第十七章 勾股定理 单元测试（基础卷）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠A+∠C＝90°，则下列等式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．a2+c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2
【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠C＝90°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
则根据勾股定理得：a2+c2＝b2．
故选：C．
【小结】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
2在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，一条直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为（ ）
A．4cm B．4cm或cm
C．cm D．不存在
【解答】解：∵一个直角三角形中，斜边长为5cm，一条直角边的长为3cm，
∴根据勾股定理得：另一条直角边为4cm．
故选：A．
【小结】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
3.在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2，0）和（0，3），则这两点之间的距离是（ ）
A． B． C．13 D．5
【解答】解：∵A（2，0）和B（0，3），
∴OA＝2，OB＝3，
∴AB．
故选：A．
【小结】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键
4.图中不能证明勾股定理的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A选项不能证明勾股定理；
B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得；
C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式，可得；
D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式，可得．
故选：A．
【小结】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．
5.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且 （a+c）（a﹣c）＝b2，则（ ）
A．∠A为直角 B．∠B为直角 C．∠C为直角 D．∠A是锐角
【解答】解：∵（a+c）（a﹣c）＝b2，
∴a2﹣c2＝b2，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠A为直角，
故选：A．
【小结】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6.如图，一个棱长为3的正方体，把它分成3×3×3个小正方体，小正方体的棱长都是1．如果一只蚂蚁从点A爬到点B，那么估计A，B间的最短路程d的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，
则AD＝4，BD＝3，
∴A，B间的最短路程d5，
故选：B．
【小结】本题考查了勾股定理的应用，将立体图形转化为平面 图形，利用勾股定理求解是解本题的关键．
7.如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，
∴BC＝6，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD＝AD，
∴AB＝BD+AD＝BD+CD＝8，
设CD＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2，
即x2＝62+（8﹣x）2，
解得x＝6.25．
∴BD＝8﹣6.25＝1.75．
故选：B．
【小结】本题考查的是线段垂直平分线的性质和勾股定理，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
8.如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（ ）
A．1m B．2m C．3m D．4m
【解答】解：∵AC＝10m，BC＝6m，
∴AB（m），
∵AC′＝10m，B′C′＝8m，
∴AB′（m），
∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）；
故选：B．
【小结】此题考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键．
9.如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”这些条件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，10发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长是（ ）
A．3cm B．4cm C． D．
【解答】解：如图，过点B作BM⊥AC1于点M，
则∠BMA＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝6cm，
∴，
∵BC1＝BC2＝4cm，BM⊥AC1，
∴，
∴，
故选：D．
【小结】本题主要考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
10.正方形的边长为，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，
∴S2+S2＝S1．
观察，发现规律：
S1＝12＝1，
S2＝S1＝，
S3＝S2＝，
S4＝S3＝ ，
…，
∴Sn＝（）n﹣1．
当n＝2025时，S2025＝（）2025﹣1＝（）2024，
故选：B．
【小结】本题考查正等腰三角形以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，，，则BC长是 3 ．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，，，
故BC3，
故答案为：3．
【小结】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12.如图所示，正方形的边长为1，则数轴上的点P表示的实数为 ．
【解答】解：如图所示，由图形可知：∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，由勾股定理得：，
∴AB＝BP，
∵点B表示的数为2，
∴点P表示的数为：，
故答案为：．
【小结】本题主要考查了实数与数轴和勾股定理，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式．
13.有以下几组数据①3、4、5②17、15、8③10、6、14④12、5、13 ⑤300、160、340，⑥0.3，0.4，0.5．其中可以构成勾股数有 ①②④⑤ ．
【解答】解：①32+42＝52，符合勾股数的定义；
②82+152＝289＝172，符合勾股数的定义；
③102+62≠142，不符合勾股数的定义；
④52+122＝169＝132，符合勾股数的定义；
⑤3002+1602＝115600＝3402，符合勾股数的定义；
⑥0.3，0.4，0.5不是正整数，不符合勾股数的定义．
所以，可以构成勾股数有①②④⑤．
故答案为①②④⑤．
【小结】本题考查了勾股数的定义，注意：
①作为勾股数的三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．
14.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为 2 ．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴AD2+BD2＝AB2＝15，AD2+CD2＝AC2＝12，
∴BD2﹣CD2＝15﹣12＝3，
∵BD2＝5，
∴CD2＝5﹣3＝2，
∴第四个正方形的面积为2，
故答案为：2．
【小结】本题考查了勾股定理，利用正方形的面积是解题的关键．
15.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝ 45 °．
【解答】解：连接AC，
由题意得：AC2＝12+22＝5，
BC2＝12+22＝5，
AB2＝12+32＝10，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC＝，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°，
故答案为：45．
【小结】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.如图，一牧童在A处放羊，牧童的家在B处，A、B距河岸的距离AC、BD分别为500m和700m，且C、D两地相距500m，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走 1300 m．
【解答】解：作A关于CD的对称点E，连接BE，并作BF⊥AC于点F．
则EF＝BD+AC＝500+700＝1200m，BF＝CD＝500m．
在Rt△BEF中，根据勾股定理得：BE1300米．
【小结】此题的难点在于确定点P的位置，能够根据轴对称的知识正确作图．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17.（6分）如图，在△DEF中，DE＝17，EF＝30，EF边上的中线DH＝8，请判断△DEF的形状？并说明理由．
【解答】解：△DEF是等腰三角形．
理由：∵DH是EF边上的中线，EF＝30cm，
∴EH＝15cm，
∵DE＝17cm，DH＝8cm，
∴EH2+DH2＝DE2，
∴DH⊥EF，
∴△DHE≌△DHF，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰三角形．
【小结】本题考查的是勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质．
18.（6分）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷在镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花婷婷玉立，露出水面10cm，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原地40cm（如图），请问水深多少？
【解答】解：设水深为h，则荷花的高h+10，且水平距离为40cm，
则（h+10）2＝402+h2，
解得h＝75．
答：水深75cm．
【小结】此题主要考查学生对勾股定理的应用这一知识点的理解和掌握，此题的关键是“水深h与水平40组成一个以h+10为斜边的直角三角形”这是此题的突破点．
19.（8分）四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC5，
∵AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD4×312×5＝6+30＝36．
【小结】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．
20.（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4）
（1）在图中画出△OAB；
（2）△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论．
（3）S△OAB＝ 5 ．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）△OAB是直角三角形．理由如下：
∵OA2＝32+12＝10，OB2＝22+42＝20，AB2＝12+32＝10，
∴OA2+AB2＝OB2．
∴△OAB是直角三角形；
（3）S△OABOA•AB
＝5．
故答案为5．
【小结】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．也考查了坐标与图形性质以及三角形的面积．
21.（8分）如图，一个正方体木箱子右边连接一个正方形木板，甲蚂蚁从点A出发，沿a，b，d三个面走最短路径到点B；同时，乙蚂蚁以相同的速度从点B出发，沿d，c两个面走最短路径到点A．请你通过计算判断哪只蚂蚁先到达目的地？
【解答】解析展开a，b，c与d在同一平面内，如图所示．
由题意可知，甲蚂蚁走的路径为A1B，（cm）．
乙蚂蚁走的路径为A2B，（cm）．
因为，
所以A1B＞A2B，故乙蚂蚁先到达目的地．
【小结】此题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，熟练求出AB的长是解本题的关键．
22.（8分）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时△DEC的形状，请说明理由．
【解答】解：△DEC是等腰直角三角形，
理由：设AE＝x，则BE＝50﹣x，
在直角△ADE中，DE2＝302+x2，
在直角△CBE中，CE2＝202+（50﹣x）2，
解得x＝20km，
即AE＝20km．
答：市场E应建在离A点20km的位置，
∵AE＝20km＝CB，AD＝30km＝BE＝50﹣20＝30（km），∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE≌△BEC（SAS），
∴DE＝CE，∠AED＝∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠AED+∠BEC＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴△DEC是等腰直角三角形．
【小结】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据DE2＝302+x2和CE2＝202+（50﹣x）2求x的值是解题的关键．
23.（8分）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然．
(1)请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______．
(3)如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
【解答】（1）证明：∵，，，
∴
∴
∴
（2），
，
，
即AB边上的高是
（3）解：在中，由勾股定理得
∵，
∴
在中，由勾股定理得
∴，
∴
【小结】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．