第十七章 勾股定理 单元测试（提升卷）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若一个直角三角形的两边长为4和5，则第三边长为（ ）
A．3 B． C．8 D．3或
【解答】解：当5是直角边时，则第三边为：；
当5是斜边时，则第三边为：3，
综上所述，第三边的长为3或，
故选：D．
【小结】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝75°，不是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴是直角三角形；
④∵∠A＝∠B∠C，
∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，是直角三角形；
⑤∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
a2+c2＝b2，是直角三角形；
⑥∵a：b：c＝5：12：13，
∴52+122＝132，
∴a2+b2＝c2，是直角三角形；
故选：C．
【小结】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理．
如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【解答】根据勾股定理得：，，
∴，
∴，
∴点表示的数为．
故答案为：B．
【小结】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.
如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，∠B＝90°，∠D＝α．则∠BCD的大小为（ ）
A．α B．90°﹣α C．45°+α D．135°﹣α
【解答】解：连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC，∠BAC＝45°，
又∵CD＝3，DA＝1，
∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝45°+90°＝135°，
∵∠D＝α，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣135°﹣α＝135°﹣α，
故选：D．
【小结】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．
如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为（ ）
A．∠BAC＞∠DAC B．∠BAC＜∠DAC C．∠BAC＝∠DAC D．无法确定
【解答】解：连接CD，BC，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AB2＝22+42＝4+16＝20，BC2＝12+32＝1+9＝10，AC2＝12+32＝1+9＝10，AD2＝12+22＝1+4＝5，CD2＝12+22＝1+4＝5，
所以BC＝AC，AD＝CD，AC2+BC2＝AB2，AD2+CD2＝AC2，
即△ACB和△ADC都是等腰直角三角形，
所以∠BAC＝∠DAC＝45°，
故选：C．
【小结】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，角的大小比较，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理是解此题的关键．
课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
【解答】在中，由勾股定理得，
（米，
（米，
故选：A．
【小结】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，
∴△ACH的面积是10﹣8＝2．
故选：A．
【小结】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明3个三角形的面积之间的关系．
如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【解答】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故选：A．
【小结】此题重点考查轴对称的性质、“等底等高的三角形面积相等”、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出AD的长是解题的关键．
图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中 ，现把图2中的直角三角形继续作下去如图3所示，若 的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】由题意得
；
；
；
∵ 1≤n≤30，
∴OA3·OAn的值是整数，
∴·OAn的值可以是，，
是整数的有3个．
故答案为：C．
【小结】根据勾股定理计算出OA2，OA3，OA4，OA5，…．即可得到OAn，然后再根据OA3•OAn的值是整数，且1≤n≤30，即可写出n的值，本题得以解决．
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2； ④S1S4＝S3S2，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，
∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，
∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，
∴∠BAI=∠DAC，
∴△ABI≌△ADC（SAS），
∴∠AIB=∠ACD，
∵∠CNI=∠CAI=90°，
∴BI⊥CD，
故①正确；
∵S△ACD=S△AIB=×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，
∴S1：S△ACD=2：1，
故②正确；
∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3+S4，
∴S1-S4=S3-S2，
故③正确；
S1-S4=S3-S2，
，
∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK•KJ= AK•AB，S4=BK•KJ=BK•AB，
，，
∵AB2=AC2+ BC2，，
，
即，
，
∴S1•S4=S2•S3，
故④正确，
故选D．
【小结】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的条件，勾股定理的运用，完全平方公式的变形．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11.如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝1，AB在数轴上，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为 ．
【解答】解：根据题意，在长方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∵AB＝3，BC＝1，
∴，
∵以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，
∴，
∵A表示的数为﹣1，
∴点M所表示的数为，
故答案为：．
【小结】本题考查勾股定理、数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键．
12.如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一点，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则四边形ACBP的面积等于 18.5 ．
【解答】解：∵正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，S1＝16，S2＝25，
∴AC＝4，AB＝AH＝5，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∴四边形ACBP的面积＝△ABC的面积+△ABP的面积
＝AC•BC+AB•AH
＝×4×3+×5×5
＝6+12.5
＝18.5，
故答案为：18.5．
【小结】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13.如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，，BC＝1，，则四边形ABCD的面积为 4 ．
【解答】解：连接BD，
∵点E为AB的中点，DE⊥AB于点E，AB＝6，，
∴EBAB＝3，
∴，
∵，即BD2+BC2＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴四边形ABCD的面积，
故答案为：．
【小结】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形解答．
14.据欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，，AC＝b，再以点B为圆心BC长为半径画圆弧，交斜边AB于点D，则该方程的一个正根是线段AD的长．当a＝6，b＝5时，AD的长为 3 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BCa，AC＝b，BD＝BCa，
当a＝6，b＝5时，AC＝5，BD＝BCa＝3，
则AD＝AB﹣BD＝AB﹣3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB，
∴AD3，
故答案为：3．
【小结】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．
15.如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm，动点P从点A出发以每秒3cm的速度沿线段AB向点B运动，设点P运动的时间为t秒．当t＝ 2或2.4 时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形．
【解答】解：∵AB＝AC＝10cm，BD＝8cm，BD⊥AC于点D，BD＝8cm，
∴，
当AP＝AD＝6时，t＝6÷3＝2，
当DP＝DA＝6时，如图，
作DE⊥AB于E，
∴，
∵AD2﹣AE2＝DE2，BD2﹣BE2＝DE2，
∴AD2﹣AE2＝BD2﹣BE2，
即，
解得，t＝2.4，
综上所述，t＝2或2.4时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形．
故答案为：2或2.4．
【小结】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
16.在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AC＝4、CD＝2，则点D到斜边AB的距离为 2 ，3BD2﹣4BD＝ 20 ．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∵CD＝2，
∴DE＝2，
即点D到斜边AB的距离为2，
故答案为：2；
（2）设BD＝x，
在Rt△BDE中，
∵DE＝2，
∴根据勾股定理，得，
∵CD＝2，
∴BC＝BD+CD＝x+2，
∵AB＝AE+BE，AE＝AC＝4，，
∴，
在Rt△ABC中，
∵AC＝4，
∴根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，
即．
整理，得16+x2+4x+4，
化简，得，
两边同时除以8，得，
两边平方，得，
展开，得，
整理，得得3x2﹣4x﹣20＝0．
∴3BD2﹣4BD＝3x2﹣4x＝20．
故答案为：20．
【小结】本题考查角平分线的性质，勾股定理，二次根式的运算，掌握相关性质，能够灵活进行二次根式的运算是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17.（6分）如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？
【解答】解：设BC＝x cm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，
∵BC+CD＝34，
∴CD＝34﹣x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，
∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，
解得x＝8．
∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．
【小结】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
18.（6分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接CE．
（1）求证：BE2﹣AE2＝AC2；
（2）若AC＝8，，求△ACE的周长．
【解答】（1）证明：∵∠A＝90°，
∴CE2＝AE2+AC2，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴CE＝BE，
∴BE2＝AE2+AC2，
∴AC2＝BE2﹣AE2；
（2）解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BC＝2BD＝17，BE＝CE，
∵∠A＝90°，
∴，
∴△ACE的周长＝AE+CE+AC＝AE+BE+AC＝AB+AC＝15+8＝23．
【小结】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
19.（8分）我国某巨型摩天轮的最低点距离地面10m，圆盘半径为50m．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时∠POQ＝90°，且小丽距离地面20m．
（1）△OCP与△QDO全等吗？为什么？
（2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
【解答】解：（1）△OCP≌△QDO，理由如下：
∵QD⊥BD，PC⊥BD，
∴∠QDO＝∠OCP＝90°，
∵∠POQ＝90°，
∴∠DOQ+∠Q＝90°＝∠DOQ+∠COP，
∴∠Q＝∠COP，
又∵OQ＝PO，
∴△OCP≌△QDO（AAS）；
（2）∵△OCP≌△QDO，
∴QD＝OC，
∵小丽到点Q，且小丽距离地面20m，
∴BD＝20m，
又∵AB＝10m，OA＝50m，
∴OD＝40m，
∴，
∴OC＝QD＝30m，
∴CD＝OD﹣OC＝10m，
∴两人所在座舱距离地面的高度差为10m．
【小结】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键
20.（8分）问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ；
思维拓展：
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的△ABC．并求出它的面积．
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为a、2a、a（a＞0），请利用图③的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
(4)若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这个三角形的面积．
【解答】（1）解： S△ABC＝3×31×22×33．故答案为：；
（2）解∶ 如图，△ABC如图所示．
S△ABC＝2×42×34×11×1．
解∶ 如图，△ABC即为所求．
S△ABC＝2a×4a2a×2a2a×a4a×a＝3a2．
（4）解∶ 根据题意，构造长为2n，宽为3m的长方形，作出边长为为、、2的三角形，如图，△ABC即为所求．
S△ABC＝3m×4n3m×2n2m×2n4n×m＝5mn．
【小结】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，熟练掌握勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．
21.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，动点P从点B出发，以每秒2个单位长的速度，沿射线BC运动，设运动时间为t秒，请解答以下问题：
(1)BC边的长为________；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值，写出求解过程；
(3)当△ABP为等腰三角形时，直接写出t的值．
【解答】（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=；
（2）若△ABP为直角三角形：
（i）∠APB=90°，此时BP=BC=8，t=8÷2=4（s）；
（ii）∠BAP=90°，BP=2t，则CP=2t-8，由勾股定理得：AP=AC+PC=BP-AB，
即6+（2t-8）=（2t）-10，解得：t=；
（3）
若△ABP为等腰三角形：
（i）当AB=BP时，t=5；
（ii）当AB=AP时，BP=2BC=16，t=8；
（iii）当BP=AP时，AP=BP=2t，CP=8-2t，AC=6，由勾股定理得：（2t）=6+（8-2t）
解得：t=．
【小结】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质等知识点．正确的分类讨论，熟练应用勾股定理，准确找到等量关系是解题的关键．
22.（8分）阅读理解：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．
解：．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．
求最小值：设点A关于x轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，所以由勾股定理得，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B__________的距离之和．（填写点B的坐标）
(2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点．与点A__________、点B__________的距离之和．（填写点A，B的坐标）
(3)求出代数式的最小值．
【解答】（1）∵原式化为的形式，
∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点A、点或的距离之和，
故答案为；
（2）∵原式化为的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，
故答案为：．
（3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为，则，
∴的最小值，只需求的最小值，而点间的直线段距离最短，
∴的最小值为线段的长度，
∵
∴，
∴，
∴代数式的最小值为．
【小结】本题属于几何变换综合题，考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题．
23.（8分）在等腰中，，，是射线上的动点，过点作（始终在上方），且，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，判断与的关系，并说明理由．
(2)如图2，若点为线段上的两个动点，且，连接，，求的长．
(3)若在点的运动过程中，，则______．
(4)如图3，若为中点，连接，在点的运动过程中，当______时，的长最小？最小值是_______．
【解答】（1）解：当点在线段上时，
，，，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
；
（3）解：如图1，当点在线段上，，设为边上的高，为垂足，
，
在等腰中，为的中点，，
，
，，
，
如图2，点在线段的延长线时，同理可得，
，
，
，
故答案为：或；
（4）解：点运动轨迹是过点，且垂直于的射线，根据垂线段最短的性质，当时，线段最短，如图3，
，
，，，
为等腰直角三角形，
，
由（1）知：，
，
此时，
故答案为：9，3．
【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．