专题02 实数
一、单选题
1．（2025秋·浙江杭州·七年级统考期末）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义性质进行判断即可.
【详解】∵被开方数≥0，
∴C、D错误，
∵，
∴A正确，B错误.
故选：A.
【点睛】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义及性质是解题的关键.
2．（2025秋·广东河源·八年级河源市第二中学校考期中）下列各数中为无理数的是（ ）
A．3 B． C．3.14 D．
【答案】B
【分析】根据无理数的定义及其三种形式求解即可．
【详解】A． 3是整数，属于有理数，故该选项不符合题意；
B． 是无理数，故该选项符合题意；
C．3.14是小数，属于有理数，故该选项不符合题意；
D．是分数，属于有理数，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
3．（2025秋·吉林长春·八年级校考期末）估计的值（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
【答案】B
【分析】根据无理数的估算可得，由此即可得出答案．
【详解】解：，
，即，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
4．（2025秋·湖北·七年级校考阶段练习）下列说法中：①绝对值最小的有理数是1；②任何有理数都有相反数；③任何有理数都有倒数；④立方等于它本身的有理数有3个，其中结论正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．只有②④ D．只有①②
【答案】C
【分析】根据相反数、绝对值、倒数、立方的定义即可得出答案．
【详解】绝对值最小的数为0，∴①错误；
任何有理数都有相反数，②正确；
0没有倒数，∴③错误；
立方等于本身的数有－1、0、1，∴④正确．
故选C．
【点睛】本题考查了相反数、绝对值、倒数、立方的定义，比较简单．
5．（2015秋·浙江温州·七年级阶段练习）下列说法中，不正确的是（ ）
A．10的立方根是
B．的平方根是
C．﹣2是4的一个平方根
D．0．01的算术平方根是0．1
【答案】B
【详解】试题分析：A．10的立方根是，正确； B． 的平方根是±，故错误；C．﹣2是4的一个平方根 ，正确；D．0．01的算术平方根是0．1，正确；
故选B．
考点：1．立方根；2．平方根；3．算术平方根．
6．（2025秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）下列各数是无理数的是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义解答．
【详解】A、0是有理数；
B、是无理数；
C、=2是有理数；
D、是有理数；
故选：B．
【点睛】此题考查无理数的定义，熟记定义是解题的关键．
7．（2025秋·浙江宁波·七年级校考期中）下列四个式子，化简后结果为-3的是（ ）
A． B． C．|-3| D．-(-3)
【答案】A
【分析】分别把进行化简，进而得出答案．
【详解】由可得：，，，；所以化简结果为-3的是；
故选A．
【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、绝对值及相反数，熟练掌握算术平方根、立方根、绝对值及相反数是解题的关键．
8．（2025春·上海·七年级上海市市八初级中学校考期中）在下列各数中，是无理数的是（ ）
A．; B．； C．； D．；
【答案】C
【分析】由于无限不循环小数为无理数，所以根据无理数的定义进行判断即可.
【详解】解：A项，是无限循环小数，是有理数，故本选项错误；
B项，是分数，是有理数，故本选项错误；
C项，是无理数，故本选项正确；
D项，是有理数，故本选项错误；
故答案为C.
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的数要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.
9．（2016秋·江苏扬州·八年级阶段练习）2的算术平方根是（ ）
A．± B．- C． D．
【答案】D
【详解】试题解析：2的算术平方根是，
故选D．
考点：算术平方根．
10．（2025秋·江苏泰州·八年级校联考期中）有一个数值转换器，原理如下：
当输入的x=64时，输出的值是（ ）
A．2 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的x=64时，输出的值是多少即可．
【详解】解：=8，8是有理数，
=2，2是无理数，
∴当输入的x=64时，输出的值是．
故选D．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
11．（2025秋·河南鹤壁·八年级鹤壁市外国语中学校考阶段练习）在下列实数、0.31、、、3.602 4×103、、1.212 212 221 …(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】无理数有，，1.212 212 221 …(每两个1之间依次多一个2)共3个，
故答案为C．
【点睛】本题主要考查对无理数的定义的理解和掌握，能熟练地根据无理数的定义进行判断是解此题的关键．
12．（2025秋·七年级单元测试）小雪在作业本上做了四道题目：①＝﹣3；②±＝4；③＝9；④＝-6，她做对了的题目有（ ）
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
【答案】A
【分析】依据立方根、平方根算术平方根的定义求解即可
【详解】①=-3,故①正确;②±=±4,故②错误;
=3，故③错误;④=6,故④错误．
故选:A.
【点睛】此题考查立方根，算术平方根和平方根，掌握运算法则是解题关键
13．（2025春·全国·七年级专题练习）有下列说法
①无理数一定是无限不循环小数 ②算术平方根最小的数是零
③﹣6是（﹣6）2的一个算术平方根 ④
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【详解】①无理数一定是无限不循环小数，正确；
②算术平方根最小的数是零，正确；
③−6是(−6)2的一个平方根，故错误；
④，正确；
其中正确的是：①②④.
故选C.
14．（2025·广东深圳·八年级校联考期中）如图，长方形ABCD的边AB=1，BC=2，AP=AC，则点P所表示的数是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出长方形ABCD的对角线AC的长，即为AP的长，进而求出点P所表示的数．
【详解】∵长方形ABCD的边AB=1，BC=2，
∴AC=，
∴AP=AC=，
∴点P所表示的数为-．
故选D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理求出长方形ABCD的对角线AC的长是解题的关键．
15．（2025春·河北邯郸·七年级统考阶段练习）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论正确的是（ ）
①；
②；
③；
④当，m为非负整数时，有；
⑤满足的非负数x只有两个．
A．①④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．①③④
【答案】B
【分析】先理解题意，表示对x四舍五入．①可直接判断；②③可取特殊值检验正误；④整数不影响四舍五入；⑤，则为整数，那么x是的倍数，可代入特殊值验证．
【详解】①，说法正确；
②比如时，，而，，说法错误；
③比如时，，
而，，说法错误；
④m为非负整数，则，所以当时，，说法正确；
⑤若满足，则为整数，x必然是的倍数．经验证：时； 时，符合条件的x有两个，说法正确．
故选：B
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，理解题意用特殊值法是解题的关键．
二、填空题
16．（2025·重庆涪陵·九年级校考阶段练习）（﹣1）2017_____.
【答案】﹣1
【分析】本题考查实数的运算：乘方运算的符号法则：偶正奇负；二次根式的加减，化简后同类二次根式才可以合并，本题先乘方后加减即可.
【详解】﹣1.
故答案为：﹣1.
【点睛】熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键.
17．（2025秋·江苏镇江·八年级统考期末）比较大小：3______．（填“＞”、“＜”、“＝”）
【答案】>
【分析】首先将3放到根号下，然后比较被开方数的大小即可．
【详解】，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
18．（2025秋·浙江金华·七年级统考期中）若一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是____.
【答案】4
【详解】试题解析：若一个数的算术平方根是8，则这个数是：
的立方根是：
故答案为4.
19．（2025春·湖北孝感·七年级统考期末）我们把不超过x的最大整数记作[x]．例如：[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3．若[x]＝2，则[2x+1]的值是 ___．
【答案】5或6
【分析】根据题意给的新定义，先算出2x+1的取值范围，然后算出[2x+1]的值即可.
【详解】解：如果[x]＝2．
那么x的取值范围是2≤x＜3，
∴5≤2x+1＜7，
∴[2x+1]的值是5或6，
故答案为：5或6．
【点睛】本题主要考查了新定义的运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解
20．（2025春·辽宁营口·七年级统考期末）比较大小：________．（填“”“”或“”)
【答案】＞
【分析】根据实数的大小比较法则比较即可．
【详解】解：因为-25＞-27，
所以＞，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数的大小比较法则的应用，能熟记实数的大小比较法则内容是解此题的关键．
21．（2025春·七年级单元测试）在实数，，0，－π，，，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间依次多一个0)中，有理数的个数为B，无理数的个数为A，则A－B＝_____．
【答案】-1
【分析】根据无理数、有理数的定义即可得出A、B的值，进而得出结论．
【详解】，﹣π，0.101 001 0001…（相邻两个1之间多一个0）是无理数，故A=3．
，0，是有理数，故B=4，∴A－B=3－4=－1．
故答案为－1．
【点睛】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
22．（2025春·七年级课时练习）①= _________ ② = _______ ③ =______
④ =_______ ⑤ 2 =______ ⑥ =_____
⑦ =_______ ⑧ =_____ ⑨=_______
【答案】 8, 0.6, , , 5, , 4, 1.6 4
【详解】根据算术平方根的定义，易得：
=8； ② = 0.6； ③ = ,
④ =； ⑤ 2 =5； ⑥ = ；
⑦ =4； ⑧ =1.4； ⑨=4.
故答案： (1). 8, (2). 0.6, (3). , (4). , (5). 5, (6). , (7). 4, (8). 1.6 (9). 4.
23．（2025秋·浙江·七年级专题练习）规定：用符号[x]表示一个不大于实数x的最大整数，例如：[3.69]＝3，[+1]＝2，[﹣2.56]＝﹣3，[﹣]＝﹣2．按这个规定，[﹣﹣1]＝_____．
【答案】－5
【详解】∵3<<4，
∴−4<−<−3，
∴−5<−−1<−4，
∴[−−1]=−5.
故答案为−5.
点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，解决此题的关键是求出的范围.
24．（2025春·四川巴中·七年级校考阶段练习）对于任意实数a，b，c，d，把符号 称为2×2阶行列式，规定一种运算为： ＝ad﹣bc，则 的值为_____．
【答案】1
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】根据题意得：20182﹣2017×2019＝20182﹣（2018﹣1）（2018+1）＝20182﹣（20182﹣1）＝20182﹣20182+1＝1．
故答案为1
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（2025·西藏·九年级专题练习）计算：（﹣）﹣3+ +2sin45°+（）0=_____．
【答案】﹣2
【详解】根据实数的混合运算的法则，结合负整指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值、零次幂的性质可得：
（﹣）﹣3+ +2sin45°+（）0
=-8+5-++1
=-2
故答案为-2.
三、解答题
26．（2025秋·吉林长春·八年级校考期末）计算：．
【答案】0
【分析】先计算绝对值、算数平方根、乘方，再计算加减即可
【详解】解：原式=5+4-9=0
【点睛】本题考查了实数运算，涉及到绝对值、算数平方根、乘方，熟练掌握法则是解题的关键
27．（2025春·七年级课时练习）下列各式是否有意义
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）有意义；（2）无意义；（3）有意义；（4）有意义
【分析】直接利用二次根式的被开方数具有非负性分析得出答案．
【详解】解：（1）被开方数是3≥0，有意义；
（2）被开方数是－3＜0，无意义；
（3）被开方数是≥0，有意义；
（4）被开方数是≥0，有意义．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式被开方数的非负性是解题关键．
28．（2025秋·八年级课时练习）求出下列等式中的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）式子整理后，利用平方根的定义求解即可；
（2）式子整理后，利用立方根的定义求解即可．
(1)
解：，
，
；
(2)
解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
29．（2013秋·七年级单元测试）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内
-6， ， ， 3.14， -0.4， -
， 0， 1.1010010001……
整 数{ ……}
无理数{ ……}
负分数{ ……}
负实数{ ……}
【答案】整 数{ -6 -︱-3︱ 0 ……}
无理数{ - π/3 ³ 1.1010010001…… }
负分数{ -0.4 ……}
负实数{ -6 -︱-3︱ -0.4 -π/3 ……}
【详解】试题分析：实数分为有理数和无理数，有理数分成正数，负数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数．
考点：有理数；实数．
点评：本题要求熟练掌握实数的定义及分类，有理数和无理数统称实数，其中有理数包括正有理数、0和负有理数，无理数包括正无理数和负无理数．
30．（2025春·四川南充·七年级校考期中）（1）已知2a－1的平方根是±3,3a－b+2的算术平方根是4，求a＋3b的立方根.
（2）已知a,b ,c满足,求a,b c的值．
【答案】（1）2；（2）a=，b=5，c=
【分析】（1）根据平方根和立方根的概念求出a、b的值，即可计算出a+3b的立方根；
（2）根据非负数的性质列方程求解即可．
【详解】解：（1）解：∵2a-1的平方根是±3
∴2a-1=9，
解得，a=5，
∵3a-b+2的算术平方根是 4，a=5，
∴3a-b+2=16，
∴15-b+2=16，
解得，b=1，
∴a+3b=8，
∴a+3b的立方根是2；
（2）解：∵≥0，|a-|≥0，(c−)2≥0且+|a-|+(c−)2=0，
∴=0，|a-|=0，(c−)2=0，
∴b-5=0，a-=0，c-=0，
解得a==，b=5，c=．
【点睛】（1）题考查立方根、平方根、算术平方根，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法；
（2）题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
31．（2025秋·福建厦门·七年级厦门外国语学校校考阶段练习）若规定这样一种运算：a△b=(|a−b|+a+b)，例如：2△3=(|2−3|+2+3)=3
（1）求3△4和（-3）△（-2）的值；
（2）将1,2,3,…,50这50个自然数,任意分为25组,每组两个数,现将每组的两个数中任一数值记作a,另一个记作b,代入代数式(|a−b|+a+b)中进行计算，求出其结果，25组数代入后可求得25个值，求这25个值的和的最大值是_____.
【答案】（1）3△4=4,（-3）△（-2）=-2;（2）这25个值的和的最大值为950.
【分析】（1）根据新定义的运算法则，进行计算即可；
（2）不妨设各组中的数的a比b大，然后去掉绝对值号化简为b，所以当25组中的较小的数恰好是1到25时，这25个值的和最大，再根据求和公式列式计算即可得解．
【详解】解：（1）3△4=(|3−4|+3+4)=4，
（-3）△（-2）=[|-3−（-2）|+（-3）+（-2）]=-2；
（2）假设a＞b，则(|a−b|+a+b)=（a-b+a+b）=a，
∴当25组中的较大的数a恰好是26到50时，这25个值的和最大，
最大值为：26+27+28+…+50==950.
故答案为950.
【点睛】本题考查了新定义的运算法则，代数式求值，通过假设，把所给代数式化简，然后判断出各组中的b值恰好是1到50这50个数时取得最小值是解题的关键．
32．（2025·福建泉州·八年级福建省泉州市泉港区第一中学阶段练习）已知，试求的平方根.
【答案】
【分析】根据绝对值和数平方为非负数直接解答此题.
【详解】，所以x＋y＝5，xy＝6，＝（x＋y）2－2xy＝25－12＝13，所以的平方根为.
【点睛】本题考查了绝对值和数平方为非负数，掌握这些信息是解决此题的关键.
33．（2025春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期中）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
【答案】能按规定在这块空地上建一个篮球场，见解析
【分析】先设篮球场的宽为xm，列出方程求得篮球场的长和宽，再结合题即可判断能否按规定在这块空地上建篮球场了.
【详解】解：设篮球场的宽为x m，则长为xm，根据题意，得
，即x2=324，
∵x为正数，
∴x==18，
∴篮球场的宽为18m，
∴篮球场的长为30m，
∵ (30+2)2=1024<1100，
∴能按规定在这块空地上建一个篮球场．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够根据题意求出篮球场的长．
34．（2025·江苏连云港·统考一模）计算：
【答案】0
【详解】分析：根据零次幂的性质，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整指数幂的性质计算即可.
详解：原式
点睛：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算．
35．（2015·湖南张家界·统考中考真题）阅读下列材料，并解决相关的问题．
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为，依次类推，排在第位的数称为第项，记为．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中，公比为．
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比为 ，第4项是 ．
（2）如果一个数列，，，，…是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：
，，，…… ．
所以：，，，
由此可得： （用和的代数式表示）
（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
【答案】（1）2，4；（2）；（3）5，40．
【详解】试题分析：（1）由第二项除以第一项求出公比q的值，确定出第4项即可；
（2）根据题中的定义归纳总结得到通项公式即可；
（3）由公比q与第二项的值求出第一项的值，进而确定出第4项的值．
试题解析：（1）q==2，第4项是24；
（2）归纳总结得：=；
（3）∵等比数列的公比q=2，第二项为10，∴，．
考点：1．规律型：数字的变化类；2．阅读型；3．综合题．