第十七章 勾股定理 单元测试(基础卷)
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c,若∠A+∠C=90°,则下列等式中成立的是( )
A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2 C.a2+c2=b2 D.c2﹣a2=b2
2在一个直角三角形中,若斜边长为5cm,一条直角边的长为3cm,则另一条直角边的长为( )
A.4cm B.4cm或cm
C.cm D.不存在
3.在平面直角坐标系中,有两点坐标分别为(2,0)和(0,3),则这两点之间的距离是( )
A. B. C.13 D.5
4.图中不能证明勾股定理的是( )
A.B.
C.D.
5.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且 (a+c)(a﹣c)=b2,则( )
A.∠A为直角 B.∠B为直角 C.∠C为直角 D.∠A是锐角
6.如图,一个棱长为3的正方体,把它分成3×3×3个小正方体,小正方体的棱长都是1.如果一只蚂蚁从点A爬到点B,那么估计A,B间的最短路程d的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
7.如图在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,AC=10,AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点,则BD的长为( )
A. B. C.2 D.
8.如图,已知钓鱼竿AC的长为10m,露在水面上的鱼线BC长为6m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'为8m,则BB'的长为( )
A.1m B.2m C.3m D.4m
9.如图,小明想利用“∠A=30°,AB=6cm,BC=4cm”这些条件作△ABC.他先作出了∠A和AB,在用圆规作BC时,10发现点C出现C1和C2两个位置,那么C1C2的长是( )
A.3cm B.4cm C. D.
10.正方形的边长为,其面积记为,以为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积记为,按此规律继续下去,则的值为( )
A. B. C. D.
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,,,则BC长是 .
12.如图所示,正方形的边长为1,则数轴上的点P表示的实数为 .
13.有以下几组数据①3、4、5②17、15、8③10、6、14④12、5、13 ⑤300、160、340,⑥0.3,0.4,0.5.其中可以构成勾股数有 .
14.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,分别以线段AB,BD,DC,CA为边向外作正方形,其中3个正方形的面积如图所示,则第四个正方形的面积为 .
15.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC= °.
16.如图,一牧童在A处放羊,牧童的家在B处,A、B距河岸的距离AC、BD分别为500m和700m,且C、D两地相距500m,天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家,那么牧童至少应该走 m.
三.解答题(共7小题,满分52分)
17.(6分)如图,在△DEF中,DE=17,EF=30,EF边上的中线DH=8,请判断△DEF的形状?并说明理由.
18.(6分)古诗赞美荷花:“竹色溪下绿,荷在镜里香.”平静的湖面上,一朵荷花婷婷玉立,露出水面10cm,忽见它随风倾斜,花朵恰好浸入水面.仔细观察,发现荷花偏离原地40cm(如图),请问水深多少?
19.(8分)四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.
(1)求证:△ACD是直角三角形;
(2)求四边形ABCD的面积.
20.(8分)如图所示,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4)
(1)在图中画出△OAB;
(2)△OAB是直角三角形吗?借助于网格,证明你的结论.
(3)S△OAB= .
21.(8分)如图,一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板,甲蚂蚁从点A出发,沿a,b,d三个面走最短路径到点B;同时,乙蚂蚁以相同的速度从点B出发,沿d,c两个面走最短路径到点A.请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地?
22.(8分)“三农”问题是关系国计民生的根本问题,实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措.如图,公路上A、B两点相距50km,C、D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=30km,CB=20km,现在要在公路AB上建一个土特产品市场E,使得C、D两村庄到市场E的距离相等,则市场E应建在距A多少千米处?并判断此时△DEC的形状,请说明理由.
23.(8分)综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以证明勾股定理,思路是大正方形的面积有两种求法,一种是等于,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即,从而得到等式,化简便得结论.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”.
【方法运用】千百年来,人们对勾股定理的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在2010年构造发现了一个新的证法:把两个全等的直角三角形和如图2放置,其三边长分别为,,,,显然.
(1)请用,,分别表示出四边形,梯形,的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,证明勾股定理.
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题:如图3,小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点,可得,则边上的高为______.
(3)如图4,在中,是边上的高,,,,设,求的值.