讲义09 平行四边形的性质与判定
1.平行四边形不一定具有的性质是( )
A.对边平行 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分
2.下列说法正确的是（ ）．
A．有两组对边分别平行的图形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等
C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的对边平等且相等
3.在四边形ABCD中，从（1）AB∥ CD，（2）BC ∥ AD （3）AB=CD（4）BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A 3种 B 4种 C 5种 D 6种
4.若A、B、C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.在ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（ ）
A. 36° B. 108° C. 72° D. 60°
6.平行四边形的周长为，相邻两边长的比为3：1，那么这个平行四边形较短的边长为（ ）．
A. B. C. D.
7.在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则能通过旋转达到重合的三角形有（ ）．
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
8.一个平行四边形的两条邻边的长分别是和，它们的夹角是30°，这个平行四边形的面积是（ ）．
A．2 B．cm．2 D．cm2
9.如图，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点．当四边形ABCD满足条件______时，△PBA的面积始终保持不变（注：只需填上你认为正确的一种条件即可）．
10.如图，在ABCD中，∠A的平分线交BC于点E．若AB=，AD=，则BE=______，EC=________．
11.平行四边形两邻角的平分线相交所成的角为________
12.已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加的条件是__________________（填一个你认为正确的条件）
13.一个四边形的边长依次是a、b、c、d且 ，则这个四边形的形状为 ；其理由是 .
14.ΔABC的三条边为、和，分别以ΔABC的任意两边为边做平行四边形，这样的平行四边形能做几个？ ；它们的周长分别为：
15.如图：平行四边形ABCD的周长为，一组邻边AB：BC＝3:5，∠B＝600，E为AB边上的任意一点，则ΔCED的面积为 .
16.若一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线长x的取值范围是
17.如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上
的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为 .
18.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是__________
19.如图：平行四边形ABCD中，E、F分别为对角线BD上的点，且BE＝DF，判断四边形AECF的形状，并说明理由.
20.如图,平行四边形ABCD中,AB=, BC=, ∠D与∠C的平分线分别交AB于F,E, 求AE, EF, BF的长?
21.如图所示：ΔABC中，D为BC边的中点，F、E分别为AD及其延长线上的点，且CF∥BE.
（1）说明：ΔBDE≌ΔCDF；（2）连结BF、CE，试判断四边形BECF的形状，并说明理由.
22.如图：ΔABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，∠EFB＝∠C，判断BE与FC的数量关系，并说明理由.
23.如图：平行四边形ABCD，在AB的延长线上截取BE＝AB，BF＝BD，连结CE、DF交于G点，试说明：CD＝CG。
24.在平行四边形ABCD中，AB：AD＝1:2，M为AD的中点，求 ∠BMC的度数.
25.已知：如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
26.已知：O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F. 求证：四边形AECF是平行四边形.
27.如图，□ABCD中， AE、AF分别为BC、CD上的高，AE=2㎝，AF=5㎝，∠EAF=30°，求，□ABCD各内角度数和周长。
28.如图，ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=30°，AE=，AF=，求ABCD周长．
29.如图所示，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB，CD于点E，F．（1）求证：OE=OF；（2）若AB=7，BC=5，OE=2，求四边形BCFE的周长．
30.如图所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD中，有一条小折路EFG．现在想把它改为经过点E的直路，要求小路两侧土地的面积都不变，请在图中画出改动后的小路．
31.如图,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.
32.已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD和延长线上取点E，使DE＝DC，连接AE、BD。
（1）求证：△AGE≌△DAB；
（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连结AF，求∠AFE的度数。
讲义10 平行四边形02 矩形
性质：(1)具有平行四边形的一切性质． (2)矩形的四个角都是直角．
(3)矩形的对角线相等． (4)矩形是轴对称图形．
判定：(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
课堂练习：
1.如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（ ）．
A.98 B.280 D.284
2.如图，矩形ABCD，R是CD的中点，点M在BC边上运动，E，F分别是AM，MR的中点，则EF的长随着M点的运动（ ）
A.变短 B.变长 C.不变 D.无法确定
3.如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为，连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为
4.如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（ ） A.15 BC.45 D.60
5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（ ） A. B. C. D.
6.如图，双曲线经过矩形QABC的边BC的中点E，交AB于点D。若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
7.如图（1）将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，则AE的长为（ ） A. B. 2 D.
8.如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，矩形中，过对角线交点作交于则的长是（ ）
A．1.6 B．．3 D．3.4
10.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）．
A. B.3 D.
11.如图1，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点R运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（ ）
A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处
12.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=，边BC=，则△ABO的周长为________．
13.如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．
14.如图,在矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD．若矩形ABCD的周长为，则矩形ABCD的面积为_______cm2．
15.如图，在矩形ABCD中，E为DC上一点，且BE=BA，∠EAD=150，则矩形两边AD:AB的值为
16.如图，在矩形ABCD中，BC=，AE=AD，∠a=300，且点A与点F关于BE对称，则BE= ，AB= 。
17.如图，利用四边形的不稳定性改变矩形ABCD的形状，得到平行四边形A1BCD1，若平行四边形A1BCD1的面积是矩形ABCD面积的一半，则∠A1BC的度数是 度．
18.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=8，则EF=
19.如图，长方形ABCD的长为8，宽为5，E是AB的中点，点F在BC上，已知△DEF的面积为16，则点D到直线EF的距离为
20.如图矩形ABCD中，AB=，CB=，E是DC的中点，，则四边形DBFE的面积为 cm2．
21.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=，矩形ABCD的周长为，求AE的长．
22.如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠DEF=90°，AD+CD=10，AE=2，求AD的长．
23.如图, 在矩形ABCD中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB平分CBH.
24.如图, 在矩形ABCD中, AD=12, AB=7, DF平分ADC, AFEF, (1)求EF长; (2)在平面上是否存在点Q, 使得QA=QD=QE=QF? 若存在, 求出QA的长; 若不存在, 说明理由.
25.如图,在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°，则四边形ABCD是矩形.试说明理由.
26.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，那么MN⊥BD成立吗？试说明理由．
27.如图矩形中，延长到，使，是中点．求证：．
28.如图所示，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
29.如图，四边形ABDC中，∠ABC=∠ADC=90°，M、E分别是AC，BD的中点，
求证：(1)MD=MB；(2)ME⊥BD
30.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，且∠DBF=150，求证：OF=EF。
31.如图，在矩形ABCD中, CE=AC，F为AE的中点，猜想BF与DF的位置关系。
32.如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以/s的速度运动．
（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？
（2）若点E在线段BC上，且BE＝，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？
讲义11 平行四边形03 菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质：1）菱形具有平行四边形所具有的一切性质.
2）菱形的四条边都相等.
3）菱形的对角线互相垂直并且每条对角线平分一组对角.
4）菱形的面积等于对角线乘积的一半.（如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的面积等于对角线乘积的一半）
判定方法： 1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3）四条边都相等的四边形是菱形.
课堂练习：
1.从菱形的钝角的顶点向对边引垂线，并且这条垂线平分对边，则该菱形的钝角为（ ）．
A．110° B．120° C．135° D．150°
2.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形 C．矩形 D．对角线相等的四边形
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为（ ） A B C D
4.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7 B．C．10 D．11
5.已知菱形的两条对角线长分别为和，则菱形的边长为（ ）
A B C.cm D.cm
6.菱形的周长等于高的8倍，则此菱形的较大内角是（ ）
A、60° B、90° C、120° D、150°
7.菱形的周长为，两邻角的比为1：3，则菱形的面积为（ ）
A、2 B、 C、cm2 D、cm2
8.如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（ ） A、8 B、C、11 D、12
9.如图，D是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
A、5个 B、4个 C、3个 D、2个
10.如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ）
A、35° B、45° C、50° D、55°
11.如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=2，∠C=120°，则点B′的坐标为（ ）
A．(3，) B．(3，-) C．(，) D．(，-)
12.如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为m，则∠1等于（ ）
A、90° B、60° C、45° D、30°
13.如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，MP+NP的最小值是（ ）
A.2 B. D.
14.菱形ABCD的AC交BD于O，AB=13，BO=12，AO=5，求菱形的周长=_____，面积=____．
15.已知菱形的一条对角线的长为，面积是2，则这个菱形的另一条对角线的长
为 cm.
16.已知菱形的面积等于2，高等于，则菱形的周长为 .
17.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离
18.如图，两条宽度为1的纸带，相交成60°角，那么重叠部分的面积是
19.如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是 .
20.如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 _________ ．
21.如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2013厘米后停下，则这只蚂蚁停在 _________ 点．
22.如图，点O是AC的中点，将周长为4㎝的菱形ABCD沿对角线AC方向平移OC长度得到菱形OB’C’D’,则四边形OECF的周长是 ㎝.
23.如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；
④如果且，那么四边形是菱形.
其中，正确的有 .（只填写序号）
24.如图，在菱形中，，点分别从点出发以同样的速度沿边向点运动．给出以下四个结论：①②③当点分别为边的中点时，是等边三角形④当点分别为边的中点时，的面积最大．上述结论中正确的序号有 ．（把你认为正确的序号都填上）
25.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．
（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．
26.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；
（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）
27.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，ED⊥BC，DF//AB。求证：AD与EF互相垂直平分。
28.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，
求菱形BCFE的面积．
19.已知：如图，C是线段BD上一点，△ABC和△ECD都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点，求证：四边形RFGH是菱形。
20.如图所示，已知菱形ABCD中E在BC上，且AB=AE，∠BAE=∠EAD，AE交BD于M，试说明BE=AM．
21.如图所示，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF的度数．
22.如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积．
23.如图，△ABC中，∠A=90°, ∠B的平分线交AC于D，AH、DF都垂直于BC，H、F为垂足，求证：四边形AEFD为菱形。
24.已知，判定以a、b、c、d为边的四边形的形状。
24.如图，在中，AB＝2BC，BE⊥AD于E，F为CD中点，设∠DEF＝α，∠EFC＝β，求证：β＝3α。
25.如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC＝CB，E、F分别是AC、AB的中点，且∠DEA＝∠ACB＝45°，BG⊥AE于G，求证：（1）四边形AFGD是菱形；（2）若AC＝BC＝10，求菱形的面积。
讲义12 平行四边形04 正方形
性质：1．对边平行且四条边都相等；2．对角相等且四个角都是直角；
3．对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；
判定：
①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
③有一组邻边相等的矩形是正方形；
④对角线互相垂直的矩形是正方形；
⑤有一个角是直角的菱形是正方形；
⑥对角线相等的菱形是正方形；
⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
课堂练习：
1.下列说法中错误的是（ ）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；B．两条对角线相等的四边形是矩形；
C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形； D．两条对角线相等的菱形是正方形．
2.在下列说法中不正确的是（ ）
A.两条对角线互相垂直的矩形是正方形;
B.两条对角线相等的菱形是正方形;
C.两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形;
D.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
3.如图所示，在正方形ABCD中，H是BC延长线上一点，使CE＝CH，连结DH，延长BE交DH于G，则下面结论错误的是＿＿＿＿。（ ）
A.BE＝DH B.∠H＋∠BEC＝90° C.BG⊥DH D.∠HDC＋∠ABE＝90°
4.如图所示，以正方形ABCD中AD边为一边向外作等边ΔADE，则∠AEB＝（ ）。
A.10° B.15° C.20° D.12.5°
5.如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是 （ ）
A.3：4 B.5：.9：16 D.1：2
6.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE=BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM+PN=（ ）
A.1 B. C. D.1+
7.如图，将n个边长都为的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）
A．cm2 B．cm．cm2 D． cm2
8.如图所示，正方形ABCD的面积为12，是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
9.已知：如图所示，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，则∠AEB＝＿＿
10.如图，在正方形ABCD中，AB=8，AE=2, EF=. 点E在AB上，点F在AD上，则CF=_____
11.以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB＝＿＿＿
12,已知：矩形ABCD中，AB＝2CB，点E中DC上，且AE＝AB，则∠EBC＝＿＿
13.正方形ABCD中，对角线的长是，点P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和是＿＿
14.如图，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为4，O是正方形ABCD的旋转对称中心，则图中阴影部分的面积是＿＿
15.如图，ABCD是正方形，M是BC中点，将正方形折起，使点A与点M重合，设折痕为EF, 若正方形面积为64，那么△AEM的面积是_________
16.如图，以正方形ABCD的对角线BD为边作正三角形BDE,过E作EF⊥AD,交DA的延长线于F,则∠AEF=_____；若正三角形BDE的周长是，正方形面积为_______
17.正方形ABCD边长为8，M在DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为_______
18.正方形ABCD 的CD边长作等边△DCE,AC和BE相交于点F，连接DF.
求AFD的度数；(2)求证：AF=EF.
19.已知：如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A，把正方形AEFG绕A点旋转到如图所示位置，连结DG、BE。试说明：DG＝BE。
20.如图，在正方形ABCD中，F是对角线AC上任一点，BF⊥EF,求证：BF=EF.
21.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC,PF⊥CD,E、F分别为垂足,求证：AP=EF.
22.分别以三角形ABC两边向形外作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：BG=CE。
23.如图，正方形ABCD对角线BD、AC交于O，E是OC上一点，AG⊥DE交BD于F，
求证：EF∥DC。
24.如图，在正方形ABCD中，取AD、CD边的中点E、F，连接CE、BF交于点G，连接AG。试判断AG与AB是否相等，并说明道理。
25.如图所示，在正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于F，交CD于H，G为FH中点，求证：EC⊥CG。
26.已知：如图所示，E、F分别是正方形的边BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，
求证：BE＋DF＝EF
27.如图所示，在正方形ABCD中，M为AB上任意一点，MN⊥DM，BN平分∠CBE，试说明：MD＝MN。
28.如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE＝2∠DAM。求证：AE＝BC＋CE。
29.如图，已知P点是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别是垂足，求证：AP＝EF．
30.如图，E，F分别为正方形ABCD的边AB,BC上的点，EF与AC平行，G在DA的延长线上，且AG=AD,GE的延长线交DF于H,求证：HA=DA.
31.如图①所示，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于F，请说明OE＝OF。
对于上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，如图②所示，请你想一想，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给予说明；如果不成立，请说明理由。
32.已知：如图所示，ABCD是正方形，过B作BF∥AC，E是BF上一点，四边形AEFC是菱形，试说明：∠FCA＝5∠F。
讲义十三 平行四边形
1.延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，若∠DAB＝120°，∠CFE＝135°，AB＝1，则AC 的长为（ ）
A.1 B.1.2 （C） （D）1.5
2.如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE︰EF︰FB为（ ）
A．1︰2︰3 B． 2︰1︰． 3︰2︰1 D． 3︰1︰2
3.在平行四边形ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别AB和CD的五等分点,点B1、B2和D1、D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4 B4 D2的面积为1,则平行四边形ABCD面积为（ ）A.2 B. C. D.15
4.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在约片上的点H处，连接AH，则与相等的角的个数为 ( )
A.4 B. .2 D.1
5.如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）．
6.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是 ．
7.如图，正方形是由k个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k=
8.若矩形的对角线的长等于较长边a的一半与较短边b的和，则a:b= 。
9.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为
10.如图，若直角△ABC的边AB=2，AC=3，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、BC、AC为边的正方形，则图中三个阴影部分面积之和为________。
11.如图所示，菱形ABCD中，∠B=600，将△ABC绕点A逆时针旋转1800至△AEF的位置，则∠1的度数为 。
12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=600,AEBD于点E,F是CD的中点。求证：四边形AEFD是平行四边形。
13.如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．
14.如图，ABCD是正方形，CE∥BD，BE＝BD，BE交DC于点F，
求证：（1）∠BEC＝30°；（2）DE＝DF
15.如图，平形四边形ABCD周长，AB：BC＝5：3，AF⊥CD于F,AE⊥BC于E且∠EAF＝2∠C。求AE和AF的长。
16.如图，BF，BE分别是∠ABC及它的邻补角的平分线，AE⊥BE于E，AF⊥BF于F，EF分别交AB，AC于 M，N。求证：（1）AEBF为矩形；（2）MN＝BC。
17.菱形ABCD的周长为24，∠DAB＝600，E为AB的中点，F为对角线AC上的一个动点，当F点运动到何处时ΔFEB的周长最小？最小周长是多少？
18.已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△（如图2）.
探究AE′与BF'的数量关系，并给予证明；
当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形.
19.如图，从矩形ABCD顶点C作对角线BD的垂线与∠A的平分线相交于E点，求证：BD=CE。
20.如图，D是等腰RtABC的直角边上的一点，AD的垂直平分线EF分别交AC、AD、AB于E、O、F三点，且BC=2。（1）当CD=时，求AE的长；（2）当CD=2（-1）时，证明：四边形AEDF是菱形。
21.ΔABC中，BD、CE分别为∠ABC和∠ACB的平分线，AF⊥CE，AG⊥BD.
试说明：
22.若一次函数y＝2x-1和反比例函数的图象都经过点(1，1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A的坐标；
(3)利用(2)的结果，若点B的坐标为(2，0)，且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．
23.如图，点A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)在反比例函数的图象上．(1)求m，k的值；
(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．
讲义十四 梯形
1.若等腰梯形的两底差等于一腰长，那么它的腰与下底的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
2.梯形ABCD中，AB//DC，AB=5，BC=3，∠BCD=45°，∠CDA=60°，则DC的长度是（ ）
A．7＋ B． C．8＋ D．8＋3
3.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高h和中位线的长m之间的关系是（ ）
A．m＞h B．m=h C．m＜h D．无法确定
4.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（ ） A.8 B.10 D.12
5.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点,若EF=,MN=,则AB的长等于( )
A B C D
6.如图，由六个全等的等边三角形拼成的图案中，等腰梯形有 个．
7.如图，OBCD是边长为1的正方形，∠BOx=60°，则点C的坐标为______
8.已知一个梯形的面积为2，高为，则该梯形的中位线的长等于________cm．
9.以线段、为梯形的两底，以为一腰，则另一腰长d的范围是______
10.如图是一块待开发的土地，规划人员把它分割成①号区、②号区、③号区三块，拟在①号区种花，②号区建房，③号区种树，已知图中四边形ABCD与四边形EFGH是两个相同的直角梯形，则①号区种花的面积是__________________.
11.如图,在梯形ABCD中，已知AB∥CD，点E为BC的中点，设△DEA的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，则S1与S2的关系为________________.
12.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝，BD＝，则此梯形的高为 cm．
13.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，AD＝1，BC＝3，E、F分别是AD、BC的中点，则EF＝
14.如图，梯形ABCD中，AD//BC，EF是中位线，G是BC边上任意一点，如果S=cm，那么梯形ABCD的面积为_________
15.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD=BC，AB=10，CD=4，延长BD到E，使DE=DB，作EF⊥AB交BA的延长线于点F，则AF=___________.
16.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=，AC与BD相交于G，且∠AGD=60°，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为___________.
17.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，∠ABC=60°，AC平分∠DAB，E，F分别是对角线AC，BD中点，且EF=，则梯形ABCD的面积为________
18.如图，梯形中，．，且．连结，过点作的垂线，交于．如果，，那么，梯形的面积是____________．
19.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t＝ 秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.
20.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点处，若，求的度数．
21.已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC．
22.如图，在梯形ABCD中，∠B=40°，∠C=50°，M、N分别是BC、DA的中点，
求证：MN=(BC－AD).（BC＞AD）
23.如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC、BD相交于O，∠ACD=60°，点S、P、Q分别为OD、OA、BC的中点。
（1）求证：△PQS是等边三角形；
（2）若AB=5，CD=3，求△PQS的面积；
（3）若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB。
24.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，点P为BC边上一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为E、F、G，求证：PE＋PF=BG.
25.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别为AB、AC中点，BD与EF相交于G，
求证：GF=(BC－AD).
26.如图，在梯形ABCD中，AB//DC，M是腰BC的中点，MN⊥AD，求证：S=MN·AD.
讲义十五 期末复习练习
1.平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．
A.5 B.8 D.12
2.如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( )
A．a B． C． D．
3.如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B’处，则B’点的坐标为（ ）
A.() B. () C.() D. ()
4.如图，梯形AOBC的顶点A，C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y=x上，下底边BC交x轴于E（2，0），则四边形AOEC的面积为（ ）
A.3 B. C. D.
5.如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若 AB=14，AC=19，则MN的长为（ ）．
A．2 B．．3 D．3.5
6.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，以斜边AB为一边作等边△ABD，使点C、D在AB的同侧；再以CD为一边作等边△CDE，使点C、E落在AD的异侧．若AE=1，则CD的长为（ ）．
A． B． C． D．
7.若分式的值为正数，则x的取值范围是_________
8.当时，
9.已知，则
10.如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．
11.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。
12.如图，直角梯形OABF中,∠OAB=∠B=90°,A点在x轴上,双曲线过点F,与AB交于E点，连EF，若， =4，则k=________
13.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为______．
14.如图，已知在等腰ΔABC中，AB=AC=，AB的中垂线交另一腰于D点，ΔBCD的周长是，则BC的长为
15.已知菱形的一边与两条对角线的夹角之差是180,则菱形的各个内角分别是
16.已知菱形的周长为2p,对角线之和为q,则菱形的面积等于
17.已知等腰梯形的一条对角线平分锐角，这条对角线又将中位线分成10厘米和18厘米两段，则这个梯形的周长为 厘米。
18.如图所示，四边形ABCD中，∠A=900，∠B=600，∠C=1200，CD=BD=，试求四边形ABCD的面积。
19.如图，已知AE与BD相交于点C，AB=AC，DE=DC，M、N、P分别是BC、CE、AD的中点，求证：PM=PN。
20.如图，腰长为的等腰RtΔFED和腰长为的等腰RtΔABC部分重叠在一起，且BE=，求阻影部分的面积。
21.如图，在RtΔABC中，∠ACB=900，∠BAC=300，ΔADC和ΔABE是等边三角形，DE交AB于点F，求证：F是DE的中点。
22.如图,点E、F、G、H分别是线段AB、BD、CD 、CA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
23.已知：如图，E、F为的边AB、BC的中点，在AC上取G、H两点，使AG=GH=HC，连结EG、FH，并延长交于D点。求证：四边形ABCD是平行四边形。
24.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．
25.如图，在ΔABC中，BM、CN平分∠B、∠C的补角，AM⊥BM于点M，AN⊥CN于点N，
求证：MN=(AB+BC+AC).
26.如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，E是BC的中点，求证：ED= (AB-AC).
27.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB =CD，∠ DBC＝45○ ,翻折梯形使点B重合于点 D，折痕分别交边 AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8，求BE的长．
28.已知：如图，在直角梯形COAB中，，以为原点建立平面直角坐标系，三点的坐标分别为，点为线段的中点，动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABC的路线移动，移动的时间为秒．
（1）求直线的解析式；
（2）若动点在线段上移动，当为何值时，四边形的面积是梯形面积的？
（3）动点从点出发，沿折线的路线移动过程中，设的面积为，请直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
29.如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
讲义十六 八年级下期末复习一
1.如果是二次根式，那么应满足的条件是（ ）
A.≠2的实数 B.＜2的实数 C.＞2的实数 D.＞0且≠2的实数
2.在、、中、、中，最简二次根式的个数有（ ）
Ａ.４ Ｂ.３ C.2 D.1
3.如图，已知点A是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，点B在x轴负半轴上，且OA=OB，则△AOB的面积为（ ）
A．2 B． C．2 D．4
4.如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A、B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y轴于D，下列结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD=. 其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如图：正比例函数y＝x与反比例函数的图像相交于点A、C，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为（ ）
A.1 B. C.2 D.
6.直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为（ ）
A. 20 B. . 24 D. 26
7.如图，在□ABCD的面积是12，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为 （ ）
A. 6 B. C. 3 D. 2
8.如图,已知AB=3，BC=4，将矩形ABCD沿对角线BD折叠点C落在点E的位置，则AE的长度为（ ）
A. B. C.3 D.
8.如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连结NQ，下列结论：①AM＝MN；②MP＝BD；③BN＋DQ＝NQ；④为定值。其中一定成立的是( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
9.如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90º，AE∥CD交BC于E，O是AC的中点，AB=，AD=2，BC=3，下列结论：①∠CAE=30º；②AC=2AB；③S△ADC=2S△ABE；④BO⊥CD，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
10.如图，将非等腰的纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若
点为边的中点，则下列结论：① 是等腰三角形；②；
③是的中位线，成立的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11.如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝，P点在AD边上以每秒的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从C点出发，在CB间往返运动，两点同时出发，待P点到达D点为止，在这段时间内，线段PQ有 次平行于AB （ ）
A．1 B. . 3 D. 4
12.如图，坐标系中，四边形OABC与CDEF都是正方形，OA=2，M、D分别是AB、BC的中点，当把正方形CDEF绕点C旋转某个角度或沿轴上下平移后，如果点F的对应点为F′，且O F′=OM．则点F′的坐标是_____________
13.将分母有理化，其结果是
14.计算：___________
15.已知，则
16.已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是，方差是S2，则数据3x1-2，3x2-2，…，3xn-2的平均数是 ，方差是
17.如果直角三角形的两边分别为、，那么第三边的长为
18.已知梯形的中位线长，它被一条对角线分成两段，这两段的差为，则梯形的两底长分别为
19.已知直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0），点C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是等腰三角形时，点P的坐标为_______
20.如图，直角梯形OABF中,∠OAB=∠B=90°,A点在x轴上,双曲线过点F,与AB交于E点，连EF，若， =4，则k=_______
21.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为____
22.符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）……
（2）……
利用以上规律计算：
23.已知x=，y=，求的值.
24.如图所示，四边形ABCD中，∠A=900，∠B=600，∠C=1200，CD=BD=，试求四边形ABCD的面积。
25.如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，E是BC的中点，求证：ED= (AB-AC).
26.已知，如图在正方形OADC中，点C的坐标为（0，4），点A的坐标为（4，O），CD的延长线交双曲线于点B。（1）求直线AB的解析式;
(2)G为x轴的负半轴上一点连结CG，过G作GE⊥CG交直线AB于E。求证CG＝GE.
27.如图,已知：E为菱形ABOP的对角线的交点，C为AP上一点,连结BC交AO于D,且AD=AC.
（1）求证：AE＝;（2）若AC＝3，AB＝5，求三角形ABD的面积。
28.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，
（1）如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点（如图1），求证：AB＝PE＋PF。
（2）如果P是BC上任意一点，（中点除外），过P作PE∥AB交AC于E，PF∥DC交BD于F，那么AB＝PE＋PF还成立吗？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由。
29.如果P为BC的延长线上任意点，（2）中的其它条件不变（如图3），请你直接写出AB、PE、PF三条线段的确定的数量关系。
30.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD>BC，BC=，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以/s的速度由A向D运动，Q以/s的速度由C向B运动，几秒后四边形ABQP为平行四边形？
31.如图所示，在ΔABCD中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。①试说明OE＝OF；②当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请简要说明理由。③当点O运动时，四边形AECF有可能是正方形吗？请简要说明理由。
32.如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=，点B的坐标为(0.5，m)，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，HO=2AH（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。
33.如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=于点D，过D作两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD．（1）求证：AD平分∠CDE；（2）对任意的实数b（b≠0），求证AD·BD为定值；
（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
34.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=，CD=，等腰直角三角形PMN的斜边MN=，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止。
（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由______形变化为________形；
（2）设当等腰直角△PMN移动x（s）时，等腰直角△PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm2）。
① 当x=6时，求y的值；② 当6＜x≤10时，求y与x的函数关系。
35.如图，在四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，下列结论成立的是 ( )
A．线段EF的长逐渐增大 B. 线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关
36.D为反比例函数：图象上一点.过D作DC⊥y轴于C, DE⊥x轴于E,一次函数与的图象都过C点,与x轴分别交于A、B两点。若梯形DCAE的面积为4，求k的值.
37.已知：如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BA、CA的延长线上的点，且AD=AE，连接ED并延长到F，使得EF=EC，连接AF、CF、BE．（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；（2）试指出图中与AF相等的线段，并说明理由。
讲义十七 八年级下册期末复习题二
1.如果有意义，则的取值范围为（ ）
A.<2 B.≤.>-2且≠-1 D.≤2且≠-1
2.若分式不论x取何值总有意义,则m的取值范围是（ ）
A.m≥1 B.m> C.m<1 D.m≤1
3.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于O，EF过点O与AD、BC分别相交于E、F，若AB=4，BC=5，OE=1.5,那么四边形EFCD的周长为（ ）
A、16 B、、12 D、10
4.如图，点A在双曲线y＝上，且OA＝4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（ ）
A． B．C． D．
5.如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC 边上的点E，使DE=5，这痕为PQ，则PQ的长为（ ）
A.12 B.14 D.1
6.用折纸的方法，可以直接剪出一个正五边形（如下图）.方法是：拿一张长方形纸对折，折痕为AB，以AB的中点O为顶点将平角五等份，并沿五等份的线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五边形，则∠OCD等于（ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
7.如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2,那么S1、S2的大小关系是 （ ）
A. B. C. D.的大小关系不确定
8.如图，矩形ABCD沿BD对折，得到△BDC'，连接AC'，若AB=2，BC=3，则AC'=
9.若梯形的两底长分别为4和9，两条对角线长分别为5和12，则该梯形的面积为
10.如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为10，则BE=
10.在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E，折痕DE的长为
11.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为
12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为
13.如图，点O(O,0),B(0,1)是正方形OBB的两个顶点，以对角线OB1为一边作正方形OB1B1，再以正方形OB1B1的对角线OB2为一边作正方形OB2B2，...,依次下去，则点B6的坐标
为
14.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的对角线和交于点；以为对角线作第二个正方形，对角线和交于点；以为对角线作第三个正方形，对角线和交于点；……，依次类推，这样作的第个正方形对角线交点的坐标为____________
15.求的值，其中。
16.若a、b为实数，且，化简：。
17.已知，如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=900，点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上，且满足CF=AD,MF=MA.若∠MFC=1200，求证：AM=2MB.
18.如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．
(1）探究：线段与的数量关系并加以证明；
(2）当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；
(3）当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？
19.某街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书。从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成。
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元，工程预算的施工费用为50万元，为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由。
20.如图，反比例函数y＝ （x＞0）上有两点A(4, 1) 、 B(a, b)
(0＜a＜4) ,过点A作AC⊥y轴于点C,
(1) 求此反比例函数的解析式；
（2）在坐标平面内有一点D,使四边形ABCD是菱形，求出B、D两点的坐标；
(3) 如果四边形ABCD是平行四边形，且面积为12，求出此平行四边形对角线可达的最大长度。
21.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点C.（1）= ，= ；
（2）根据函数图象可知，当＞时，x的取值范围是 ；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当：=3：1时，求点P的坐标．
22.如图，反比例函数的图象经过点A(,b)，过点A作x轴的垂线，垂足为B，S△AOB=. (1)求k，b的值；（2）若一次函数的图象经过点A,且与x轴交于M,求AM的长。
23.如图，直线与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求的值；（2）直接写出时的取值范围；
（3）如图，等腰梯形中，，，边在轴上，过点作于，和反比例函数的图象交于点．当梯形的面积为12时，请判断和的大小关系，并说明理由．
24.如图，ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE，从E作EH⊥AC交AC于H。
（1）判断四边形ACED是什么图形，并加以证明；（2）若AB＝8，AD＝6，求DE的长；（3）四边形ACED中，比较AE＋EC与AC＋EH的大小并说明理由。
25.如图，M为正方形ABCD内一点，MA＝2，MB＝4，∠AMB＝135°，计算MC的长。
26.如图①，平面直角坐标系中的□AOBC，∠AOB＝600，OA＝，OB＝，点P从A点出发沿AC方向，以/s速度向C点运动、点Q从B点出发沿BO方向，以/s的速度向原点O运动。其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。
（1）求出A点和C点的坐标；
（2）如图②，从运动开始，经过多少时间，四边形AOQP是平行四边形；
（3）在点P、Q运动的过程中，四边形AOQP有可能成为直角梯形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由。（图③供解题时用）
27.如图，矩形AOCB的两边OC、OA分别位于轴、轴上，点B的坐标为B，D是AB边上的一点．将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是 ．
28.如图矩形纸片ABCD，AB＝，BC＝，CD上有一点E，ED＝，AD上有一点P，PD＝，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_____
29.如图，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第一象限，且是两直线y1＝2x＋6、y2＝2x－6中某条上的一点，若△APD是等腰Rt△，则点D的坐标为
30.（1）操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在举行ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；
（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．
讲义十八 八年级下期末复习三
1.下列关于分式的定义中错误的是（ ）
A．分式乘分式,用分子的积作积的分子 分母的积作为积的分母
B. 最简公分母是取一个分母的所有因式的最高次幂的积作公分母
C. 通过约分后的分式其分子和分母没有公因式,则这个分式叫最简分式
D. 分式的分子和分母同时乘或除以一个整式,那么分式的值不变
2.关于x的方程=无解，则m的取值范围是（ ）
Ａ.-1 Ｂ.0 Ｃ.1 D.2
3.化简a＜0得（ ）
A. B.－ C.－ D.
4.等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为（ ）
A.cm B C D
5.在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（ ）
A.13 B C.17 D.25
6.四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，第1个正方形(设边长为2)的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边……依此不断连接下去．通过观察与研究，写出第2008个正方形的边长a2008为（ ）
A.a2008＝4 B. a2008＝ C. a2008＝4 D. a2008＝2
8.化简－÷= ．
9.已知a、b、c为正数，d为负数，化简= ____
10.比较大小：－_________－．
11.平行四边形的周长为,则它的每条对角线的长度不能超过_______cm.
12.设是的标准差，是的标准差。则与的关系为
13.已知的方差是20，则的方差是
14.若关于x 分式方程=2的解为正整数，则m的取值范围是
15.已知，则＝
16.已知△ABC中，∠C=90°D是AB边的中点,CD=1,△ABC的周长为2+，则△ABC的面积为
17.如图，直线y=6-x与双曲线y= (x>0)的图像相交于A、B。设 A点的坐标为（x1,y1）那么长为x1，宽为y1的矩形面积和周长为 。
18.如图：已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB中点，EF⊥CD于F，CD＝5，EF＝6，则梯形ABCD的面积是
19.如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为 ，线段O1O2的长为 ．
20.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上的一动点，PEAB于E,PFAC于F,M为EF中点，那么AM的最小值为
21.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段______条.
22.Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角△ACD ，则线段BD的长为
23.如图,将直角△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°至△A1B的位置,已知AB=10,BC=6,M是A1B1的中点,那么AM____________.
24.如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转450，则这两个正方形重叠部分的面积是
25.一组按规律排列的式子：,其中第8个式子是
26.如图，边长为1的菱形中，．连结对角线，以为边作第二个菱形，使；连结，再以为边作第三个菱形，使；……，按此规律所作的第个菱形的边长为
27.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC,∠ADC+∠BCD=900,且DC=2AB,分别以DA,AB,BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3 之间的关系是
28.已知x＝，y＝，求的值．
29.已知，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（5，3），点C为x轴上一动点，当AC+BC的 值最小时，画出点C，并求出最小值。
30.如图，点D双曲线上，AD垂直x轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于x轴交曲线于点B，直线AB与y轴交于点F，已知AC：AD=1：3，点C的坐标为（2，2）．
（1）求该双曲线的解析式；（2）求△OFA的面积．
31.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，BC在x轴上，一次函数y=kx-2的图象经过A、C两点，并与y轴交于点E，反比例函数y=mx 的图象经过点A．
（1）写出点E的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
32.如图，直线y=kx+k（k≠0）与双曲线y=m-5x 在第一象限内相交于点M，与x轴交于点A．（1）求m的取值范围和点A的坐标；（2）若点B的坐标为（3，0），AM=5，S△ABM=8，求双曲线的函数表达式．
33.如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF．
（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？
34.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3厘米，BC＝4厘米．现将A，C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF．试确定重叠部分△AEF的面积．
35.在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点 求证：AM=AD。
36.正方形ABCD中,点E为AD的中点，BD和CE相交于点F， 求证：AF⊥BE。
37.已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.
求证:AE平分∠BAD.
38.在梯形中，，，，，，求的长．
39.在梯形ABCD中，AB∥CD，，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。
40.如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.（1）求证：EF=EG;（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。
41.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=900，AD=，AB=，动点P从点B出发，在线段BC上以/s的速度向点C运动；点Q从点A出发，在线段AD上以/s的速度向点D运动；点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动时间为t。
（1）当t=5s时，求线段PQ,PD的长度；
（2）当t为何值时，以D，P,Q三点顶点的三角形是等腰三角形？
讲义十九 八年级数学下期末复习四
1.甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙.那么甲的速度是乙的速度的（ ）
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
2.已知：一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，－2，的平均数和方差分别是（ ）
A．2， B．2，．4， D．4，3
3.如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折。使C点落在E处，BE与AD相交于点D．若∠DBC=15°，则∠BOD=
A．130 ° B.140 ° C.150 ° D.160°
4.如图，M是平行四边形ABCD的边AD上任意一点，若△CMB的面积为S,△CDM的面积为S1，△ABM的面积为S2.则下列S,S1，S2的大小关系中正确的是（ ）
A.S>S1+S2 B.S=-S1+S.S 5.如图，已知EF是梯形ABCD的中位线，若AB=8，BC=6，CD=2，B的平分线交EF于G，则FG的长是（ ） A，1 B、1． C、2 D、2．5 6.如图,把菱形ABCD沿对角线AC的方向移到菱形A′B′C′D′的位置,它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD的面积的,若AC=, 则菱形移动的距离AA′是（ ） A． B． C．1 D．-1 7.如图所示,把矩形纸片ABCD对折,设折痕为MN,再把B点叠在折痕线上, 得到Rt△AB′E,沿着EB′线折叠所得到的△EAF是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 8.如图，在直角梯形中，，点是边的中点，若，则梯形的面积为（ ） A． B． C． D．25 9.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( ) A．1 B． C．3 D．4 10.在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点为，你能画出平行四边形的个数为（ ）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.如果，则A＝______，B＝______。 12.边长为8，15，17的△ABC内有一点P到三边距离相等，则这个距离为 13.设、满足≠0，且，则的值是______ 14.已知，如图所示，的周长为，斜边的长为，则的面积为_____． 15.如图所示，将两条等宽的纸条重叠在一起，则四边形是 ，若，，则 。 16.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，EF为中位线，若AB=2b，EF=a，则阴影部分的面积 17.如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AD=4，AB=，则下底BC的长为_______． 18.如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去,….已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…,Sn(n为正整数），那么第8个正方形的面积S8=________. 19.化简，求值：其中 ， 20.已知实数、满足，求的值。 21.如图，平行四边形ABCD的周长是10+6，AB的长是5,AE⊥DC于E,AF⊥CB，交BC的延长线于点F，且AE的长为3，求:∠B的度数和AF的长． 22.如图，已知Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合。求证：BM=DM且BM⊥DM。 23.如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC, BD平分过点D作，过点C作，垂足分别为E、F，连接EF，求证：为等边三角形. 24.已知：CD为的斜边上的高，且，，,，（如图）求证： 25.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在轴的正半轴上，点A在反比例函数（＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）.（1）求的值；（2）若将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数（＞0）的图象上，求菱形平移的距离. 26.已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图像经过点，，这两函数在第一象限的交点为。（1）求点坐标； （2）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由. （3）P是第三象限上一动点,直线:与y轴交于M点，过P作PN//轴交直线于N.是否存在一点P，使得四边形OPNM为等腰梯形，若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由. 27.如图,正方形AOBC的边长为4,反比例函数经过正方形AOBC的重心D点,E为AB边上任一点，F为OB延长线上一点，AE=BF，EF交AB于点G. （1）求反比例函数的解析式；（2）判断CG与EF之间的数量和位置关系； 28.在矩形ABCD中，AB=16㎝，AD=6㎝，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3㎝的速度向B点移动，一直达到B点为止，点Q以每秒2㎝的速度向D点移动.当其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动.（1）P、Q两点出发1.6秒时，求线段PQ的长度； （2）P、Q两点出发几秒时，四边形PBCQ的面积为36㎝2？ 29.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，动点P以/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0 （1）求面积S与时间t的关系式； （2）在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由。