第十一章 三角形检测题
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，,
C．，， D．， ,
2.等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．或
3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，
这里所运用的几何原理是（ ）
Ａ．三角形的稳定性
Ｂ．两点之间线段最短
Ｃ．两点确定一条直线
Ｄ．垂线段最短
4.已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（ ）
A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定
5.下列说法中正确的是（ ）
A．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形
B．等腰三角形任何一个内角都有可能是钝角或直角
C．三角形外角一定是钝角
D．在△ABC中，如果∠AB∠C，那么∠A60°，∠C60°
6.（2014·重庆中考）五边形的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．600°
7.不一定在三角形内部的线段是（ ）
A.三角形的角平分线 B.三角形的中线
C.三角形的高 D.以上皆不对
8.已知△ABC中，，周长为12，，则b为（ ）
三、解答题（共46分）
19.（6分）一个凸多边形，除了一个内角外，其余各内角的和为2 750°，求这个多边形的边数.
20.（6分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线把三角形的周长分为和的两部分，求三角形各边的长．
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
21.（6分）有人说，自己的步子大，一步能走多，你相信吗？用你学过的数学知识说明理由．
22.（6分）已知一个三角形有两边长均为，第三边长为，若该三角形的边长都为整数，试判断此三角形的形状．
23.（6分）如图所示，武汉有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到
C站．
（1）当汽车运动到点D时，刚好BD=CD，连接AD，AD这条线段是什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？此时有面积相等的三角形吗？
（2）汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE=∠CAE，那么AE这条线段是什么线段？在△ABC中，这样的线段又有几条？
（3）汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB=∠AFC=90°，则AF是什么线段？这样的线段有几条？
24.（8分）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．
25.（8分） 规定，满足（1）各边互不相等且均为整数，（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，这样的三角形称为比高三角形，其中k叫做比高系数．根据规定解答下列问题：
（1）求周长为13的比高三角形的比高系数k的值.
（2）写出一个只有4个比高系数的比高三角形的周长.
第十一章 三角形检测题参考答案
1.B 解析：根据三角形中任何两边的和大于第三边可知能组成三角形的只有B，故选B.
2.C 解析：因为三角形中任何两边的和大于第三边，所以腰只能是，所以此三角形的周长是10+10+5=25（cm）.故选C.
3.A 解析：本题主要考查了三角形的稳定性在生活中的应用.
4.C 解析：因为在△ABC中，∠ABC+∠ACB180°，
所以
所以∠BOC90°.故选C.
5.D 解析：A.三角形包括直角三角形和斜三角形，斜三角形又包括锐角三角形和钝角三角形，所以A错误；
B.等腰三角形只有顶角可能是钝角或直角，所以B错误；
C.三角形的外角可能是钝角、锐角也可能是直角，所以C错误；
D.因为△ABC中，∠A∠B∠C，若∠A≤60°或∠C≥60°，则与三角形的内角和为180°相矛盾，所以原结论正确，故选D.
6.C 解析：多边形的内角和公式是，当时，.
7.C 解析：因为三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有的在三角形的外部，所以答案选C．
8.B 解析：因为，所以.
又，所以故选B.
9.B 解析: .
.
10.C 解析：如图所示：∵ AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，
∴ ∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°.
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD，
根据三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°，
∴ ∠EOD=180°-45°=135°，故选C．
11.140 解析：根据三角形内角和定理得∠C=40°，则∠C的外角为．
12.270 解析：如图，根据题意可知∠5=90°，
∴ ∠3+∠4=90°， ∴ ∠1+∠2=180°+180°-（∠3+∠4）=360°-90°=270°.
13. 解析：利用多边形内角和定理进行计算.
因为边形与边形的内角和分别为和，
所以内角和增加.
14.27°或63° 解析:当等腰三角形为钝角三角形时,如图①所示,
.
第14题答图
当等腰三角形为锐角三角形时,如图②所示:
.
15. 解析：因为为△ABC的三边长，
所以，，
所以原式=
16.10＜＜36 解析：在△ABC中，AB-BCACAB+BC，所以1048；
在△ADC中，AD-DCACAD+DC，所以436.所以1036.
17.72 解析：正五边形ABCDE的每个内角为 =108°，由△AED是等腰三角形得，∠EAD=（180°-108°）=36°，所以∠DAB=∠EAB-∠EAD=108°-36°=72°.
18.35 解析：设这个多边形的边数为，则，所以这个多边形是十边形.因为边形的对角线的总条数为，所以这个多边形的对角线的条数为.
19．分析:由于除去的一个内角大于0°且小于180°，因此题目中有两个未知量，但等量关系只有一个，在一些竞赛题目中常常会出现这种问题，这就需要依据条件中两个未知量的特殊含义去求值.
解:设这个多边形的边数为(为自然数)，除去的内角为°(0＜＜180)，
根据题意，得
∵ ∴
∴ ，∴ .
点拨：本题在利用多边形的内角和公式得到方程后，又借助角的范围，通过解不等式得到了这个多边形的边数.这也是解决有关多边形的内、外角和问题的一种常用方法.
20.分析：因为BD是中线，所以AD=DC，造成所分两部分不等的原因就在于腰与底的不等，故应分情况讨论．
解：设AB=AC=2，则AD=CD=，
（1）当AB＋AD=30，BC＋CD=24时，有2=30，
∴ =10，2 =20，BC=24－10=14.
三边长分别为：，，．
（2）当AB＋AD=24，BC＋CD=30时，有=24，
∴ =8，，BC=30－8=22.三边长分别为：，，．
21.分析：人的两腿可以看作是两条线段，走的步子也可看作是线段，则这三条线段正好构成三角形的三边，就应满足三边关系定理．
解：不能． 如果此人一步能走多，由三角形三边的关系得，此人两腿长的和大于，这与实际情况不符． 所以他一步不能走多．
22.分析：已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系，列出不等式，再求解.
解：根据三角形的三边关系，得 ＜＜， 0＜＜6-， 0＜＜． 因为2，3-x均为正整数，所以=1． 所以三角形的三边长分别是2，2，2． 因此，该三角形是等边三角形．
23.分析：（1）由于BD=CD，则点D是BC的中点，AD是中线，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形；
（2）由于∠BAE=∠CAE，所以AE是三角形的角平分线；
（3）由于∠AFB=∠AFC=90°，则AF是三角形的高线．
解：（1）AD是△ABC中BC边上的中线，三角形中有三条中线．此时△ABD与△ADC的面积相等．
（2）AE是△ABC中∠BAC的角平分线，三角形中角平分线有三条． （3）AF是△ABC中BC边上的高线，高线有时在三角形外部，三角形有三条高线．
24.分析：灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC=90°，即可得CD⊥AB． 证明：∵ DG⊥BC，AC⊥BC（已知）， ∴ ∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义），
∴ DG∥AC（同位角相等，两直线平行）. ∴ ∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵ ∠1=∠2（已知），
∴ ∠1=∠ACD（等量代换），
∴ EF∥CD（同位角相等，两直线平行）. ∴ ∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）. ∵ EF⊥AB（已知），∴ ∠AEF=90°（垂直定义），
∴ ∠ADC=90°（等量代换）.
∴ CD⊥AB（垂直定义）．
25．分析：（1）根据定义结合三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，进行分析；
（2）根据比高三角形的知识结合三角形三边关系求解只有4个比高系数的三角形的周长.
解：（1）根据定义和三角形的三边关系，知此比高三角形的三边是2，5，6或3，4，6，则k=3或2．
（2）如周长为37的比高三角形，只有4个比高系数，当比高系数为2时，这个三角形三边分别为9、10、18或8、13、16，当比高系数为3时，这个三角形三边分别为6、13、18，当比高系数为6时，这个三角形三边长分别为3、16、18，当比高系数为9时，这个三角形三边分别为2、17、18．