专题07 解一元二次方程（1）
新知预习
（一）直接开平方法
（1）概念：一般地，对于方程x2 = p
①当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 x1=-，x2=
②当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0
③当p<0时，因为对任意实数x，都有x2 ≥0 ，所以方程无实数根。
（二）配方法
（1）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
（2）用配方法解一元二次方程的一般步骤:
①移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
②二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；
【注意】：当时，方程无解
④求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
新知训练
考点1：直接开平方
典例1：（2025·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）关于x的方程的解是___________．
【变式1】（2025秋·辽宁大连·九年级统考期末）一元二次方程的根为______．
【变式2】（2025·全国·九年级专题练习）若，则________．
【变式3】（2025秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期末）一元二次方程的解是______．
考点2：配方法求字母的值
典例2：（2025秋·河北保定·九年级统考期末）将一元二次方程配方成的形式，则的值为________．
【变式1】（2025秋·宁夏银川·九年级校考阶段练习）把化成的形式，则______．
【变式2】（2025秋·河南南阳·八年级统考期中）将配方成的形式，则___________．
【变式3】（2025秋·广东佛山·九年级校考期中）一元二次方程配方后得，则的值为 _____．
考点3：配方法解方程
典例3：（2025春·安徽合肥·八年级统考期中）解方程：
【变式1】（2025秋·青海西宁·九年级校考期中）（配方法）
【变式2】（2025春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程的过程：
解：移项得
配方：
开平方得：
移项：
所以：，
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【变式3】（2025春·安徽滁州·八年级校考阶段练习）已知与互为相反数．
(1)求m，n的值．
(2)解关于x的方程：．
考点4：配方法的应用——最值问题
典例4：（2025春·全国·八年级期中）发现与探索．
小丽的思考：代数式无论a取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题：
(1)说明：代数式的最小值为______．
(2)请仿照小丽的思考求代数式的最大值．
【变式1】（2025秋·河南许昌·九年级校考阶段练习）阅读下面的材料并解答后面的问题：
小力：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小强：能，求解过程如下：
因为
，
而，
所以的最小值是．
问题：你能否求出的最小值？如果能，请仿照上例写出你的求解过程．
【变式2】（2025秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫作“配方法”．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如 ．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)分解因式：．
(2)求多项式的最小值．
【变式3】（2025秋·广西防城港·九年级统考期末）【阅读理解】我们知道，所以代数式的最小值为0，可以用公式来求一些多项式的最小值．
例如：求的最小值问题
解：∵
∵，∴，
∴的最小值为-8．
【类比应用】请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)类比：的最小值为_______．
(2)探究：代数式有最______（填“大”或“小”）值为______．
(3)拓展：如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长）另外三面所围成的棚栏的总长是20米，设垂直墙面的棚栏围x米，则当x为多长时花圃面积最大，最大面积是多少？
考点5：配方法的应用——比较大小
典例5：（2025秋·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题：
(1)求代数式最值；
(2)已知，求的值；
(3)比较代数式与的大小．
【变式1】（2025·全国·九年级专题练习）阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
∵，
∴，
因此，代数式有最小值
根据以上材料，解决下列问题：
(1)代数式的最小值为 ；
(2)试比较与的大小关系，并说明理由；
(3)已知：，求代数式的值．
【变式2】（2025春·北京平谷·七年级统考期末）阅读下列材料：
我们知道对于二次三项式可以利用完全平方公式，将它变形为的形式．但是对于一般的二次三项式就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上原式中一次项系数的一半的平方即，使其凑成完全平方式，再减去，使整个式子的值不变，这样就有．例如＝＝．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)将多项式变形为的形式；
(2)当x，y分别取何值时有最小值？求出这个最小值；
(3)若，，则m与n的大小关系是______．
【变式3】（2025春·全国·八年级专题练习）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
考点6：配方法的应用——三角形三边关系
典例6：（2025秋·贵州毕节·九年级校联考期末）已知的三条边分别是．
(1)判断的值的正负．
(2)若满足，判断的形状．
【变式1】（2025秋·河南许昌·八年级统考期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如
根据以上材料，解答下列问题，
(1)分解因式（利用公式法）：．
(2)已知的三边长a，b，c，且满足，求的最大边c的取值范围．
【变式2】（2025秋·河南周口·八年级统考期中）已知、、是的三边，、使等式成立，且是偶数，求的周长．
【变式3】（2025春·江苏宿迁·七年级校考期中）阅读材料：若，求、的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题．
(1)已知，求、的值．
(2)已知，，是的三边长，满足，且是等腰三角形，求的值．
新知检测
一、单选题
1．（2025秋·湖北十堰·九年级统考期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025秋·江苏无锡·九年级锡东高中阶段练习）关于x的方程 －4＝0的根是（ ）
A．2 B．－2 C．2，－2 D．2，
3．（2025秋·吉林长春·九年级校考期末）一元二次方程的根为（ ）
A． B． C．， D．，
4．（2025秋·福建三明·九年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025秋·河北张家口·九年级校考期中）将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（ ）
A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣2）2+3
7．（2025秋·福建泉州·九年级福建省南安市侨光中学校考阶段练习）用配方法解一元一次方程，经配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025春·浙江·七年级专题练习）若方程的左边是一个完全平方式，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2025秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程：，应当化为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025秋·广东深圳·九年级校考期末）一元二次方程x2﹣4＝0的解是（ ）
A．x＝2 B．x1＝2，x2＝﹣2
C．x1＝2，x2＝0 D．x＝16
11．（2025秋·山东临沂·九年级校联考期中）用配方法解方程，配方后所得的方程是（）
A． B． C． D．
12．（2025秋·广东广州·九年级校考阶段练习）用配方法解一元二次方程，可变形为（ ）
A． B． C． D．
13．（2025秋·吉林长春·九年级校考期末）用配方法解方程，配方后所得方程是（ ）
A． B． C． D．
14．（2025秋·青海西宁·九年级校考期中）已知m 、n 是关于 x 的一元二次方程 x2tx t 2t 4 0 的两实数根，则m 2n 2的最小值是( )
A．7 B．11 C．12 D．16
15．（2025秋·广东河源·八年级校考期末） 如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=－x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 （ ）
A．（0，0） B．（－，） C．（，－） D．（，－）
二、填空题
16．（2025秋·江苏无锡·九年级期中）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12＋4x1x2＋x22的值是_____．
17．（2025秋·辽宁锦州·九年级统考期中）x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣______．
18．（2025秋·全国·九年级阶段练习）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m+1和2m﹣13，则＝__________．
19．（2025秋·江苏·九年级统考期中）将方程化为的形式为___________.
20．（2025秋·江苏淮安·九年级统考期中）把方程，化为（其中m、n为常数）的形式后为______．
21．（2025秋·九年级课时练习）如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为______．
22．（2025秋·九年级课时练习）如果x2+4x－5=0，则x=_______．
23．（2025秋·九年级单元测试）若一元二次方程的两个根是与，则________．
24．（2025秋·湖南永州·九年级校考阶段练习）若一元二次方程可以配方成的形式，则代数式的值为______．
三、解答题
26．（2025秋·陕西西安·八年级阶段练习）（1）
（2）
27．（2025秋·山东济南·九年级济南市章丘区第四中学校考阶段练习）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）2x（x+1）＝x+1．
28．（2025秋·山东枣庄·九年级统考期中）解方程：
(1)（配方法）
(2)
29．（2025秋·湖南长沙·九年级校联考期末）解方程．
(1)；
(2)．
30．（2025秋·山东临沂·九年级统考期末）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣4x+2＝0．
（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．
31．（2025秋·全国·九年级统考期末）解方程：
（1）； （2）；
；
32．（2025秋·山西太原·九年级校考阶段练习）解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
33．（2025秋·九年级单元测试）解下列方程
（1）；（2）；
（3）；（4）．
34．（2025秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）解下列方程．
(1)．
(2)．
35．（2025春·江苏·七年级专题练习）阅读材料:若，求m、n的值.
解:，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）已知，求的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3）若已知，求的值.