第十八章 平行四边形 单元测试（基础卷）
满分100分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 如图，在▱ABCD中，∠A＝125°，则∠1＝（ ）
A．65° B．50° C．55° D．45°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝125°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝55°．
故选：C．
【小结】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握“平行四边形的对角相等”．
2．四边形ABCD的三个内角∠A、∠B、∠C的度数依次如下，其中能使四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．88°、108°、88° B．88°、104°、108°
C．88°、92°、92° D．88°、92°、88°
【解答】解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不符合题意；
当三个内角度数依次是88°，108°，88°时，第四个角是76°，故A不符合题意；
当三个内角度数依次是88°，92°，92°，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角故选项C不符合题意，D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．
故选：D．
【小结】此题主要考查平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．注意角的对应的位置关系，并不是有两组角相等的四边形就是平行四边形，错选C．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝COAC＝3，
∵AB⊥AC，AB＝4，
∴BO5，
∴BD＝2BO＝10，
故选：B．
【小结】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．10 C．15 D．30
【解答】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，
则阴影部分的面积为，
故选：C．
【小结】本题考查了平行四边形的性质、中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关键．
5．如图是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝40cm，则B，C两点的距离为（ ）
A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm
【解答】解：连接BC，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，
∴BC＝2DE，
∵DE＝40cm，
∴BC＝80cm，
∴B，C两点的距离为80cm．
故选：D．
【小结】本题主要考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键．
6．在▱ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使▱ABCD成为矩形，那么添加的条件是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．AB＝BC D．AC平分∠BAD
【解答】解：A、由AC＝BD能判定▱ABCD为菱形，故此选项符合题意；
B、由AC⊥BD，能判定▱ABCD为菱形，故此选项不符合题意；
C、由AB＝BC能判定▱ABCD为菱形，故此选项不符合题意；
D、AC平分∠BAD，能判定▱ABCD为菱形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【小结】此题主要考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断平行四边形ABCD是菱形的为（ ）
A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝90° D．∠BAD＝∠ABC
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【小结】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
8．图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（ ）
A．AC⊥BD B．AD＝AO C．DO＝CO D．∠DAO＝∠BAC
【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠DAO＝∠BAC＝45°，
∴，
故选项A，C，D正确，不符合题意；选项B错误，符合题意；
故选：B．
【小结】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，是解题的关键．
9．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝2，则四边形OCED的周长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∵AC＝2，
∴OC＝1，
∵四边形ABCD为菱形，
∴菱形OCED的周长为4•OC＝4×1＝4．
故选：D．
【小结】本题主要考查矩形的性质，菱形的性质，掌握相关性质是解题的关键．
10．如图，小明在参观故宫博物馆时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含60°角的菱形ABCD．若AB＝4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A． B． C．8 D．16
【解答】解：过A作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝4，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BHBC＝2，
∴AHBH＝2，
∴菱形ABCD的面积＝BC•AH＝4×28．
故选：A．
【小结】本题考查菱形的性质，关键是由等边三角形的性质求出菱形的高AH的长．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是 （7，3） ．
【解答】解：因CD∥AB，所以C点纵坐标与D点相同．为3．
又因AB＝CD＝5，故可得C点横坐标为7．
故答案为（7，3）．
【小结】本题考查平行四边形的基本性质结合坐标轴，看清题意即可．
12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，要使四边形AFDE为正方形，不添加辅助线，可以添加的条件是 AB＝AC（答案不唯一，如：∠B＝∠C） （添加一个条件即可）．
【解答】解：∵点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，
∴DE∥AB，且DEAB，DF∥AC，且DFAC，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AFDE是矩形，
∴当DE＝DF时，四边形AFDE是正方形，
∴添加的条件可以是AB＝AC，
故答案为：AB＝AC．
注：答案不唯一，如：∠B＝∠C．
【小结】此题重点考查正方形的判定、三角形中位线定理等知识，推导出四边形AFDE是矩形是解题的关键．
13．如图，P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到边AB的距离为 3 ．
【解答】解：如图，过P作PQ⊥AB于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵PE⊥AD，
∴PQ＝PE＝3，
∴点P到直线 AB的距离为3，
故答案为：3．
【小结】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
14．如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线上一点，EC＝AC，则∠DAE的度数为 22.5 °．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ACB＝45°，
∵EC＝AC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠E+∠CAE＝∠ACB＝45°，
∴∠E＝∠CAE＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°．
故答案为：22.5．
【小结】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键．
15．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E．若AB＝10cm，AD＝16cm，则EC＝ 6 cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝16cm，DC＝AB＝10cm，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝10cm，
∴EC＝BC﹣BE，
＝16﹣10，
＝6cm．
故答案为：6．
【小结】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出BE和BC的长度．题型较好，难度适中．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4cm，BC＝9cm．动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向终点A运动，点Q以2cm/s的速度向终点C运动， 3 秒时四边形CDPQ是平行四边形？
【解答】解：设t秒后，四边形CDPQ是平行四边形，
∴PD＝t cm，CQ＝（9﹣2t）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，
∴t＝9﹣2t，
∴t＝3，
∴3秒时四边形CDPQ是平行四边形．
故答案为：3．
【小结】本题考查平行四边形的判定，关键是由PD＝CQ，得到t＝9﹣2t，
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求AM的长．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，
∴∠BNA＝90°，
在△ABN和△MAD中，
，
∴△ABN≌△MAD（AAS）；
（2）解：∵△ABN≌△MAD，
∴AD＝BN＝2，MD＝AN＝4，
在Rt△ADM中，
AM2．
【小结】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定和性质，了解矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关键，难度不大．
18．（6分）18．如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G．
（1）猜想：四边形DEFG是 平行四边 形，并说明理由；
（2）若M为EF的中点，OM＝1，∠OBC+∠OCB＝90°，求线段BC的长．
【解答】解：（1）四边形DEFG是平行四边形，理由如下：
∵线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴EF是△OBC的中位线，DG是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，且EFBC，DG∥BC，且DGBC，
∴EF∥DG，且EF＝DG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
故答案为：平行四边．
（2）∵∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵M为EF的中点，OM＝1，
∴EF＝2OM＝2．
∴BC＝2EF＝4．
【小结】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质等，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
19．（8分）如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），∠1＝∠2，AE＝EF，AF交CD于点H，FG⊥BC交BC延长线于点G．
（1）求证：△ABE≌△EGF；
（2）求证：AE⊥EF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝90°，
∵FG⊥BC，
∴∠EGF＝90°，
在△ABE与△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS）；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝90°，
∴∠1+∠AEB＝90°且∠1＝∠2，
∴∠2+∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝90°，
即AE⊥EF．
【小结】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BE＝DF；AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
（2）∵Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴AE＝CF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【小结】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
21．（8分）如图，点E，F为菱形ABCD对角线BD的三等分点．
（1）试判断四边形AECF的形状，并加以证明；
（2）若菱形ABCD的周长为52，BD为24，试求四边形AECF的面积．
【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形．
理由如下：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE＝FD，
∴BO＝OD，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AECF为菱形；
（2）∵四边形ABCD为菱形，且周长为52，
∴AB＝BC＝13，
∵BD＝24，
∴EF＝8，OBBD＝12，
由勾股定理得，AO5，
∴AC＝2AO＝2×5＝10，
∴S四边形AECFEF•AC8×10＝40．
【小结】本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键．
22．（8分）如图，在矩形ABCD中，M是对角线AC上的一个动点（M与A、C点不重合），作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F．
（1）试说明四边形EBFM是矩形；
（2）连接BM、当点M运动到使∠ABM为何值时，矩形EBFM为正方形？请写出你的结论．
【解答】解：（1）∵ABCD矩形，
∴∠B＝90°，
∵ME⊥AB，MF⊥BC，
∴∠E＝90°，∠F＝90°，
∴四边形EBFM是矩形；
（2）当点M运动到使∠ABM＝45°时，矩形EBFM为正方形．
∵EBFM为矩形，
∠B＝90°，
∵∠ABM＝45°，
∴∠EMB＝45°，
∴EB＝EM
∴矩形EBFM为正方形．
【小结】考查矩形和正方形的判定方法．有三个角是直角的四边形是矩形．一组邻边相等的矩形是正方形．