第十九章 一次函数单元测试（提高卷）
班级：________________姓名：_________________得分：_______________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择12道、填空6道、解答6道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（24-25七年级上·贵州遵义·开学考试）《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面图（ ）比较符合故事情节．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了用函数图象表示变量之间的关系，根据题意可知，水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水已没过孩童头顶，这时水缸内的水位会上升，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，水流出后，孩童得救，此时水位会迅速下降．据此对照下面四幅图进行比较即可．
【详解】
由分析得：比较符合故事情节．
故选：D．
2．（2024·甘肃兰州·模拟预测）若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据形如的函数是正比例函数，以及当时，正比例函数的图象经过第一、三象限求解即可．
【详解】解：∵函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，
∴，且，
解得，且，
∴，
故选：A．
3．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：，，进而得到，推出直线经过第一、三、四象限，即可求解．
【详解】解：直线经过第一、二、三象限，
，，
，
直线经过第一、三、四象限，
故选：C．
4．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如果直线与直线相交于轴上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，求出直线与轴的交点坐标，再代入到直线中，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，解得：，
∴直线与轴的交点坐标为，
∵直线与直线相交于轴上，
∴把代入，得：，
解得：；
故选D．
5（2025·湖北孝感·二模）如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为，则关于、的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组 ，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，数形结合是解题的关键．把代入求出，根据数形结合，即可求出答案．
【详解】解：把代入得：，
解得，
∴，
∴关于、的方程组的解是
故选：A．
6（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知一次函数，当时，y的最大值为( )
A.-5 B.-3 C.5 D.3
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
先根据一次函数的系数判断出函数的增减性，再根据其取值范围解答即可．
【详解】解：∵一次函数中，，
∴y随x的增大而减小，
∵自变量取值范围是，
∴当时，y有最大值为．
故答案为：5．
7（24-25八年级下·辽宁丹东·开学考试）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，为半径画弧，交x轴于点C，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，求出点A、B的坐标是解题的关键．
先根据坐标轴上点的坐标特征得到，再利用勾股定理计算出，然后根据圆的半径相等得到，再利用进行计算即可．
【详解】解：当时，，解得，则；
当时，，则，
所以，
因为以点A为圆心，为半径画弧，交x轴于点C，
所以，
所以．
故答案为∶ ．
8（2025·陕西西安·二模）如图，在等边中，点A 在第二象限，点B 的坐标为，若正比例函数的图象经过点A， 则 k 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质以及正比例函数图象上点的坐标特征，根据等边三角形的性质结合点B的坐标即可得出点A的坐标，再由点A的坐标利用正比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解．
【详解】解：如图，过作轴于点，
∵为等边三角形，且点B的坐标是，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
∵正比例函数的图象经过点A，
∴，
∴．
故选：A．
9.（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（ ）
A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加
B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为
C．当，
D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加
【答案】D
【分析】本题考查的是利用表格表示函数，根据表格信息逐一分析各选项即可．
【详解】解：由表格信息可得：箭尺读数y随供水时间x的增加而增加，正确，故A不符合题意；
由表格信息可得：当时，，每增加1小时，箭尺读数y增加，
∴箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为，
∴B正确，D错误，B不符合题意，D符合题意；
由可得：
当时，，C正确，不符合题意；
故选：D．
10．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，平分，则点B的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线与勾股定理模型是解题的关键．过点作于点，利用全等得，，在中列式求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
令，
解得：，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
即，
即，
解得：，
∴，
故选：C．
11．（22-23七年级下·广东广州·期中）如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，．根据这个规律探索可得，第2023个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应先判断出第2023个点在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．
【详解】把第一个点作为第一列，和作为第二列，
依此类推，则第一列有1个点，第二列有2个点，，
第n列有n个点，则n列共有个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，
∵，
∴第2023个点一定在第64列，由下到上是第7个点，
因而第2023个点的坐标是，
故选：C．
【点睛】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
12．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为，慢车离锦绣中学的距离为，行驶时间为，两车之间的距离为．与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当时，两车相距,其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，理解题意，看懂图象是解题关键．由图象可知两地相距300千米，且当时，快车到达终点，即可判断①；分别求出快车和慢车的速度，即可求出相遇时的时间，可判断②；求出时，两车的路程即可判断③．
【详解】解：由题意可知锦绣中学与实验中学的距离为300千米，当时，快车到达实验中学，
∴，故①正确；
快车的速度为，慢车的速度为，
相遇时，即，
解得：，故②正确；
当时，快车行驶的路程为，慢车行驶的路程为，
∴两车相距，故③正确；
综上可知①②③正确．
故选：D．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请把答案直接填写在横线上
13（20-21八年级上·陕西西安·期中）已知是一次函数图象上的两个点，则 ．（填“”“”或“＝”）
【答案】
【分析】根据中，得到y随x的增大而减小，结合，得到解答即可．
本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵中，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
14．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于x的一次函数不经过第二象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象不经过第二象限，可得且，进一步求解即可确定m的取值范围．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴且，
解得．
故答案为：．
15（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．
【详解】函数和的图象相交于点
不等式，即解集为：函数的图像在的函数图像上方的范围
观察图可知，解集为
将代入中，
得：
解得：
因此，当时，
即函数与轴的交点为：
，即解集为：函数的图像在轴上方的范围
解集为：
综上：不等式的解集为：
故答案为：
16．（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）利用20米长的墙围成两个矩形花圃．花圃的一边利用墙，其它边用总长为30米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形和矩形．设边的长为米．边长为米．写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围： ；
【答案】
【分析】设边的长为米．边长为米．利用两宽加上一长等于30即可得出函数关系即可；本题考查了一次函数的实际应用，解不等式组，根据题目的条件，利用矩形的面积计算方法列出公式，即可作答．
【详解】解：依题意，设边的长为米．边长为米．
根据题意得：，
整理得：，
∵且，
∴，
故答案为：．
17．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）一次函数与（a，b，c，d为常数，，）的图象如图所示，若，则 ．
【答案】/0.5
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
根据当时，，即可求得．
【详解】∵一次函数与的图象的交点的横坐标为 3 ，
，
，
，
故答案为．
18．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长度为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，勾股定理求得．然后等面积法即可求解．
【详解】解：如图过点A作于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当时，点P到达点Q，此时当P在上运动时，最小，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4．
三、解答题(本大题共6小题，共46分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．（共7分）（24-25七年级上·山东泰安·期末）已知函数．
(1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？
(2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？
(3)若函数的图象经过点和，求m，n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)的值分别为
【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数的定义．
（1）根据y是x的一次函数，得到，求解即可；
（2）根据y是x的正比例函数，得到，求解即可；
（3）将点代入求出的值，再将代入即可求出的值．
【详解】（1）解：由题意得，即时，
函数是一次函数；
（2）解：由题意得，且，
即时，函数是正比例函数；
（3）解：函数图象经过点
，即．
又经过点，
，
解得，
故的值分别为．
20．（共7分）（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，的三个顶点的坐标分别是，，．
(1)作出关于直线对称的，使点C的对应点为．
(2)写出直线l的函数解析式为__________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查画轴对称图形，平面直角坐标系点的坐标、轴对称性质．
（1）根据点的对应点为得出对称轴为直线，从而得出点的对应点为，点的对应点为，然后画出图形即可；
（2）根据点的对应点为，连接，则的垂直平分线，为对称轴l，根据图像，得出对称轴的关系式即可．
【详解】（1）解：即为所求作的三角形，如图所示：
（2）解：∵点的对应点为，
∴连接，则的垂直平分线，为对称轴l，如图所示：
根据图形可知：的垂直平分线，正好是二、四象限夹角的平分线，
∴直线l的函数解析式为．
21．(共7分) （24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在，点分别在边上，且不与点重合，连接．
(1)从以下3个选项中选择2个作为已知条件，余下的1个作为结论，并写出结论成立的证明过程．①；②；③．选择的条件是 ，结论是 ．（填序号）
(2)在（1）的条件下，设，求y关于x的函数表达式．
【答案】(1)①②，③，或②③，①，或①③，②；证明见解析
(2)
【分析】（1）分三种情况讨论：选择条件①②，结论③，或选择条件②③，结论①，或选择条件①③，结论②，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明即可；
（2）如图，连接，求解，证明，，，利用勾股定理可得，整理即可得到答案．
【详解】（1）解：选择条件①②，结论③，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
选择条件②③，结论①，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
选择条件①③，结论②，
理由：∵，
∴，
∵；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
而，
∴，
整理得：；
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，列函数关系式，理解题意，清晰的分类讨论是解题关键．
22．(8分)（24-25七年级上·山东威海·期末）规定：①若两条直线，平行，则，；
②若两条直线，垂直，则；
③点到直线的距离．
如图所示，已知直线与轴轴分别交于点，，分别交轴轴于点，，且点坐标为．
(1)点坐标______；点到直线的距离为______；
(2)若直线于点，交轴与点，求解析式．
【答案】(1)，
(2)
【难度】0.65
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质等知识，读懂题意是解题的关键．
（1）由题意可设直线为，代入点C的坐标求出直线的解析式，进一步求出点坐标，根据题意利用公式直接求出点到直线的距离即可；
（2）根据题意可设直线为，代入点C的坐标求出即可．
【详解】（1）解：∵，直线
∴可设直线：，
把点坐标代入得到，，
解得，
∴直线：，
当时，，
∴点的坐标为，
根据题意可得，点到直线的距离为，
故答案为：，
（2）∵直线于点，直线
∴可设直线为，
把点坐标代入得到，，
∴
∴解析式为．
23．（共8分）（24-25八年级上·全国·期末）某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元．
(1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？
(2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱．
【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元；
(2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案．
（1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元；
（2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱．
【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元，
，
解得： ，
答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元；
（2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶，
方案二∶关于a的函数表达式为∶，
当时，得，即当时，选择方案一；
当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多；
当，得，即当时，选择方案二；
综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱．
24．（9分）（23-24八年级下·陕西渭南·期末）如图，已知经过点的直线（，为常数，且）分别与轴、轴交于、两点．
(1)求该直线的函数解析式和点的坐标；
(2)在轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)该直线的函数解析式为；
(2)点的坐标为或
【分析】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了解析式的求解、勾股定理等知识点，掌握待定系数法是解题关键．
（1）将点、代入即可求解；
（2）由题意得，分类讨论当点为直角顶点时和当点为直角顶点时两种情况即可求解．
【详解】（1）解：直线经过点、，
，
解得，
该直线的函数解析式为．
在中，令，得，
．
（2）解：点在轴上，
，
点不能成为直角顶点．
①当点为直角顶点时，点在的位置，如图．
点在轴上，点在轴上，
，
点与点重合，
点的坐标为；
②当点为直角顶点时，点在的位置，如图．
设，
则，，，，
，，．
，
，
解得，
．
综上可知，在轴上存在点，使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或．