重庆市马灌中学2014-2015八年级上期末综合练习3
考号____________姓名____________总分_________________
一．选择题（共12小题，每题4分，共48分）
1．（2014•吉州区二模）我国许多城市的“灰霾”天气严重，影响身体健康．“灰霾”天气的最主要成因是直径小于或等于2.5微米的细颗粒物（即PM2.5），也称为可入肺颗粒物，已知2.5微米=0.0000025米，此数据用科学记数法表示为（ ）米．
A．2.5×106 B． 0.25×10﹣5 C． 25×10﹣7 D． 2.5×10﹣6
2．代数式中，分式的个数是（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
3．下列方程中分式方程有（ ）个．
（1）x2﹣x+；（2）﹣3=a+4；（3）；（4）=1．
A．1 B． 2 C． 3 D． 以上都不对
4．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．角平分线 B． 中位线 C． 高 D． 中线
5．用五根木棒钉成如下四个图形，具有稳定性的有（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
6．（2011•宜宾）分式方程的解是（ ）
A．3 B． 4 C． 5 D． 无解
7．（2013•贵港）关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B． m＞﹣1且m≠0 C． m≥﹣1 D． m≥﹣1且m≠0
8．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ）
A．m（x+y）=mx+my B． x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．15x2﹣3x=3x（5x﹣1） D． x2﹣9+3x=（x+3）（x﹣3）+3x
9．（2004•聊城）方程的解是（ ）
A．﹣2， B． 3， C． ﹣2， D． 1，
10．（2006•日照）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（ ）
A．3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个
11．（2010•荆门）给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心
（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心
（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点
（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点
那么以上判断中正确的有（ ）
A．一个 B． 两个 C． 三个 D． 四个
12．（2007•玉溪）如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A．50 B． 62 C． 65 D． 68
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
13．在代数式a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，中，整式有 _________ 个；单项式有 _________ 个，次数为2的单项式是 _________ ；系数为1的单项式是 _________ ．
14．要使关于x的方程有唯一的解，那么m≠ _________ ．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD= _________ ．
16.（2014•盐都区二模）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．2.5微米等于0.0000025米，把0.000 002 5用科学记数法表示为 _________ ．
17．若关于x的分式方程无解，则m= _________ ．
18．（2014•句容市一模）如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是 _________ ．
三．解答题（共8小题，19-20每题7分，21-24每题10分，25-26每题12分。共78分）
19．因式分解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2．
20．（2014•崇明县二模）解方程：+=4．
21．（2008•安顺）若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
22．（2012•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）
23．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 _________ ；
②当∠BAD=∠ABD时，x= _________ ；当∠BAD=∠BDA时，x= _________ ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
24．（2008•西城区一模）已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，D为AB边上的一点，∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC．
求证：∠B=∠EAC．
25．（2014•内江）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
26．（2014•濮阳二模）在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
思考验证：
（1）求证：DE=DF；
（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；
归纳结论：
（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）
探究应用：
（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1． 解：0.0000025=2.5×10﹣6，x.k.b.1
故选：D．
2． 解：分式共有2个，故选B．
3.解：（1）x2﹣x+不是等式，故不是分式方程；
（2）﹣3=a+4是分式方程；
（3）是无理方程，不是分式方程；
（4）=1是分式方程．
故选B．
4．解：
（1）
三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（2）
三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：
三角形面积为梯形面积的；
（3）
三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
（4）
三角形的中线AD把三角形分成两部分，△ABD的面积为•BD•AE，△ACD面积为•CD•AE；
因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD=CD，
所以△ABD的面积等于△ACD的面积．
∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分
5． 解：第一个图形分成两个三角形，具有稳定性，
第二个图形根据三角形具有稳定性，左边与上边的木棒稳定，所以，另两根也稳定；
第三个图形，根据三角形具有稳定性，左边与上边的木棒稳定，所以，另两根也稳定；
第四个图形，根据三角形具有稳定性，右边与下边的木棒稳定，所以，另两根也稳定，
所以具有稳定性的有4个．
故选D．
6．解：
方程两边乘以最简公分母2（x﹣1）得：
x﹣1=4，
解得：x=5，
检验：把x=5代入2（x﹣1）=8≠0，
∴原分式方程的解为x=5．
故选C．
7．解：方程两边同乘（x+1），得m=﹣x﹣1
解得x=﹣1﹣m，
∵x＜0，
∴﹣1﹣m＜0，
解得m＞﹣1，
又x+1≠0，
∴﹣1﹣m+1≠0，
∴m≠0，
即m＞﹣1且m≠0．
故选：B．
8． 解：A、不是因式分解，是整式乘法，故本选项错误；
B、等式的右边不是整式的积的形式，即不是因式分解，故本选项错误；
C、根据因式分解的定义，此式是因式分解，故本选项正确；
D、等式的右边不是整式的积的形式，即不是因式分解，故本选项错误；
故选C．
9．解：设y=，原方程可化为y2﹣y﹣2=0，
分解得（y﹣2）（y+1）=0，
解得y=2或﹣1．∴=2，=﹣1，
解得x=或1．
经检验，都x=或1是原方程的解．
故选D．
10 解：C点所有的情况如图所示：
故选D．
11． 解：（1）线段的中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，正确；
（2）三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，正确；
（3）平行四边形对角线的交点到平行四边形对角顶点的距离相等，为平行四边形的中心，正确；
（4）利用平行可得三角形的重心把中线分为1：2两部分，所以是它的中线的一个三等分点，正确；
故选D．
12． 解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°，
∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，
∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG
∴AF=BG，AG=EF．
同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．
故选A．
二．填空题（共6小题）
13．在代数式a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，中，整式有 8 个；单项式有 5 个，次数为2的单项式是 ab ；系数为1的单项式是 a ．
14．要使关于x的方程有唯一的解，那么m≠ 3 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD= 45° ．
解：在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC=75°，且CF⊥AB，∴∠ACF=15°，
∵∠ACB=60°，∴∠BCF=45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD=45°，
故答案为∠CHD=45°．
16．（2014•盐都区二模）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．2.5微米等于0.0000025米，把0.000 002 5用科学记数法表示为 2.5×10﹣6 ．
17. 解：（1）x=﹣2为原方程的增根，
此时有2（x+2）+mx=3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m=3×（﹣2﹣2），
解得m=6．
（2）x=2为原方程的增根，
此时有2（x+2）+mx=3（x﹣2），即2×（2+2）+2m=3×（2﹣2），
解得m=﹣4．
（3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），
得2（x+2）+mx=3（x﹣2），
化简得：（m﹣1）x=﹣10．
当m=1时，整式方程无解．
综上所述，当m=﹣4或m=6或m=1时，原方程无解7．若关于x的分式方程无解，则m= ﹣4或6或1 ．
18．（2014•句容市一模）如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是 2 ．
解：∵∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，
∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，
∴∠CDO=∠AOP．
∴△ODC≌△POA．
∴AP=OC．
∴AP=OC=AC﹣AO=2．
故答案为2．
三．解答题（共8小题）
19．因式分解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2．
解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2
=（x+y）（x﹣y）[（x+y）﹣（x﹣y）]
=2y（x+y）（x﹣y）
20．（2014•崇明县二模）解方程：+=4．
解：设y=，
得：+y=4，
y2﹣4y+3=0，
解得y1=1，y2=3．
当y1=3时，=1，x2﹣x+1=0，此方程没有数解．
当y2=3时，=3，x2﹣3x+1=0，解得x=．
经检验x=都是原方程的根，
所以原方程的根是x=．
21．（2008•安顺）若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
解：去分母，得2x+a=2﹣x
解得：x=，∴＞0
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，且x≠2，
∴a≠﹣4
∴a＜2且a≠﹣4．
22．（2012•珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）
：（1）如图所示：
（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，
理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AF平分∠EAC，
∴∠EAF=∠FAC，
∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，
即△ADF是直角三角形，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，
∴∠EAF=∠B，
∴AF∥BC，
∴∠AFD=∠FDC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，
∴AD=AF，
即直角三角形ADF是等腰直角三角形．
23．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 20° ；
②当∠BAD=∠ABD时，x= 120° ；当∠BAD=∠BDA时，x= 60° ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°
∵AB∥ON∴∠ABO=20°
②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°
故答案为：①20 ②120，60
（2）①当点D在线段OB上时，
若∠BAD=∠ABD，则x=20
若∠BAD=∠BDA，则x=35
若∠ADB=∠ABD，则x=50[来源:Z*xx*k.Com]
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x=20、35、50、125．
24．（2008•西城区一模）已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，D为AB边上的一点，∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC．
求证：∠B=∠EAC．
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=CB．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠ACD=∠DCB．
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
∴∠B=∠EAC（全等三角形的对应角相等）
25．（2014•内江）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：
，
解得：m=9．
经检验，m=9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆．则：
99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．
解得：6≤x≤10．
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案；
（3）设总获利为W元，购进A款汽车x辆，则：
W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a．
当a=0.5时，（2）中所有方案获利相同．
此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利．
26．（2014•濮阳二模）在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
思考验证：
（1）求证：DE=DF；
（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；
归纳结论：
（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）
探究应用：
（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．
1）证明：∵∠A+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠A=60°，∠CDB=120°，
∴∠C+∠ABD=180°，
∵∠ABD+∠DBF=180°，
∴∠C=∠DBF，
在△DEC和△DFB中，
∴△DEC≌△DFB，
∴DE=DF．
（2）解：CE+BG=EG，
证明：连接DA，
在△ACD和△ABD中
，
∴△ACD≌△ABD，
∴∠CDA=∠BDA=60°，
∵∠EDG=∠EDA+∠ADG=∠ADG+∠GDB=60°，
∴∠CDE=∠ADG，∠EDA=∠GDB，
∵∠BDF=∠CDE，
∴∠GDB+∠BDF=60°，
在△DGF和△DEG中
，
∴△DGF≌△DEG，
∴FG=EG，
∵CE=BF，
∴CE+BG=EG．
（3）解：∠EDG=（180°﹣α），
（4）解：过C作CM⊥AD交AD的延长线于M，
在△AMC和△ABC中
，
∴△AMC≌△ABC，
∴AM=AB．CM=BC，
由（1）（2）（3）可知：DM+BE=DE，
∵AE=3，∠AED=90°，∠DAB=60°，
∴AD=6，
由勾股定理得：DE=3，
∴DM=AM﹣AD=AB﹣6=BE+3﹣6=BE﹣3，
∴BE﹣3+BE=3，
即BE=（3+3）．