第五章 二元一次方程组
5.1认识二元一次方程组
专题 二元一次方程组解的规律探究
1. 下表反映了按一定规律排列的方程组和它们的解的对应关系：
（1）写出方程组1的求解过程； （2）请依据方程组和它们的解的变化规律，直接写出方程组n和它的解．（n为正整数）
2. 下列是按一定的规律排列的方程组和它的解的解集的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左向右依次记作方程组1，方程组2，方程组3，…，方程组n.
（1）将方程组1的解填入图中；
（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入集合图中（注意：1-n2=(1+n)(1-n)；
（3）若方程组的解是求m的值，并判断该方程组是否符合题中的规律．
答案：w ww.
1．解：（1）， 由②得x=2y+4．③ 把③代入①，得2(2y+4)+y=3． 解得y=-1． 把y=-1代入③,得x=2． 所以方程组1的解为 （2）方程组n为 它的解为
2．解：（1）依次填：1,0.
（2）依次填：x+y=1,x-ny=n,n,1-n.
（3）∵方程组的解是 ∴10+=16， 解得m=， ∵按照题中规律可知：m是16的算术平方根，即m=4， ∴矛盾． ∴该方程组不符合题中的规律．
5.2解二元一次方程组
专题 解二元一次方程组的探究性问题
1. 若关于x，y的二元一次方程组 的解均为正整数，m也是正整数，则满足条件的所有m值的和为__________.
2. 上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组并请小方和小龙两位同学到黑板上板演.可是小方同学看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为 小龙同学看错了方程(2)中的b，得到方程组的解为你能按正确的a、 b值求出方程组的解吗？请试一试.
3．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解.”提出各自的想法.甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”.参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是多少？
答案：
1.6 【解析】 两式相加，得（m+1）x=12，x=， 当m=1时，x=6，y=6-2=4；当m=2时，x=4，y=4-2=2； 当m=3时，x=3，y=3-2=1；当m=4时，x=，y=-2=； 当m=5时，x=2，y=2-2=0；当m=6时，x=，y=-2=-； 当m=7时，x=，y=-2=；当m=8时，x=，y=-2=； 当m=9时，x=，y=-2=；当m=10时，x=，y=-2=； 当m=11时，x=1，y=1-2=-1；当m=12时，x=，y=-2=． 可见，满足条件的m值为1，2，3.其和为1+2+3=6．
2．解：由题意得方程组解得
代入原方程组，得 解得
3．解：根据方程组解的定义,将代入方程组,得
再根据丙同学的提示，将第二个方程组的两个方程的两边都除以5得 将,,代入上面方程组得
则当时，不论a1,a2,b1,b2取何值方程组均成立，故知.
5.3鸡兔同笼
专题 图表信息题
1. 如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数）
使得每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数之和均相等．
（1）求x，y的值； （2）画图完成此方阵图．
2. 有三把梯子，分别是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步阶梯上升的高度是一致的．每把梯子的扶杆长（即梯长）、顶档宽、底档宽如图所示，并把横档与扶杆榫合处称作连接点（如点A）．
（1）通过计算，补充填写下表：
（2）一把梯子的成本由材料费和加工费组成，假定加工费以每个连接点1元计算，而材料费中扶杆的单价与横档的单价不相等（材料损耗及其它因素忽略不计）．现已知一把五步梯、七步梯的成本分别是26元、36元，试求出一把九步梯的成本．
答案：
1．解：（1）由题意，得解得
（2）如图.
2．解：（1）七步梯、九步梯的扶杆长分别是、； 横档总长分别是：×（0.4+0.6）×7=3.5(米)、（0.5+0.7）×9=5.4(米)； 连接点个数分别是14个、18个.故依次填入:5,3.5,14,6,5.4,18. （2）设扶杆单价为x元/米，横档单价为y元/米， 依题意得解得 故九步梯的成本为6×3+5.4×2+1×18=46.8（元）， 答：一把九步梯的成本为46.8元．
5.4增收节支
专题 方案设计问题
某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动．下面是年级组长老师和小芳、小
明同学有关租车问题的对话：
老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”
小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元．”
小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满．”
根据以上对话，解答下列问题：
（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？
2. （2012福建龙岩）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
⑴1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
⑵请你帮该物流公司设计租车方案；
⑶若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
答案：
1．解：（1）设平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为x元，y元．
由题意列方程组，解得.
答：平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为900元，700元.
（2）九年级师生共需租金：5×900+1×700=5200（元）.
答：共需租金5200元．
2．解：⑴设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨，根据题意得
，解得，w ww.
故1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨．
⑵根据题意可得+4b=31，b=，
使a，b都为整数的情况共有a=1，b=7或a=5，b=4或a=9，b=1三种情况，
故租车方案分别为: A型车1辆，B型车7辆； A型车5 辆，B型车4辆；
A型车9辆，B型车1辆．
⑶设租车费为w元，则w=+120b，
方案租车费为100×1+120×7=940(元)；
方案租车费为100×5+120×4=980(元)；
方案租车费为100×9+120×1=1020(元)．
故方案（1）最省钱，即租用A型车1辆，B型车7辆．最少租车费为940元.
5.5里程碑上的数
专题 行程问题
1. 一辆汽车在公路上匀速行驶，司机在路边看到一个里程碑上是一个两位数，行驶一小时后，他看到的里程碑上的数，恰好是第一个里程碑上的数颠倒顺序后的两位数，再过一小时，他看到的里程碑上的数，又恰好是第一次看到的两位数中间添上一个零的三位数，那么他第一次看到的两位数是（ ）
A．14 B．C．16 D．17
2. 某人在电车路轨旁与路轨平行的路上行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔2分钟有一部电车从对面驶向后面．假设电车和此人行走的速度都不变（分别为表示），请你根据下面的示意图，求电车每隔几分钟（用表示）从车站开出一部？
3. 甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．
答案：
1．C 【解析】 设第一次他看到的两位数的个位数为x，十位数为y，汽车行驶速度为v，根据题意得
解得x=6y.
∵xy为1-9内的自然数，∴x=6，y=1； 即两位数为16． 答：他第一次看到的两位数是16．
2．解：根据题意得
，解得．
（分钟）．
答：电车每隔3分钟从车站开出一部．
3．解：设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，则有两种情况：
（1）当甲和乙相遇前相距时， 依题意得 解得
（2）当甲和乙相遇后相距时， 依题意得 解得 答：甲乙两人的速度分别为、或km/h，km/h．
5.6二元一次方程组与一次函数
专题 二元一次方程组与一次函数关系的应用
1. (2012江苏镇江)甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地．如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s(千米)与时间t（小时）的关系，a表示A、B两地间的距离．请结合图象中的信息解决如下问题：
(1)分别计算甲、乙两车的速度及a的值；
(2)乙车到达B地后以原速立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙在返回过程中离A地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．
2. 小华观察钟面（图1），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时旋转30度.他为了进一步研究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2:00开始对钟面进行了一个小时的观察.为了研究方便，他将分针与原始位置OP（图2）的夹角记为y1度，时针与原始位置OP的夹角记为y2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为t分钟，观察结束后，他利用所得的数据绘制成图象（图3），并求出了y1与t的函数关系式：.
请你完成：
（1）求出图3中y2与t的函数关系式；
（2）直接写出A、B两点的坐标，并解释这两点的实际意义；
（3）若小华继续观察一小时，请你在图3 中补全图象.
答案：
1．解：（1）由题意知，甲的速度为km/h，乙的速度为km/h.
设甲到达B地的时间为t，则解得t=4.5，a=180. w ww.
（2）如图，线段PE、NE分别表示甲、乙两车返回时离A地的距离s（千米）与时间
（小时）的关系，点E的横坐标为：，若甲、乙两车同时返回A地， 则甲返回时需用的时间为：（小时），∴甲返回的速度为.
图象如图所示．
2．解：（1）由图3可知：y2的图象经过点（0,60）和（60,90），设y2=at+b，则
， 解得.
∴图3中y2与t的函数关系式为：y2=t+60.
（2）A点的坐标是A（,），点A是和y2=t+60的交点；B点的坐标是B（,），点B是和y2=t+60的交点.
（3）补全图象如下：
5.7三元一次方程
专题 三元一次方程的应用
1．小明、小敏、小新商量要在毕业前夕给老师办公室的4道窗户剪贴窗花表达大伙的尊师之情．小明说：“我来出一道数学题：把剪4个窗花的任务分配给3个人，每人至少剪个，有多少种分配方法”小敏想了想说：“设各人的任务为x、y、z，可以列出方程x+y+z=4．”小新接着说：“那么问题就成了问这个方程有几个正整数解．”现在请你说说看：这个方程正整数解的个数是（ ）w ww.
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
2．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了 朵．
3．把数字1，2，3，…，9分别填入下图的9个圈内，要求三角形ABC和三角形DEF的每条边上三个圈内的数字之和都等于18．
（1）给出一种符合要求的填法；
（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．
答案：
1．D 【解析】（1）当x=1时，y=1，z=2或y=2，z=1；
（2）当y=1时，x=1，z=2或x=2，y=1；
（3）当z=1时，x=1，y=2或y=1，x=2．
故选D．
2．4380 【解析】设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．
由题意，有 ，
由①，得3x+2y+2z=580，③
由②，得x+z=150，④
把④代入③，得x+2y=280，
∴2y=280﹣x，⑤
由④得z=150﹣x．⑥
∴4x+2y+3z=4x+（280﹣x）+3（150﹣x）=730，
∴24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．
故黄花一共用了4380朵．
3.解：（1）如图给出了一个符合要求的填法. （2）共有6种不同填法. 证明:把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为x；D，E，F三处圈内的三个数之和记为y；其余三个圈所填的数位之和为z．显然有x+y+z=1+2+…+9=45，① 图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有z+3y+2x=6×18=108，② ②-①，得x+2y=108-45=63，③ 把AB，BC，CA边上三个圈中的数相加，则可得2x+y=3×18=54，④ 联立③，④，解得x=15，y=24， 继而解得之z=6． 在1，2，3，…，9中三个数之和为24的仅为7，8，9，所以在D，E，F三处圈内，只能填7，8，9三个数，共有6种不同填法． 显然，当这三个圈中的数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内的数也随之确定，从而得结论，共有6种不同的填法．