第四章 一次函数
4.1函数
专题 函数图象
1. （2012莱芜）下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序（ ）
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系） ②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系） ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系） ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）
A．①②③④ B．③④②① C．①④②③ D．③②④①
2. 小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图），若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1，v2，v3，v1＜v2＜v3，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s与所用时间t的函数关系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3. 早晨小欣与妈妈同时从家里出发，步行与自行车向相反方向的两地上学与上班，如图是他们离家的路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象，妈妈骑车走了10分钟时接到小欣的电话，立即以原速度返回并前往学校，若已知小欣步行的速度为/分钟，并且妈妈与小欣同时到达学校．完成下列问题：
（1）在坐标轴两处的括号内填入适当的数据；
（2）求小欣早晨上学需要的时间．
答案：w ww.
1.D 【解析】 ③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢； ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低；①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系．故顺序为③②④①．故选D．
2.C 【解析】 A.从图象上看小亮走平路的路程不变是不正确的； B.从图象上看小亮走的路程有一段随时间变少了，不正确； C.小亮走的路程应随时间的增大而增大，两次平路的两条直线互相平行，此图象符合，故正确； D.因为平路和上坡路及下坡路的速度不一样，所以不应是一条直线． 故选C．
3.解：（1）x轴处填20，y轴处填1250； （2）由图象可知，点A的坐标为（10，-2500），说明妈妈骑车速度为/分钟，
并且返回到家的时间为20分钟， 设小欣早晨上学需要的时间为x分钟，则妈妈到家后在B处追到小欣的时间为（x-20）分钟，根据题意得：50x=250（x-20）， 解得x=25， 答：小欣早晨上学需要的时间为25分钟．
4.2一次函数与正比例函数
专题 一次函数探究题
1.用m根火柴可以拼成如图1所示的x个正方形，还可以拼成如图2所示的2y个正方形，那么用含x的代数式表示y，得______________.
2. 将长为、宽为的长方形白纸按如图所示的方法黏合在一起，黏合部分的白纸宽为．
（1）求5张白纸黏合的长度；
（2）设x张白纸黏合后的总长为ycm，写出y与x的函数关系式（标明自变量x的取值范围）；
（3）用这些白纸黏合的总长能否为？并说明理由．
3. 如图所示，结合表格中的数据回答问题：
（1）设图形的周长为l，梯形的个数为n，试写出l与n的函数关系式； （2）求n=11时图形的周长．
答案：
1．y=x- 【解析】 由图1可知：一个正方形有4条边，两个正方形有4+3条边， ∴m=4+3（x-1）=1+3x;由图2可知：一组图形有7条边，两组图形有7+5条边， ∴m=7+5(y-1)=2+5y，所以1+3x=2+5y,即y=x-．
2．解：（1）5张白纸黏合，需黏合4次，重叠2×4=．所以总长为38×5-8=182（cm）. （2）x张白纸黏合，需黏合（x-1）次，重叠2（x-1）cm，所以总长y=38x-2（x-1）=36x+2（x≥1，且x为整数）. （3）能.当y=362时，得到36x+2=362，解得x=10,即10张白纸黏合的总长为．
3．解：（1）由图可以看出图形的周长=上下底的和+两腰长，∴l=3n+2. （2）n=11时，图形周长为3×11+2=35．
4.3一次函数的图象
专题一 根据k、b确定一次函数图象
1. 如图，在同一直角坐标系内，直线l1：y=（k-2）x+k，和l2：y=kx的位置可能是（ ）
A B C D
2. 下列函数图象不可能是一次函数y=ax-（a-2）图象的是（ ）
A B C D
已知a、b、c为非零实数，且满足，则一次函数y=kx+（1+k）的图象一定经过第二___________象限．
专题二 一次函数图象的综合应用
4.春节期间，某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开展海产品的运输业务，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示．已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/小时，100千米/小时，以下说法正确的是（ ）
A．当运输货物重量为60吨，选择汽车
B．当运输货物重量大于50吨，选择汽车
C．当运输货物重量小于50吨，选择火车
D．当运输货物重量大于50吨，选择火车
5. (2012四川绵阳) 某种子商店销售”黄金一号”玉米种子,为惠民促销,推出两种销售方案供采购者选择.
方案一:每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；
方案二:购买以内(含)的价格为每千克5元,若一次性购买超过的,则超过的部分的种子价格打7折.
(1)请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量(千克)和付款金额(元)之间的函数关系式;
(2)若你去购买一定量的种子,你会怎样选择方案？说明理由.
6.（2012新疆）库尔勒某乡A 、B两村盛产香梨,A村有香梨200吨, B村有香梨300吨,现将这批香梨运到C 、D两个冷藏仓库,已知C仓库可储存240吨, D仓库可储存260吨;从A村运往C 、D两处的费用分别为每吨40元和45元,从B村运往C 、D两处的费用分别为每吨25元和32元.
设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A 、B两村运往两仓库的香梨运输费用分别为yA和yB元.
(1)请填写下表,并求出yA、yB与x之间的函数关系式; w ww.
(2)当x为何值时,A村的运费较少?
(3)请问怎样调运,才能使两村运费之和最小?求出最小值.
答案：
1．B 【解析】 由题意知，分三种情况： （1）当k＞2时，y=（k-2）x+k的图象经过第一、二、三象限，y=kx的图象y随x的
增大而增大，并且l2比l1倾斜程度大，故C选项错误；
（2）当0＜k＜2时，y=（k-2）x+k的图象经过第一、二、四象限，y=kx的图象y随x的增大而增大，B选项正确；
（3）当k＜0时，y=（k-2）x+k的图象经过第二、三、四象限，y=kx的图象y随x的增大而减小，但l1比l2倾斜程度大，故A、D选项错误．故选B．
2．B 【解析】 根据图象知： A.a＞0，-（a-2）＞0．解得0＜a＜2，所以有可能； B.a＜0，-（a-2）＜0．两不等式的解没有公共部分，所以不可能； C.a＜0，-（a-2）＞0．解得a＜0，所以有可能； D.a＞0，-（a-2）＜0．解得a＞2，所以有可能． 故选B．
3．二 【 解析】 由，化简得.
分两种情况讨论： 当a+b+c≠0时，得k=2，此时直线是y=2x+3，过第一、二、三象限； 当a+b+c=0时，即a+b=-c，则k=-1，此时直线是y=-x，过第二、四象限． 综上所述，该直线必经过第二象限．
4.D 【解析】 设运输x吨货物，根据题意， 汽车运费：y=2x×120+5x×+200=250x+200， 火车运费：y=1.8x×120+5x×+1600=222x+1600， ①250x+200=222x+1600，解得x=50，∴运输货物为50吨时，选择汽车与火车一样； ②250x+200＜222x+1600，解得x＜50，∴运输货物小于50吨时，选择汽车运输； ③250x+200＞222x+1600，解得x＞50，∴运输货物大于50吨时，选择火车运输． 综上所述，D选项符合．故选D．
5．解：(1)方案一：y=4x；
方案二：当0≤x≤3时，y=5x ；当x>3时，y=3×5+(x-3)×5×70%=3.5x+4.5.
(2)设购买x千克的种子时，两种方案所付金额一样，则4x=3.5x+4.5，解这个方程得x=9，
∴当购买种子时，两种方案所付金额相同；当购买种子0＜x＜3时，方案一所付金额少，选择方案一；
当购买种子3≤x＜9时，方案一所付金额少，选择方案一；
当购买种子质量超过时，方案二所付金额少，应选择方案二.
6．解：(1)填写表格如下：
由题意得yA=40x+45(200-x)=-5x+9000 (0≤x≤200),
yB=25(240-x)+32(60+x)=7x+7920 (0≤x≤200),
(2)若yA
∴当90 (3)设两村运费之和为y，则y=yA+yB， ∴y=-5x+9000+7x+7920，即y=2x+16920. 又∵0≤x≤200时,y随x的增大而增大. ∴当x=0时,y有最小值,y最小值=16920(元). 因此,由A村调往C仓库的香梨为0吨,调往D仓库为200吨,B村调往C仓库为240吨,调往D仓库60吨时,两村的运费之和最小,最小费用为16920元. 4.4确定一次函数的表达式 专题 利用数形求一次函数的表达式 1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=，斜边AB在x轴上，点C在y轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0）．则直角边BC所在直线的表达式为____________. 2. 如图，已知一条直线经过A（0，4）、点B（2，0），将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC．求直线CD的函数表达式． 3. 平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P在直线y=-x+m上，且AP=OP=4．求m的值． 答案： 1.y=x+4 【解析】 点A的坐标为（2，0），则OA=2，又AC=，OCAO，所以OC=4，即C（0,4）.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=，OC⊥AB与O，则AB=10，则OB=8，
因而B的坐标是（-8，0），直线BC的表达式是y=x+4． 2．解：设直线AB的表达式为y=kx+b，把A（0，4）、点B（2，0）代入得k=-2，b=4，故直线AB的表达式为y=-2x+4.
将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC时，因为平移后的图形与原图形平行，故平移以后的函数表达式为：y=-2x-4． 3．解：由已知AP=OP，点P在线段OA的垂直平分线PM上,M为垂足． ∵A(4,0),∴OA=AP=OP=4， ∴△AOP是等边三角形． 如图，当点P在第一象限时，OM=2，OP=4． 在Rt△OPM中，PM=， ∴P（2，）． ∵点P在y=-x+m上， ∴m=2+．w ww. 当点P在第四象限时，根据对称性，得P′（2，﹣）． ∵点P′在y=-x+m上， ∴m=2﹣． 则m的值为2+或2-． 4.5一次函数图象的应用 专题 一次函数图象的应用 1. （2012湖北武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起 点、同终点、同方向匀速跑步， 先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒. 在跑步过程中，甲、乙两人的距离（米） 与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示， 给出 以下结论： ①a=8;②b=92;③c=123,其中正确的是（ ） A．①②③ B. 仅有①② C.仅有①③ D. 仅有②③ 2. 如图，点A的坐标为（4，0），点P在第一象限且在直线x+y=6上． （1）设点P坐标为（x，y），写出△OPA的面积S与x之间的关系式（其中P点横坐标在O与A点之间变化）； （2）当S=10时，求点P坐标； （3）若△OPA是以OA为底边的等腰三角形，你能 求出P 的坐标吗？若能，请求出坐标；若不能， 请说明理由． 3. 如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中放有一圆柱形铁块（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示.根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）图2中折线ABC表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是 ； （2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ （3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积； （4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米（壁厚不计），求甲槽底面积（直接写结果）. 答案： 1.A 【解析】 ∵乙出发时甲行了2秒，相距，∴甲的速度为8÷2＝/s.∵100秒后乙开始休息,∴乙的速度是500÷100＝/ s,∵a秒后甲乙相遇，∴a＝8÷(5－4)＝8, 即①正确;100秒后乙到达终点，甲走了，4×(100＋2)＝∴b＝500－408＝ 即②正确 甲走到终点一共需耗时500÷4＝125(秒), ∴c＝125－2＝123, 即③正确.故选A. 2.解：（1）． （2）P点坐标为（1，5）． （3）P点坐标为（2，4）． 3.解：（1）乙 甲 铁块的高度 （2）设线段AB、DE的解析式分别为：y1=k1x+b，y2=k2x+b， ∵AB经过点（0，2，）和（4，14），DC经过（0，12）和（6，0）,分别代入得b=12，k=-2，∴解析式为y=3x+2和y=﹣2x+12， 令3x+2=﹣2x+12，解得x=2， ∴当注水2分钟时两个水槽中的水的深度相同． （3）由图象知：当水面没有没过铁块时4分钟水面上升了，即1分钟上升， 当水面没过铁块时，2分钟上升了，即1分钟上升， 设铁块的底面积为xcm，则3×（36﹣x）=2.5×36，解得x=6， ∴铁块的体积为：6×14=84(cm3) ． （4）2．