第十一章 全等三角形
测试1 全等三角形的概念和性质
学习要求
1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素．
2．掌握全等三角形的性质；会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．_____的两个图形叫做全等形.
2．把两个全等的三角形重合到一起，_____叫做对应顶点；叫做对应边；_____叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____的字母写在_____上．
3．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．
4．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．
图1－1
5．如图1－1所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____
（2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____；
（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____．
图1－2
图1－3
6．如图1－2，已知△ABE≌△DCE，AE＝，BE＝，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．
7．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形
二、选择题
8．已知：如图1－3，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是 （ ）
A．DB B．BC C．CD D．AD
9．下列命题中，真命题的个数是 （ ）
①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等
A．4 B．C．2 D．1
10．如图1－4，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于 （ ）
A．6 B．C．4 D．无法确定
图1-4 图1-5 图1-6
11．如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于 （ ）
A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC
12．如图1－6，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为 （ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
三、解答题
13．已知：如图1－7所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．
图1－7
图1－8
图1－9
综合、运用、诊断
一、填空题
14．如图1－8，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．
15．已知：如图1－9，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
拓展、探究、思考
16．如图1－10，AB⊥BC，ΔABE≌ΔECD．判断AE与DE的关系，并证明你的结论．
图1－10
测试2 三角形全等的条件（一）
学习要求
1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
课堂学习检测
一、填空题
1．判断_____的_____ 叫做证明三角形全等．
2．全等三角形判定方法1——“边边边”（即______）指的是_____
___________________________________________________________________________．
3．由全等三角形判定方法1——“边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的_____也就确定了．
图2－1
图2－2
图2－3
4．已知：如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．
求证：RM平分∠PRQ．
分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______，
只要证______≌______
证明：∵ M为PQ的中点（已知），
∴______＝______
在△______和△______中，
∴______≌______（ ）．
∴ ∠PRM＝______（______）．
即RM．
5．已知：如图2－2，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
求证：∠A＝∠D．
分析：要证∠A＝∠D，只要证______≌______．
证明：∵BE＝CF （ ），
∴BC＝______．
在△ABC和△DEF中，
∴______≌______（ ）．
∴ ∠A＝∠D （______）．
6．如图2－3，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB，
求证：△ABC≌△BAD．
证明：∵CE＝DE，EA＝EB，
∴______＋______＝______＋______，
即______＝______．
在△ABC和△BAD中，
＝______（已知），
∴△ABC≌△BAD （ ）．
综合、运用、诊断
一、解答题
7．已知：如图2－4，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.
图2－4
8．画一画．
已知：如图2－5，线段a、b、c．
求作：ΔABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c．
图2－5
9．“三月三，放风筝”．图2－6是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．
图2－6
拓展、探究、思考
10．画一画，想一想：
利用圆规和直尺可以作一个角等于已知角，你能说明其作法的理论依据吗？
测试3 三角形全等的条件 （二）
学习要求
1．理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”．
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等
图3－1
图3－2
课堂学习检测
一、填空题
1．全等三角形判定方法2——“边角边” （即______）指的是______
___________________________________________________________________________．
2．已知：如图3－1，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．
求证：∠D＝∠B．
分析：要证∠D＝∠B，只要证______≌______
证明：在△AOD与△COB中，
∴ △AOD≌△______ （ ）．
∴ ∠D＝∠B （______）．
3．已知：如图3－2，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．
分析：要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，
又需证______≌______．
证明：∵ AB∥CD （ ），
∴ ∠______＝∠______ （ ），
在△______和△______中，
∴ Δ______≌Δ______ （ ）．
∴ ∠______＝∠______ （ ）．
∴ ______∥______（ ）．
综合、运用、诊断
一、解答题
4．已知：如图3－3，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．
求证：∠B＝∠C．
图3－3
5．已知：如图3－4，AB＝AC，BE＝CD．
求证：∠B＝∠C．
图3－4
6．已知：如图3－5，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．
求证：BC＝DE．
图3－5
拓展、探究、思考
7．如图3－6，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
图3－6
测试4 三角形全等的条件 （三）
学习要求
1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
课堂学习检测
一、填空题
1．（1）全等三角形判定方法3——“角边角”（即______）指的是______
___________________________________________________________________________；
（2）全等三角形判定方法4——“角角边” （即______）指的是______
___________________________________________________________________________．
图4－1
2．已知：如图4－1，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．
分析：∵PM＝PN，∴ 要证AM＝BN，只要证PA＝______，
只要证______≌______．
证明：在△______与△______中，
∴ △______≌△______ （ ）．
∴PA＝______ （ ）．
∵PM＝PN （ ），
∴PM－______＝PN－______，即AM＝______．
3．已知：如图4－2，ACBD．求证：OA＝OB，OC＝OD．
分析：要证OA＝OB，OC＝OD，只要证______≌______．
证明：∵ AC∥BD，∴ ∠C＝______．
在△______与△______中，
∴______≌______ （ ）．
∴ OA＝OB，OC＝OD （ ）．
图4－2
二、选择题
4．能确定△ABC≌△DEF的条件是 （ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
5．如图4－3，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ）
图4－3
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
6．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（ ）
A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF
三、解答题
7．阅读下题及一位同学的解答过程：如图4－4，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．
答：△AOD≌△COB．
证明：在△AOD和△COB中，
图4－4
∴ △AOD≌△COB （ASA）．
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？
综合、应用、诊断
8．已知：如图4－5，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．
求证：AD＝AC．
图4－5
9．已知：如图4－6，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．
求证：HN＝PM.
图4－6
10．已知：AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于F，BC＝10，BE＝4．求BM、CF的长．
拓展、探究、思考
11．填空题
（1）已知：如图4－7，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需证明Δ______≌△______，理由为______．
（2）已知：如图4－8，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．
图4－7 图4－8
12．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．
（1）请证明AD＝A'D'；
（2）把上述结论用文字叙述出来；
（3）你还能得出其他类似的结论吗？
图4－9
13．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．
图4－10
（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．
①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．
图4－11
测试5 直角三角形全等的条件
学习要求
掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法一“斜边、直角边” （即“HL”），能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等．
课堂学习检测
一、填空题
1．判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是_____．
2．直角三角形全等的判定方法有_____ （用简写）．
3．如图5－1，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____．
图5－1
4．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ）
（3）一个锐角和斜边对应相等； （ ）
（4）两直角边对应相等； （ ）
（5）一条直角边和斜边对应相等． （ ）
二、选择题
5．下列说法正确的是 （ ）
A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．斜边相等的两个直角三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．一边长相等的两等腰直角三角形全等
6．如图5－2，AB＝AC，AD⊥ BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（ ）对全等三角形．
A．3 B．C．5 D．6
图5－2
三、解答题
7．已知：如图5－3，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．
求证：（1）AB＝DC：
（2）AD∥BC．
图5－3
8．已知：如图5－4，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．
求证：AD＝BC；
图5－4
综合、运用、诊断
9．已知：如图5－5，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．
求证：ED⊥AC．
图5－5
10．已知：如图5－6，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.
求证：AB∥DC.
图5－6
11．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON （如图5－7），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．
图5－7
拓展、探究、思考
12．下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并作图举出反例．
（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）
（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）
（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）
13．（1）已知：如图5－8，线段AC、BD交于O，∠AOB为钝角，AB＝CD，BF⊥AC于F，DE⊥AC于E，AE＝CF．
求证：BO＝DO．
图5－8
（2）若∠AOB为锐角，其他条件不变，请画出图形并判断 （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
测试6 三角形全等的条件 （四）
学习要求
能熟练运用三角形全等的判定方法进行推理并解决某些问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．两个三角形全等的判定依据除定义外，还有①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____．
2．如图6－1，要判定ΔABC≌ΔADE，除去公共角∠A外，在下列横线上写出还需要的两个条件，并在括号内写出由这些条件直接判定两个三角形全等的依据．
（1）∠B＝∠D，AB＝AD（ ）；
（2）_____，_____（ ）；
（3）_____，_____（ ）；
（4）_____，_____（ ）；
（5）_____，_____（ ）；
（6）_____，_____（ ）；
（7）_____，_____（ ）．
图6－1
3．如图6－2，已知AB⊥CF，DE ⊥CF，垂足分别为B，E，AB＝DE．请添加一个适当条件，使ΔABC≌ΔDEF，并说明理由
添加条件：_________________________________________________________________，
理由是：___________________________________________________________________．
图6－2
4．在ΔABC和ΔDEF中，若∠B＝∠E＝90°，∠A＝34°，∠D＝56°，AC＝DF，贝ΔABC和ΔDEF是否全等？答：______，理由是______．
二、选择题
5．下列命题中正确的有 （ ）个
①三个内角对应相等的两个三角形全等；
②三条边对应相等的两个三角形全等；
③有两角和一边分别相等的两个三角形全等；
④等底等高的两个三角形全等．
A．1 B．C．3 D．4
6．如图6－3，AB＝CD，AD＝CB，AC、BD交于O，图中有 （ ）对全等三角形．
A．2 B．C．4 D．5
图6－3
7．如图6－4，若AB＝CD，DE＝AF，CF＝BE，∠AFB＝80°，∠D＝60°，则∠B的度数是 （ ）
A．80° B．60° C．40° D．20°
8．如图6－5，△ABC中，若∠B＝∠C，BD＝CE，CD＝BF，则∠EDF＝ （ ）
A．90°－∠A B．
C．180°－2∠A D．
图6－4 图6－5 图6－6
9．下列各组条件中，可保证△ABC与△A'B'C'全等的是 （ ）
A．∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'
B．AB＝A'B'，AC＝A'C'，∠B＝∠B'
C．AB＝C'B'，∠A＝∠B'，∠C＝∠C'
D．CB＝A'B'，AC＝A'C'，BA＝B'C'
10．如图6－6，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是 （ ）
A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
综合、运用、诊断
一、解答题
11．已知：如图6－7，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC．
求证：BD＝CE．
图6－7
12．已知：如图6－8，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．
（1）求证：AC与BD互相平分；
图6－8
（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，
求证：OE＝OF.
13．如图6－9，E在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
图6－9
拓展、探究、思考
14．如图6－10，△ABC的三个顶点分别在2×3方格的3个格点上，请你试着再在格点上找出三个点D、E、F，使得△DEF≌△ABC，这样的三角形你能找到几个？请一一画出来．
图6－10
15．请分别按给出的条件画△ABC （标上小题号，不写作法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？
①∠B＝120°，AB＝，AC＝；
②∠B＝90°，AB＝，AC＝；
③∠B＝30°，AB＝，AC＝；
④∠B＝30°，AB＝，AC＝；
⑤∠B＝30°，AB＝，AC＝；
⑥∠B＝30°，AB＝，AC＝．
测试7 三角形全等的条件 （五）
学习要求
能熟练运用三角形全等的知识综合解决问题．
课堂学习检测
解答题
1．如图7－1，小明与小敏玩跷跷板游戏．如果跷跷板的支点O （即跷跷板的中点）到地面的距离是，当小敏从水平位置CD下降时，小明这时离地面的高度是多少？请用所学的全等三角形的知识说明其中的道理．
图7－1
2．如图7－2，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是，B点与O点的铅直距离AB长是，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝，画CD⊥OC，使CD＝，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．
图7－2
3．如图7－3，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试判断三只石凳E，M，F恰好在一直线上吗？为什么？
图7－3
4．在一池塘边有A、B两棵树，如图7－4．试设计两种方案，测量A、B两棵树之间的距离．
方案一： 方案二：
图7－4
测试8 角的平分线的性质 （一）
学习要求
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．
课堂学习检测
一、填空题
1．_____叫做角的平分线．
2．角的平分线的性质是___________________________．
它的题设是_________，结论是_____．
3．到角的两边距离相等的点，在_____.所以，如果点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是_____．
4．完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系．
（1）如果一个点在角的平分线上，那么_____；
（2）如果一个点到角的两边的距离相等，那么_____；
（3）综上所述，角的平分线是_____的集合．
5．（1）三角形的三条角平分线_____它到___________________________．
（2）三角形内，到三边距离相等的点是_____．
6．如图8－1，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于，则BC的长为_____cm．
图8－1
二、作图题
7．已知：如图8－2，∠AOB．
求作：∠AOB的平分线OC．
作法：
图8－2
8．已知：如图8－3，直线AB及其上一点P．
求作：直线MN，使得MN⊥AB于P．
作法：
图8－3
9．已知：如图8－4，△AB C．
求作：点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB、BC、CA的距离相等．
作法：
图8－4
综合、运用、诊断
一、解答题
10．已知：如图8－5，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：DE＝DF．
图8－5
11．已知：如图8－6，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．
求证：OB＝OC.
图8－6
12．已知：如图8－7，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）
图8－7
拓展、探究、思考
13．已知：如图8－8，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
（1）可选择的地点有几处？
（2）你能画出塔台的位置吗？
图8－8
14．已知：如图8－9，四条直线两两相交，相交部分的线段构成正方形ABCD．试问：是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点？若存在，请找出此点，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．
图8－9
测试9 角的平分线的性质 （二）
学习要求
熟练运用角的平分线的性质解决问题．
课堂学习检测
一、选择题
1．如图9－1，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是 （ ）
A．PC＝PD B．OC＝OD
C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC
图9－1
2．如图9－2，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（ ）
A． B．
C．mn D．2mn
图9－2
二、填空题
3．已知：如图9－3，在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_____．
图9－3
4．已知：如图9－4，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____．
图9－4
三、解答题
5．已知：如图9－5，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.
求证：CM＝CN．
图9－5
6．已知：如图9－6，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.
求证：一点F必在∠DAE的平分线上．
图9－6
7．已知：如图9－7，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△PAB的面积与△PCD的面积相等．
求证：射线OP是∠MON的平分线．
图9－7
8．如图9－8，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．
图9－8
9．已知：如图9－9，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB；
（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论．
图9－9
拓展、探究、思考
10．已知：如图9－10，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．
图9－10