重庆市马灌中学2014-2015八年级上期末综合练习1
姓名_____________总分__________________
一．选择题（共12小题）
1．（2014•吴中区一模）计算：a2•（﹣a）4=（ ）
A．a5 B． a6 C． a8 D． a9
2．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．3 B． ±3 C． 6 D． ±6
3．若（x﹣1）2=（x+7）（x﹣7），则的平方根是（ ）
A．5 B． ±5 C． D． ±
4．下列各式可以分解因式的是（ ）
A．x2﹣（﹣y2） B． 4x2+2xy+y2 C． ﹣x2+4y2 D． x2﹣2xy﹣y2
5．已知正数a，b满足a3b+ab3﹣2a2b+2ab2=7ab﹣8，则a2﹣b2=（ ）
A．1 B． 3 C． 5 D． 不能确定
6．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．2 B． 1 C． ﹣2 D． ﹣1
7．（2014•南通通州区一模）若正多边形的一个内角等于144°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B． 10 C． 11 D． 12
8．（2012•玉林）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有（ ）
A．4对 B． 6对 C． 8对 D． 10对
9．（2011•江苏模拟）如图，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使P到OA，OB的距离都等于a，作法如下：
（1）作OB的垂线段NH，使NH=a，H为垂足．
（2）过N作NM∥OB．
（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P．
（4）点P即为所求．
其中（3）的依据是（ ）
10．（2010•广安）等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是（ ）
A．17 B． 17或22 C． 20 D． 22
11．（2010•荆门）如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）Kb 1.Com
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
12．（2007•玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．50 B． 62 C． 65 D． 68
二．填空题（共6小题）
13．（2014•漳州模拟）已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为 _________ ．
14．（2006•杭州）计算：（a3）2+a5的结果是 _________ ．
15．若2x3+x2﹣12x+k有一个因式为2x+1，则k为 _________ ．
16．（2014•思明区质检）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 _________ ．
17．（2012•潍坊）如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 _________ ，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）
18．（2014•德阳）如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是 _________ ．
三．解答题（共8小题）
19．运用乘法公式计算：
（1）1997×2003； （2）（﹣3a+2b）（3a+2b）； （3）（2b﹣3a）（﹣3a﹣2b）．
20．分解因式：
（1）； （2）a3﹣3a2﹣10a．
21．如下图所示，△ABO的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（2，4）．
（1）求△OAB的面积；
（2）若O，A两点的位置不变，P点在什么位置时，△OAP的面积是△OAB面积的2倍；
（3）若B（2，4），O（0，0）不变，M点在x轴上，M点在什么位置时，△OBM的面积是△OAB面积的2倍．
22．（2008•西城区一模）已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，D为AB边上的一点，∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC．
求证：∠B=∠EAC．
23．已知AB∥CD，BC平分∠ACD．求证：AC=AB．
24．已知：a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，求多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．
25．（2012•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）
26．（2014•海淀区一模）在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0°＜α＜180°，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°，α=60°时，∠CBD 的大小为 _________ ；
（2）如图2，当∠BAC=100°，α=20°时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（60°＜m＜120°），若∠CBD的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．解：原式=a2•a4=a2+4=a6，故选：B．
2．解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式，∴m=±3，故选：B．
3. 解：∵（x﹣1）2=（x+7）（x﹣7），
∴x2﹣2x+1=x2﹣49，
解得x=25，
∴==5，
∴的平方根是±．
故选D．
4．解：A、原式=x2+y2，不符合平方差公式的特点；
B、第一个数是2x，第二个数是y，积的项应是4xy，不符合完全平方公式的特点；
C、正确；D、两个平方项应同号．故选C．
5. 解：∵a3b+ab3﹣2a2b+2ab2=7ab﹣8，
⇒ab（a2+b2）﹣2ab（a﹣b）=7ab﹣8，
⇒ab（a2﹣2ab+b2）﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8=0，
⇒ab（a﹣b）2﹣2ab（a﹣b）+2a2b2﹣7ab+8=0，
⇒ab[（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1]+2（a2b2﹣4ab+4）=0，
⇒ab（a﹣b﹣1）2+2（ab﹣2）2=0，
∵a、b均为正数，
∴ab＞0，
∴a﹣b﹣1=0，ab﹣2=0，
即a﹣b=1，ab=2，
解方程，
解得a=2、b=1，a=﹣1、b=﹣2（不合题意，舍去），
∴a2﹣b2=4﹣1=3．
故选B．
6．解：∵（x﹣2）（x+b）=x2+bx﹣2x﹣2b=x2+（b﹣2）x﹣2b=x2﹣ax﹣1，
∴b﹣2=﹣a，﹣2b=﹣1，∴b=0.5，a=1.5，∴a+b=2．故选A．
7． 解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：
（n﹣2）×180°÷n=144°，解得：n=10．故选：B．
8. 解：图中全等三角形有：△ABO≌△ADO、△ABO≌△CDO，△ABO≌△CBO；
△AOD≌△COD，△AOD≌△COB；
△DOC≌△BOC；
△ABD≌△CBD，
△ABC≌△ADC，
共8对．
故选C．
9． 解：根据角平分线的性质，（3）的依据是到角的两边的距离相等的点在角平分线上，
故选B．
10． 解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9
∵4+4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去
4+9＞9，故4，9，9能构成三角形
∴它的周长是4+9+9=22故选D．
11．解：如上图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
故选C．
12．
解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，
∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，
∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG
∴AF=BG，AG=EF．
同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．
故选A．
二．填空题（共6小题）
13．（2014•漳州模拟）已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为 4 ．
解：∵a+b=2，
∴a2﹣b2+4b，=（a+b）（a﹣b）+4b，=2（a﹣b）+4b，=2a+2b，=2（a+b），=2×2，=4．
14．（2006•杭州）计算：（a3）2+a5的结果是 a6+a5 ．
解：（a3）2+a5=a3×2+a5=a6+a5．
15．若2x3+x2﹣12x+k有一个因式为2x+1，则k为 ﹣6 ．
解：2x3+x2﹣12x+k=（2x+1）（x2﹣6），∴k=﹣6，
16．（2014•思明区质检）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为 5 ．
解：多边形的边数是：360÷72=5．
17．（2012•潍坊）如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ∠BDE=∠BAC ，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）
解：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，
即∠ABC=∠DBE，
∵AB=DB，
∴①用“角边角”，需添加∠BDE=∠BAC，
②用“边角边”，需添加BE=BC，
③用“角角边”，需添加∠ACB=∠DEB．
故答案为：∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB．（写出一个即可）
18．（2014•德阳）如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是 400 ．
解：如图①
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵A′B′∥AB，BB′=B′C=BC，
∴B′O=AB，CO=AC，
∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．
又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，
第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，
第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…
依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．
故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100=400．
三．解答题（共8小题）
19．运用乘法公式计算：
（1）1997×2003；（2）（﹣3a+2b）（3a+2b）；（3）（2b﹣3a）（﹣3a﹣2b）．
解：（1）原式=（2000﹣3）×（2000+3）
=20002﹣32
=4000000﹣9=3999991；
（2）原式=（2b）2﹣（3a）2
=4b2﹣9a2；
（3）原式=（﹣3a）2﹣（2b）2
=9a2﹣4b2．
20．分解因式：
（1）； （2）a3﹣3a2﹣10a．
解：（1）x2y﹣8y，
=y（x2﹣16），
=y（x+4）（x﹣4）；
（2）a3﹣3a2﹣10a，
=a（a2﹣3a﹣10），
=a（a+2）（a﹣5）．
21．如下图所示，△ABO的三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（2，4）．
（1）求△OAB的面积；
（2）若O，A两点的位置不变，P点在什么位置时，△OAP的面积是△OAB面积的2倍；
（3）若B（2，4），O（0，0）不变，M点在x轴上，M点在什么位置时，△OBM的面积是△OAB面积的2倍．
解：（1）∵O（0，0），A（5，0），B（2，4），∴S△OAB=×5×4=10；
（2）若△OAP的面积是△OAB面积的2倍，O，A两点的位置不变，则△OAP的高应是△OAB高的2倍，即
△OAP的面积=△OAB面积×2=×5×（4×2），∴P点的纵坐标为8或﹣8，横坐标为任意实数；
（3）若△OBM的面积是△OAB面积的2倍，且B（2，4），O（0，0）不变，则△OBM的底长是△OAB底长的2倍，即
△OBM的面积=△OAB的面积×2=×（5×2）×4，∴M点的坐标是（10，0）或（﹣10，0）．
22．（2008•西城区一模）已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，D为AB边上的一点，∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC．
求证：∠B=∠EAC．
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=CB．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠ACD=∠DCB．
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
∴∠B=∠EAC（全等三角形的对应角相等）
23．已知AB∥CD，BC平分∠ACD．求证：AC=AB．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵BC平分∠ACD，
∴∠ACB=∠DCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AC=AB．
24．已知：a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，求多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．
提示：（先求出b﹣a，c﹣a，c﹣b的值，再把所给式子整理为含（a﹣b）2，（b﹣c）2，（a﹣c）2的形式代入即可求出）
解：∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，
∴a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）=[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]
=[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，=×（1+1+4），=3．
25．（2012•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）
1）如图所示：
（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，
理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AF平分∠EAC，
∴∠EAF=∠FAC，
∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，
即△ADF是直角三角形，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，
∴∠EAF=∠B，
∴AF∥BC，
∴∠AFD=∠FDC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，
∴AD=AF，
即直角三角形ADF是等腰直角三角形．
26．（2014•海淀区一模）在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0°＜α＜180°，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°，α=60°时，∠CBD 的大小为 300 ；
（2）如图2，当∠BAC=100°，α=20°时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（60°＜m＜120°），若∠CBD的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．
解：（1）30°
（2）如图作等边△AFC，连结DF、BF．
∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°．
∵∠BAC=100°，AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA=40°．
∵∠ACD=20°，
∴∠DCB=20°．
∴∠DCB=∠FCB=20°．①
∵AC=CD，AC=FC，
∴DC=FC．②
∵BC=BC，③
∴由①②③，得△DCB≌△FCB，
∴DB=BF，∠DBC=∠FBC．
∵∠BAC=100°，∠FAC=60°，
∴∠BAF=40°．
∵∠ACD=20°，AC=CD，
∴∠CAD=80°．
∴∠DAF=20°．
∴∠BAD=∠FAD=20°．④
∵AB=AC，AC=AF，
∴AB=AF．⑤
∵AD=AD，⑥
∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF．
∴FD=BD．
∴FD=BD=FB．
∴∠DBF=60°．
∴∠CBD=30°．
（3）由（1）知道，若∠BAC=100°，α=60°时，则∠CBD=30°；
①由（1）可知，设∠α=60°时可得∠BAD=m﹣60°，∠ABC=∠ACB=90°﹣，
∠ABD=90°﹣∠BAD=120°﹣，
∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°．
②由（2）可知，翻折△BDC到△BD1C，则此时∠CBD1=30°，
∠BCD=60°﹣∠ACB=﹣30°，
∠α=∠ACB﹣∠BCD1=∠ACB﹣∠BCD=90°﹣﹣（﹣30°）=120°﹣m，
③以C为圆心CD为半径画圆弧交BF延长线于D2，连接CD2，
∠CDD2=∠CBD+∠BCD=30°+﹣30°=，
∠DCD2=180°﹣2∠CDD2=180°﹣m
∠α=60°+∠DCD2=240°﹣m．
综上所述，α为60°或120°﹣m或240°﹣m时∠CBD=30°．