专题04 二元一次方程组
一、单选题
1．（2025春·江苏·七年级专题练习）已知是关于、的二元一次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵是关于、的二元一次方程，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，一般地，形如且a、b是常数的方程叫做二元一次方程．
2．（2025秋·八年级课时练习）运用加减法解方程组较简单的方法是（ ）
A．先消去x，再解
B．先消去z，再解
C．先消去y，再解
D．三个方程相加得8x﹣2y+4z=11再解
【答案】C
【详解】试题解析： ，
②×3+③，得11x+7z=29④，
④与①组成二元一次方程组.
故选C．
3．（2025春·江苏泰州·七年级校联考期中）若（a﹣1）x|a|﹣1＋3y＝1是关于x、y的二元一次方程，则a＝（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．2和﹣2
【答案】D
【分析】利用二元一次方程定义可得答案．
【详解】解：由题意得：|a|﹣1＝1，且a﹣1≠0，
解得：a＝±2，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值、二元一次方程的定义，解题的关键是掌握求绝对值，和二元一次方程组的定义．
4．（2025·天津·校联考一模）方程组的解是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据解二元一次方程组的方法可以解答本题．
【详解】解：，
①×2+②，得
11x=11
解得，x=1，
将x=1代入①，得
y=-1，
故原方程组的解是，
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，当两方程中相同的未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法解方程组比较简单．灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
5．（2025春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则2a﹣b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先根据二元一次方程组的解的定义可得一个关于的二元一次方程组，再利用加减消元法求出的值，然后代入求值即可得．
【详解】解：由题意，将代入得：，
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，以及方程组的解的定义，熟练掌握消元法是解题关键．
6．（2025秋·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）有若干只鸡和兔在同一笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，问：笼子中各有多少只鸡和兔？若设有x只鸡、y只兔，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等量关系：鸡的只数+兔的只数=35，2×鸡的只数+4×兔的只数=94，可列出方程组．
【详解】∵鸡有2只脚，兔有4只脚，
∴可列方程组为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用－鸡兔同笼问题，解决本题的关键是根据鸡和兔的总只数，鸡和兔的总足数得到相应的等量关系．
7．（2025春·浙江杭州·七年级统考期中）方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用加减法解方程组得出x和y的值，再进行判定即可；
【详解】解：，
①+②得，3x=6，
解得：x=2，
把x=2代入①得：y=-1，
∴方程组的解为；
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思想是消元，常用的方法是代入消元法和加减消元法，把二元方程组转化为一元方程是解题的关键．
8．（2025秋·八年级单元测试）用加减法解方程组下列解法错误的是（ ）
A．①×2﹣②×（﹣3），消去y B．①×（﹣3）+②×2，消去x
C．①×2﹣②×3，消去y D．①×3﹣②×2，消去x
【答案】A
【分析】用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．
【详解】A．①×2﹣②×（﹣3）得13x﹣12y=21，此选项错误；
B．①×（﹣3）+②×2得：5y=1，此选项正确；
C．①×2﹣②×3得﹣5x=﹣9，此选项正确；
D．①×3﹣②×2得：﹣5y=﹣1，此选项正确．
故选A．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9．（2025·全国·九年级专题练习）陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元．”王老师算了一下，说：“你肯定弄错了．”陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于5元的整数，那么笔记本的单价可能是（ ）元．
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元
【答案】B
【分析】设购买单价为8元的书x本，笔记本的单价为y元，则购买单价为12元的书（105﹣x）本，根据105本书及笔记本共花了（1500﹣418）元，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，且y＜5，即可求出结论．
【详解】解：设购买单价为8元的书x本，笔记本的单价为y元，则购买单价为12元的书（105﹣x）本，
依题意，得：8x+y+12（105﹣x）＝1500﹣418，
∴x＝ ，
又∵x，y均为正整数，且y＜5，
∴x＝45，y＝2．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
10．（2025·河北·模拟预测）若方程mx+ny=6的两个解是，，则m，n的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意得：，
①+②得：3m=12，
解得：m=4，
把m=4代入①得：n=2，
则方程组的解为，
故选A.
11．（2025春·河北石家庄·七年级校考阶段练习）二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用代入消元法解方程组即可得出答案．
【详解】解：，
由②得y＝8﹣2x③，
把③代入①得7x﹣3（8﹣2x）＝2，
解得x＝2，
把x＝2代入③得y＝4，
∴方程组的解为，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
12．（2025春·七年级单元测试）如果关于x，y的方程组的解是二元一次方程3x+2y=2的一个解，那么m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】D
【详解】因为关于x,y的方程组的解是二元一次方程3x+2y=2的一个解,所以可得,解得,将代入可得:,故选D.
13．（2025春·七年级课时练习）利用加减消元法解方程组下列做法正确的是( )
A．要消去z，先将①＋②，再将①×2＋③
B．要消去z，先将①＋②，再将①×3－③
C．要消去y，先将①－③×2，再将②－③
D．要消去y，先将①－②×2，再将②＋③
【答案】A
【详解】解：利用加减消元法解方程组，要消去z，先将①+②，再将①×2+③，要消去y，先将①+②×2，再将②+③．故选A．
点睛：此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
14．（2025春·全国·七年级专题练习）有理数、、满足，则的值是（ ）
A． B．3 C．4 D．值不能确定
【答案】C
【分析】把方程看着关于x、y的方程，用z表示x、y．然后代入即可求值．
【详解】解：，
①②得：，
，
②①得：，
，
把，代入得：
，
故本题选：C．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键．
15．（2025春·福建漳州·七年级龙海二中阶段练习）三元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据2x=3y=6z,设x=3k,y=2k,z=k,代入求值即可解题.
【详解】解：∵2x=3y=6z,
∴设x=3k,y=2k,z=k,
∵x+2y+z=16,即3k+4k+k=16,
解得：k=2,
∴,
故选D.
【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,根据等量关系设未知数是解题关键.
二、填空题
16．（2025·全国·七年级专题练习）打折：卖货时，按照标价乘以________或________，则称将标价进行了几折（或理解为：销售价占标价的百分率）．例如某种服装打8折即按标价的百分之八十出售．
【答案】 十分之几 百分之几十
【解析】略
17．（2025春·浙江衢州·七年级校考阶段练习）已知是二元一次方程的解，则m的值为___________.
【答案】3．
【分析】将代入二元一次方程得出关于m的方程，解之可得．
【详解】解：将代入二元一次方程mx+2y=1，得：-m+4=1，
解得：m=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
18．（2025春·山东菏泽·七年级统考期末）方程组的解为______．
【答案】
【分析】本题解方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】 ，
得： ，
解得： ，
把 代入 得：
解得： ，
则方程组的解为： ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，正确的解出答案是解决本题的关键．
19．（2025春·河南商丘·七年级统考期末）已知2x3y1，用含x的式子表示y正确的结果是__________．
【答案】
【分析】把x看作是常数，y是未知数，移项，化系数为1，求y即可．
【详解】解：∵2x3y1
∴
两边都除以3得：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数是解题的关键．
20．（2025春·浙江绍兴·七年级校联考阶段练习）牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．那么可供25头牛吃____天．
【答案】5
【详解】试题解析：设一天牛每天吃牧草x千克，牧场的牧草每天生长y千克，
根据题意得：10×20x−20y=15×10x−10y，
∴y=5x，
∴牧场原有牧草10×20x−20y=100x.
100x÷(25x−y)=100x÷(25x−5x)=5.
故答案为5.
21．（2025春·湖北武汉·七年级统考期末）幻方（MagicSquare）是一种将数字排放在正方形格子中，使其每行、每列和对角线上的数字和都相等的图表．在如图所示的三阶幻方中，x+y的值为_____．
【答案】1
【分析】根据“每行、每列和对角线上的数字和都相等”列出方程组并解答．
【详解】根据题意，得，
解得．
所以x+y＝﹣1+2＝1．
故答案是：1．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据幻方的特点列出关于x、y的算式．
22．（2025·全国·九年级专题练习）某商场购进商品后，加价40%作为销售价．五一期间，商场搞优惠促销，决定由顾客抽签确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款448元．两种商品原销售价之和为560元．则两种商品进价分别为________元．
【答案】200，200
【分析】设甲、乙两种商品的进价分别为x元、y元，然后根据“某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款448元．两种商品原销售价之和为560元”列方程组求解即可．
【详解】解：设甲、乙两种商品的进价分别为x元、y元．
由题意可得：
,解得 ．
故答案为200、200．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，明确题意、找准等量关系、列出相应的方程组成为解答本题的关键．
23．（2025·北京·七年级统考期中）若关于、的方程组无解，则系数的值为__________．
【答案】
【分析】先用加减消元法消去y，然后根据方程组无解，可得x的系数为0，进而求得k．
【详解】解：
①×5+②×4可得：5kx+12x=18，即（5k+12）x=18
∵方程组无解
∴5k+12=0，解得k=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，理解当x的系数为0时，方程无解是解答本题的关键．
24．（2025春·重庆万州·七年级统考期末）方程x+2y＝5的正整数解有_____个．
【答案】2
【分析】先根据等式的性质进行变形得出x＝5﹣2y，再求出正整数解即可．
【详解】解：∵x+2y＝5，
∴x＝5﹣2y，
当y＝1时，x＝3；
当y＝2时，x＝1，
即方程x+2y＝5的正整数解有，，共2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了解二元一次方程和二元一次方程的解，能理解二次一次方程的解的定义是解此题的关键．
25．（2025春·浙江·七年级专题练习）如图，长方形ABCD被分成8块，图中的数字是其中5块的面积数，则图中阴影部分的面积是____﹒
【答案】98
【分析】设未知的三块面积分别为x，y，z（如图）．根据S△BCF=S△ABF+S△CDF，S△ABE=S△ADE+S△BCE列出三元一次方程组，再利用加减消元法即可求得y的值．
【详解】设未知的三块面积分别为x，y，z（如图），
则x+y+76=24+87+55+19+z，z+y+87=55+x+24+19+76，
即x+y-z=109①，z+y-x=87②
由①+②得，y=98.
即图中阴影部分的面积是98﹒
故答案为98.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解决本题的关键是理清三角形与矩形间的面积关系，列出三元一次方程组，再通过加减消元，得到阴影部分的面积．
三、解答题
26．（2025秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）解方程组
【答案】
【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】
由得：，
将代入：，
解得：，
将代入得：
∴
【点睛】本题考查解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
27．（2025·福建厦门·统考二模）养牛场原有的大牛和小牛一天约用饮料475kg；一周后购进一批大牛和小牛后，这时大牛数量增加为原来的3倍，小牛数量增加为原来的2倍，一天约用饮料1350kg，已知大牛一天的饮料需20kg，小牛一天的饮料需5kg，则养牛场原有大牛和小牛数量各是多少？
【答案】养牛场原有大牛和小牛数量各是20头，13头．
【分析】根据一头大牛一天的饮料乘以大牛数量＋一头小牛一天的饮料乘以小牛数量＝大牛和小牛一天的总用饮料数量列出方程组即可．
【详解】解：设原来大牛x头，小牛y头，根据题意，得
解得x＝20，y＝13．
答：养牛场原有大牛和小牛数量各是20头，13头．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是找到题意中的等量关系．
28．（2025春·湖南长沙·九年级校考阶段练习）卡塔尔世界杯期间，某商店特购进世界杯吉祥物“拉伊卜”摆件和挂件共90个进行销售．已知“拉伊卜”摆件的进价为40元/个，“拉伊卜”挂件的进价为25元/个．
(1)若购进“拉伊卜”摆件和挂件共花费了2850元，请分别求出购进“拉伊卜”摆件和挂件的数量；
(2)该商店计划将“拉伊卜”摆件售价定为50元/个，“拉伊卜”挂件售价定为30元/个，若购进的90个“拉伊卜”摆件和挂件全部售完，且至少盈利725元，求购进的“拉伊卜”挂件不能超过多少个？
【答案】(1)摆件40个，挂件50个
(2)不能超过35个
【分析】（1）设购进“拉伊卜”摆件个，“拉伊卜”挂件个，根据题意列方程组解题即可；
（2）设购进“拉伊卜”挂件个，利用不等式解题即可．
【详解】（1）设购进“拉伊卜”摆件个，“拉伊卜”挂件个，
依题意得：，解得：
答：购进“拉伊卜”摆件40个，“拉伊卜”挂件50个．
（2）设购进“拉伊卜”挂件个，则购进“拉伊卜”摆件个，
佽题意得：，
解得：．
答：购进的“拉伊卜”挂件不能超过35个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，能找到等量关系列出方程或不等式是解题的关键．
29．（2025春·浙江金华·七年级统考期中）解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用加减消元法计算即可得出答案；
（2）利用加减消元法计算即可得出答案.
【详解】（1）解：
①+②得：
解得：
将代入①得：
∴此方程组的解为
（2）解：
①×3得：
②×5得：
③+④得：
解得：
将代入①中得：
∴此方程组的解为
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解决本题的关键.
30．（2025春·浙江·七年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值．
【答案】99
【分析】将第一组解代入②，第二组解代入①，得到关于a，b方程，求出a，b，再求出a2021+（-b）2的值．
【详解】解：将代入②，得：-12+b=-2，
解得：b=10，
将代入①，得：5a+20=15，
解得：a=-1，
∴a2021+（-b）2=（-1）2021+（-10）2=-1+100=99．
【点睛】本题考查了方程组的解和解一元一次方程，解题的关键是将已得到方程组的解正确代入对应的方程中．
31．（2025秋·八年级课时练习）一只船载重量是520吨，容积是2000，现有甲、乙两种货物，甲种货物每吨的体积是2，乙种货物每吨的体积是8，两种货物应该各装多少吨，才能最充分地利用船的载重量和体积．
【答案】甲种货物应装360吨，乙种货物装160吨
【分析】设甲种货物应装x吨,乙种货物装y吨,根据一只船载重量是520吨可得:,再根据甲种货物每吨的体积是2，乙种货物每吨的体积是8,一只船容积是2000,可得：, 将两个二元一次方程联立成二元一次方程组,解方程组即可求解.
【详解】设甲种货物应装x吨,乙种货物装y吨,根据题意可得:
,
解得:,
答: 甲种货物应装360吨,乙种货物装160吨.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组解决实际问题,解决本题的关键是要熟练正确的确定题目中的等量关系.
32．（2025春·河南周口·七年级校联考期中）解方程(组)
(1)
(2).
【答案】(1)x＝；(2)
【分析】（1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）利用加减消元法求解可得．
【详解】（1）5（3x+1）﹣20=3x﹣2﹣2（2x+3），15x+5﹣20=3x﹣2﹣4x﹣6，15x﹣3x+4x=﹣2﹣6﹣5+20，16x=7，x；
（2）①×2﹣②，得：，解得：y，将y代入①，得：，解得：x，所以方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次方程，掌握消元的思想和消元的方法是解题的关键，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
33．（2025春·全国·七年级专题练习）关于，的二元一次方程组，，是常数），，．
(1)当时，求c的值；
(2)若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）将，值代入方程，得到关于，，的方程求解．
（2）先表示方程的解，再确定．
【详解】（1）解：代入方程得：，
，，
，，
．
；
（2）证明：由题意，得，
整理得，①，
、均为正整数，
是正整数，
是正整数，
是正整数，
，
把代入①得，，
，
此时，，，，方程的正整数解是．
仅当时，该方程有正整数解．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键．
34．（2025春·浙江·七年级期中）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组；
（2）先将原方程组进行变形整理，然后利用代入消元法解二元一次方程组．
【详解】解：（1）
将①-②，得： ，解得：
将代入①，得：，解得：
∴方程组的解为：
（2）
解：整理，得：
将①代入②，得：，解得：
将代入①，得：
∴方程组的解为：
【点睛】本题考查消元法解二元一次方程组，掌握解方程组的步骤和计算法则准确计算是解题关键．
35．（2025春·天津宁河·七年级统考阶段练习）解方程组
【答案】
【详解】试题分析：先对方程组的方程变形，然后根据特点选择加减消元法或代入消元法街方程组即可.
试题解析：原方程组化简，得
由③，得y=4x-5 ⑤
把⑤代入④，得x=2
把x=2代入⑤，得y=3
所以,这个方程组的解是