年级深圳市福田区实验教育集团侨香学校校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．
(1)求AB的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)求CD的长．
29．（2025秋·安徽宿州·九年级校联考期中）△ABC中，a，b，c分别为它的三边，且a＋b＋c＝60，a∶b∶c＝3∶4∶5，求△ABC的面积．
30．（2025春·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，正方形网格的每个小正方形的边长均为每个小正方形的顶点叫做格点，若在格点上，且满足．
(1)在图中画出符合条件的；
(2)若于点，则的长为 ．
31．（2025春·山东临沂·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝12，D为BC上一点，连接AD，将△ABC沿AD折叠，使点B恰好落在边AC上的点B'处，求DB'的长度．
32．（2025秋·广东揭阳·八年级阶段练习）长方形纸片ABCD中，AD=5cm ，AB=25cm ，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF.
(1)求AE的长；
（2）求△ADE的面积．
33．（2025秋·浙江·八年级期末）定义：到三角形两个顶点距离相等的点叫做此三角形的准心．举例：如图1，若PA＝PB，则点P为△ABC的准心．
（1）判断：如图2，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点P在AD上，则点P △ABC的准心（填“是”或“不是”）
（2）应用：如图3，CD为正△ABC的高，准心P在高CD上，且PDAB，求∠APB的度数；
（3）探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准心P在AC边上，试探究PA的长．
34．（2025秋·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，在中，，，，等腰直角中，，且点D是边BC上一点．
（1）求AC的长．
（2）如图1，当点E恰在AC上时，求点E到BC的距离．
（3）如图2，当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值．
35．（2025春·全国·八年级期中）已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON；
（2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；
（3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．